明“理”解困以“理”入法——“小数除法”教学难点的破解策略

吴央军 吕春女

一、缘起：事物反常必有因

在一次小学数学期末质量监测中，有两道考查“小数除法计算”的试题出现了“反常”的低得分率。所谓反常：一是该题预计难度系数与实测难度系数相差甚远；二是该题与其他计算题的得分率相差甚远。我们来看：

题一是一道小数除法的计算题，考查的知识有两点：一是小数除法的计算；二是求商的近似值。全县参考人数为6407人，预计得分率为75%，实际得分率只有56%。题二虽然是以填空题形式出现，考查的却是学生对计算过程中对小数除法竖式中各部分意义的理解。因此从广义上讲，这也是一道小数除法的计算题。本题预计得分率为70%，实际学生的得分率是50.1%。除此两题外，其余计算题的得分率均超过80%。

这引起了笔者的思考，对学生来说“小数除法计算”为什么会比其他计算要难？难在什么地方？

二、由现象观本质：小数除法计算难点分析

根据样本数据分析，主要有以下几个方面。

1.小数除法转化难度较大。

计算一个数除以小数，要将除数转化成整数，为了保持商不变，被除数也应该扩大相应的倍数。列竖式计算式时，要通过小数点的移动来实现这一转化，外显特征为小数点位置的变化。这一变化实际包含两个步骤（以1.55÷3.9为例）：一是移动除数的小数点，将除数转化成整数。即3.9转化成39，相当于将除数扩大到原来的10倍。二是移动被除数小数点，将被除数也扩大到原来的10倍。显然，这对于学生来说并不是一件容易的事。

如图1所示，该题转化过程出现了错误，除数的小数点向右移动了一位，被除数的小数点却向右移动了两位。为什么会出现这种情况呢？这是因为，“1.55÷3.9”被除数的小数位数比除数多，这种类型的题目例题中并没有单独安排，只是在“做一做”中以练习的形式出现。

图1

反观“一个数除以小数”的例题，如下图2：

图2

7.65÷0.85的竖式，被除数与除数的小数位数相同，这是最简单的情况，只要同时撇去被除数与除数的小数点，就实现了全部的转化过程。该学生可能受此外显操作迁移，认为所有的小数除法都是只要把被除数与除数的小数点同时撇去就可以，于是得出“商的小数点与被除数的末位后面对齐”这样一个错误的结论。

2.对算式中各部分意义理解困难。

小数除法的计算中将除数转化成整数来计算后，学生对除法竖式中每一步所表示的意义的掌握感到困难。以“一根4.88米的木料，每0.12米锯一段，可以锯（ ）段，还余（ ）米”为例，竖式如下图3：

图3

竖式中，被除数“4.88”表示这根木料全长4.88米，除数“0.12”表示每0.12米锯一段，商“40”表示可以锯成这样的40段，余数“8”实际上是“8 个 0.01”，表示还余下0.08米。学生对此却没有清晰的理解。据样本数据分析，学生错误情况主要集中表现为以下几种：

图4

图5

图6

可以看出学生对算式各部分意义的理解存在困难，具体表现在以下几个方面：

（1）对商中每个数位上的数表示的意义理解困难。

笔者认为，图4答案的整数部分出现错误，并非小数点位置的错误，而是另有原因。我们来还原计算过程，如下图7：

图7

我们发现，学生计算4.88除以0.12时，将原式转化成488除以12计算，在十位上商8，个位移下来，不够商1，计算就此结束，从而得出商4余数0.08的错误结论。转化后，学生对每个数位上商所表示的意义不是很清晰，错将4个十当成了4个一，造成商末尾的0漏掉了。不仅如此，我们还发现该同学对“余下几米”这个问题也曾纠结，可见对除数和余数的区分也不是很清晰。

（2）将商的小数部分错当余数。即图5答案。那么这种情况是怎么来的呢？我们来看竖式，如下图8：

图8

学生对商的小数部分理解错误，错将商的小数部分当作余下的米数。从学生的修改痕迹来看，学生仅在纠结用循环小数还是用近似值来描述，殊不知该“0.7”表示的只是剩下的米数约能做0.7根，而不是还余0.7米。

（3）对余数的意义理解困难。即图6答案。根据商不变性质，将“4.88÷0.12”转化成“488÷12”后，商不变，余数却随着被除数与除数的变化，扩大到原来的100倍，因而求原来的余数，应将8缩小回原来的100倍，即0.08。学生因对商不变性质理解不到位，将两者完全等同起来，错将转化后的余数“8”理解为“8 个 1”，从而得出还余8米的结论。

3.整数除法遗留问题较多。

除了转化有难度外，我们发现除法计算过程出现的情况也较为复杂，其中很大一部分为整数除法难点的遗留。还以“1.55÷3.9”为例，主要表现在以下几个方面：

（1）同一数位多次求商。如下图9：

图9

学生将 1.55÷3.9转化成15.5÷39后，十分位上商3余38，又用“38”除以除数，在百分位上商“0”。在这里“38”表示十分位除后还余38个十分之一，要先添“0”，变成380个百分之一，再除以39。要解决这种错误，学生必须明白每一步表示什么意义，正确掌握“除到哪一位商就写在那一位的上面”。这样才不会出现同一数位多次求商的现象。

（2）初商过小不会调。如下图10：

图10

除法中，遇到某次余数没有比除数小，说明初商过小，只需要把商调大。上述学生在百分位上商 7 后，余数是“107”大于“39”，却没有将百分位上的商调大，而是又用39去除了一次。究其原因，也是对算理的理解不够透彻，他不明白第二次用39去除107得到的商2还表示2个百分之一，和原来的7个百分之一合起来是9个百分之一，只需要在百分位上写9，而不是把2写在千分位上。

（3）进位退位容易错。如下图11、12：

图11

图12

一个除法竖式，简直是加、减、乘、除大集合，若遇除数数值偏大，计算难度就增加。上述两种错误并非个别现象，据抽样分析，错误学生中，约有30%是因为进位、退位不熟练造成的。

三、据成因找对策：小数除法难点破解

1.厘清转化类型，抓住本质要素。

对学生来说，小数除法转化为整数除法的过程较为复杂，具体细化为下面几种情况：

（1）除数是一个整数的。如22.4÷4，可以直接除，需要注意的是商的小数点与被除数的小数点对齐。

（2）被除数是一个整数。如23÷1.5，列竖式时需要把被除数和除数同时扩大到原来的10倍，即小数点向右移动一位。外显操作为在撇去除数小数点同时需要在被除数末尾添0。

（3）除数的小数位数比被除数少。如1.55÷3.9，列竖式时需要把被除数和除数同时扩大到原来的10倍，即小数点向右移动一位。外显操作为在撇去除数小数点，撇去被除数“1”后小数点同时再往右数第一位数“5”的后面点上新的小数点。

（4）除数的小数位数比被除数多。如12.6÷0.28，列竖式时要把小数点向右移动两位，被除数小数位数不够时需要用“0”补足。外显操作为撇去除数小数点和“0”，再撇去被除数小数点后同时添上一个“0”。

（5）除数的小数位数与被除数相同时。如11.7÷2.6，竖式计算时只需将被除数和除数同时扩大到原来的10倍。外显操作为同时撇去除数和被除数的小数点。

当情况变得复杂的时候，学生就容易出现错误。纠正这样的错误，需要帮助学生抓住本质要素。所有的转化类型，其依据都是“商不变性质”。夯实“商不变性质”，可帮助学生清晰掌握算理——将被除数和除数的小数点同时向右移动相同的位数，商保持不变。同时清晰掌握算法——把被除数和除数的小数点同时向右移动相同的位数，将除数转化成整数计算。只有这样，学生面对具体情况时才能思路清晰，转化正确。

2.借助“故事”背景，落实“循理入法”。

教材在编排小数除法的学习时，并不单以算式的形式出现，而是结合具体的情境出现。因此，教学中我们要充分利用问题的“故事”情境，结合学生的生活经验和已有知识，引导学生自主探索小数除法的计算方法，理解小数除法的算理。

（1）借“故事”明算理。以题二为例，“一根4.88米的木料，每0.12米锯一段，可以锯（）段，还余（）米”。可以借助米与厘米之间的关系来沟通“商不变性质”，将问题转化成求“488厘米里有几个12厘米”，这就相当于将“被除数和除数同时扩大100倍，商不变”。引导学生发现其共同点都是将除数是小数的除法转化成除数是整数的除法，从而进一步理解小数除法的算理。同时结合具体情境，理解除法竖式中每一步所表示的实际意义，这样余数“8”表示还剩8厘米，即0.08米。

（2）为算理找“故事”。例如计算“1.55÷3.9”时，引导学生思考：可以借助什么“故事”来沟通算理，除了利用长度单位还有什么办法吗？让学生自主编出合理的“故事”以解释算理。学生通过思考、讨论，明白要将除数转化成整数来计算，需要把除数和被除数同时扩大到原来的10倍，进率为十的量都可以用来沟通。为算理找“故事”让商不变性质不再抽象，让小数除法的算理找到落脚点。

3.精心设计练习，跟进“以理驭法”。

很多教师在新授课中都比较重视在理解算理的基础上总结算法，学习计算后通常设计“计算”与“解决问题”来跟进算法的巩固，而忽视算理的练习。事实上，除此之外还需要在练习中加以巩固学生对算理的理解。让学生不只是盲目地记住怎样操作，而是充分理解算理之后的算法概括，从而真正提升计算素养。

（1）“有理说得清”——让“说理”成为常规性作业。利用好教材的例题及练习题，在小数除法新课学习后可以要求学生自由选择某一竖式同桌互说算理、算法，说清楚如何转化，依据什么性质。例如下题（图13）：

图13

可以计算之前说说怎样移动小数点，为什么这样移动；也可以计算之后说说怎么算的，每一步表示什么；或者可以结合具体情境，用情境解释算理。

（2）“有理写得明”——让“明理”成为可外显练习。与说相比，用文字把思考过程写出来，经过更多的整理外化，在写的过程中增加了调整的机会，让计算思维变得外显而可操作。如下图14：

图14

教材中的例题给我们提供了很好的典范，只要稍加利用，进行追问或改编，就可以成为针对性的算理练习。从而使学生在练习中强化算理与算法的结合。

（3）“有理评得出”——让“算理”成为可测试问题。我们应该在平时评价中自主设计需要利用算理进行解释的问题，并在阶段性测试中增加此类要求，以增加学生的重视程度，检测学生理解的程度。

4.夯实除法基础，逐渐螺旋上升。

笔算除法的得分率比其他运算要低，这是由除法竖式本身的特点决定的。整数除法中常见的错误在小数除法中也会经常出现。要解决这些错误，就要夯实笔算除法的基础。二年级第一次接触到笔算除法时，可以结合实物、图像，帮助学生理解除法竖式的意义、写法；三年级学习除数是一位数的除法时，巩固二年级竖式的写法。在此基础上结合算理，让学生明确算法，掌握“除到哪一位商就写在那一位上面”，明白同一数位不可以多次求商；四年级学习除数是两位数的除法时，巩固二、三年级的知识，在此基础上学习除数是两位数的除法试商、调商、求商；五年级学习的小数除法，是在二、三、四年级的基础上，进一步将除数是小数的除法转化成除数是整数的除法计算。在螺旋上升的过程中，每一个易错点将反复出现，必须加强铺垫与练习，以弥补薄弱，突破难点，让学生在反复更正中不断进步。