捕捉高考立体几何的命题热点

汤小梅

热点1：空间几何体的三视图

空间几何体的三视图是每年高考的“常青树”， 一般会命制一道小题，多在选择题中出现，试题难度为中等.高频考查的类型：①空间几何体三视图的识别;②由三视图数据求解几何体的几何度量（指定棱长、指定侧面的面积等）;③由三视图数据求简单几何体的体积与表面积.

预测题1 如图1，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的最长棱的长度为

A.                 B.

C.                 D.

提示 构造长方体，根据三视图还原出空间几何体，再求出各棱长，即可得出该几何体的最长棱的长度.

参考答案 B

预测题2 如图2，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为

A.9      B.8      C.6      D.5

提示 根据三视图还原出空间几何体，利用柱体的体积公式，即可得出该几何体的体积.

参考答案 B

热点2：与球有关的几何体的切接问题

与球有关的几何体的切接问题是高考中的高频考点， 一般会命制一道小题，多在选择题或填空题中出现，试题难度为中等或中等偏难.高频考查的类型：①与棱柱或棱锥有关的几何体的切接问题;②与圆柱或圆锥有关的几何体的切接问题.

预测题3 阿基米德是古希腊非常伟大的数学家之一，他的一项重大贡献是建立了多种旋转体体积的精密求法.在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，将Rt△ABC绕AB边旋转一周所形成的几何体与其外接球的体积之比为______.

提示 先求出旋转体的体积，利用球心、圆锥底面的圆心以及圆锥底面圆上任一点所构成的直角三角形，求出圆锥的外接球的半径，再利用锥体与球体的体积公式，即可求出它们的体积之比.

参考答案

热点3：空间线面平行与垂直的证明

证明空间线面平行或垂直模型是每年高考的必考内容，通常位于立体几何解答题的第一小题的位置，试题难度为中等，常用方法是定理法或数据法.高频考查的类型：①利用定理法证明空间中的平行、垂直;②借用数据证明空间中的垂直;③用向量法证明空间中的平行、垂直.

预测题4 如图3，在四棱锥M-ABCD中，AD=AB=MA=λBC（λ>1），BC∥AD，点E在棱MA上，且MA=λME.

（Ⅰ）证明：BE∥平面MCD.

（Ⅱ）若AB⊥BC，DM= AB.

（i）证明：AD⊥平面ABE.

（ii）若BM=DM=4 ，且λ= ，求三棱锥M-BDE的体积.

提示 （Ⅰ）欲证BE∥平面MCD，只需在平面MCD内寻找一条直线与直线BE平行即可.（Ⅱ）（i）欲证AD⊥平面ABE，只需在平面ABE内寻找两条相交直线与直线AD垂直即可.（ii）利用（i）的结论AD⊥平面ABM，以及等体积法，把所求的三棱锥M-BDE的体积，转化为求三棱锥D-MBE的体积.

参考答案 （Ⅰ）（证明过程省略）

（Ⅱ）（i）（證明过程省略） （ii）8.

热点4：求空间角

空间角是高考必考的考点，有关空间线面角与二面角的问题常位于立体几何解答题的第二小题的位置，试题难度为中等;有关空间异面直线所成角或线面角的问题常以选择题或填空题的形式呈现，此时多以直三棱柱、长方体或正方体为背景，难度为中等或中等偏难.高频考查的类型：①平移法或向量法求空间异面直线所成的角;②定义法或向量法求空间线面所成的角;③向量法求空间二面角.

预测题5 如图4，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，G，H分别为棱C1D1，A1D1，D1D的中点，点F为线段BC1上的动点.若EF∥平面D1B1B，则异面直线EF和GH所成角的大小为

A.90°         B.60°         C.45°           D.30°

提示 方法1是利用平移法，把所求的异面直线EF和GH所成的角转化为同一个平面内两条相交直线所成的角，再通过解三角形，即可求出该角的大小.方法2是通过证明线面垂直，证得异面直线EF和GH垂直，从而得出异面直线EF和GH所成角的大小.

参考答案 A

预测题6 如图5，在多面体ABCDEM中，四边形ABCD是菱形，MA，DE都与平面ABCD垂直，AD=MA=2DE=2，点F为棱MA的中点，点G为线段MC上的动点（不包括线段MC的两端点）.

（Ⅰ）证明：EG∥平面BDF.

（Ⅱ）若直线MC与平面ABC所成的角为45°，求二面角G-CE-D的余弦值.

提示 （Ⅰ）欲证EG∥平面BDF，只需证明平面MCE∥平面BDF，利用面面平行的判定定理，即可得证.

（Ⅱ）利用直线MC与平面ABC所成的角为45°，得出△ABC为等边三角形，从而以A为原点，建立空间直角坐标系.分别求出平面MCE与平面CDE的法向量，再求出两法向量的夹角的余弦，根据图形的特征，即可得出二面角G-CE-D的余弦值.

参考答案 （Ⅰ）（证明过程省略）

（Ⅱ）- .

热点5：求空间距离

空间距离模型是高考的考点，其中点面距离问题或三棱锥的高的问题是高频考点，通常位于立体几何解答题的第二小题的位置，试题难度为中等.高频考查的类型：①等体积变换法求点到面的距离;②向量法求点到面的距离.

预测题7 如图6，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC为正三角形，AB=BB1，点D在棱BC上，且BC=4BD，点E，F分别为棱AB，BB1的中点.

（Ⅰ）证明：平面DEF⊥平面BCC1B1.

（Ⅱ）若AB=4，求三棱锥C1-DEF的高.

提示 （Ⅰ）欲证平面DEF⊥平面BCC1B1，只需证DE⊥平面BCC1B1，只需在平面BCC1B1内寻找两条相交直线与直线DE垂直即可.

（Ⅱ）利用等体积法，把求三棱锥C1-DEF的高的问题转化为方程问题，通过解方程，即可得出三棱锥C1-DEF的高.

参考答案 （Ⅰ）（证明过程省略）

（Ⅱ）2 .