高考函数与导数命题展望

石向阳

编者按：本期我们特地邀请了常年对全国卷进行深入研究，具有丰富经验的教师来探索高考命题的趋势，同时给出相应的预测题，以此为考生指明复习的方向，帮助考生把握高考的热点，启发考生的思维，以期各位考生能在今年的高考中多拿分.

热点1：函数的性质

函数的四大性质是高考对函数内容考查的重中之重，其中单调性与奇偶性更是高考的必考内容.在高考命题中，函数常与方程、不等式等其他知识结合进行考查.

预测题1 定义在R上的函数f（x）满足f（-x）= f（x），且当x≥0时，f（x）=-x2+1，0≤x<1，2-2x，x≥1.若对任意的x∈[m，m+1]，不等式f（1-x）≤f（x+m）恒成立，则实数m的最大值为

A.-1                   B.-                    C.-                    D.

参考答案 C

热点2：函数图像的判断

根据函数的解析式判断函数的图像，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图像进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是判断函数图像问题的基本方法.

判断复杂函数的图像，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选.要注意函数求导之后，导函数发生了变化，故导函数和原函数定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值.

预测题2 函数f（x）=ex+ae-x与g（x）=x2+ax在同一坐标系内的图像不可能是

参考答案 C

热点3：函数的零点

类型一 函数零点（即方程的根）的确定

常见的有：函数零点大致存在区间的确定，零点个数的确定，两函数图像交点的横坐标或有几个交点的确定.解决这类问题的常用方法有：解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是等号两端对应的函数类型不同的方程，多以数形结合法求解.

预测题3 已知函数f（x）满足：①定义域为R;②？坌x∈R，都有f（x+2）= f（x）;③当x∈[-1，1]时，f（x）=-|x|+1，则方程f（x）= log2|x|在区间[-3，5]上解的个数是

A.5                   B.6                   C.7                   D.8

参考答案 A

类型二 由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题

解决这类问题的关键是利用函数与方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式进行求解.

预测题4 设f1（x）=|x-1|，f2（x）=-x2+6x-5.函数g（x）是这样定义的：当f1（x）≥f2（x）時，g（x）= f1（x）;当f1（x）< f2（x）时，g（x）= f2（x）.若方程g（x）=a有四个不同的实数解，则实数a的取值范围是

A.（-∞，4）         B.（0，4）         C.（0，3）         D.（3，4）

参考答案 D

热点4：不等式恒成立时逆求参数的取值范围 （最值）

不等式恒成立问题一直是高考命题的热点，把函数问题、导数问题和不等式恒成立问题交汇命制压轴题成为一个新的热点命题方向.

预测题5 已知函数f（x）= + ，当x>0且x≠1时，f（x）> + ，求k的取值范围.

参考答案 （-∞，0].

由不等式恒成立求解参数的取值范围问题，直接含参讨论函数的性质，有点烦琐，却是官方青睐的正统解法，考生要仔细体会和掌握.分离变量法也很有效，但部分题型利用分离变量法处理时，会出现“ ”型代数式，利用洛必达法则虽能较好地处理，但有超纲的嫌疑.在这种情况下使用导数的定义，既能避免烦琐的分类讨论，又能避免使用洛必达法则.

热点5：虚设零点整体代换证明不等式恒成立

要证明f（x）>0恒成立，只要证明fmin（x）= f（x0）>0.一般情况下，x0是导函数f ′（x）的变号零点.如果f ′（x）=0是超越形式，我们无法求出导函数零点，这时我们一律对零点“设而不求”，通过形式化的合理代换或推理，谋求一种整体的转换和过渡，将超越式化简为普通式.

预测题6 已知函数f（x）=ex-ln（x+m）.当m≤2时，证明：f（x）>0.

提示 由已知推理得f（x）≥ex-ln（x+2）.令g（x）=ex-ln（x+2）.通过求导可得g′（x）在（-2，+∞）上单调递增.又g′（-1）=e-1-1<0，g′（0）= >0，所以存在唯一的x0∈（-1，0），使得g′（x0）=0.通过函数单调性可得gmin（x）=g（x0）= -ln（x0+2）.通过推理得g（x0）>0，可得gmin（x）>0，即g（x）>0，所以f（x）>0.

热点6：分离函数法证明函数型不等式

在用差值函数法直接证明F（x）= f（x）-g（x）>0无法完成的情况下，就要考虑用分离函数法了.先将f（x）>g（x）同解变形，整理成H（x）>G（x），整理的原则是不等式两边的函数H（x），G（x）容易用导数法研究它们的单调性，然后证明Hmin（x）≥Gmax（x），再说明两边取最值的自变量不一致，即证得H（x）>G（x），从而F（x）>0.该方法主要适用于同时含有ln x，ex的不等式.

预测题7 已知f（x）=exln x+ ，证明：f（x）>1.

提示 即证xln x+ > .令h（x）=xln x+ （x>0），求导可知h（x）≥h（ ）= .令g（x）= （x>0），求导可知g（x）≤g（1）= .于是有h（x）>g（x），从而f（x）>1.

热点7：放缩法证明含参数的函数型不等式

给定参数的取值范围，证明含参函数f（x）>0恒成立，一般先利用参数取值范围的端点值对f（x）>0进行放缩，变成新的不含参数的不等式.常用的放缩有：ex≥x+1，ln x≤x-1， ≤ln（1+x）≤x， < < .（在解答题中使用时一定要给出证明过程）

预测题6其他证法提示 经分析只需证明ex-ln（x+2）>0，（另法1）即证ex >ln（x+2），或（另法2）即证 > ，或（另法3）即证 > e2.

熱点8：双变量不等式问题

类型一 整体换元构建函数

一般地，在变形过程中若出现指数形式 - = [1- ]，可考虑对k（x1-x2）作整体换元;若出现对数形式ln x2-ln x1=ln ，可考虑对 作整体换元.

预测题8 已知函数g（x）= -k有两个不同的零点x1，x2，证明：x1x2>e2.

类型二 利用结构相似构建函数

在关于x1，x2的双变量问题中，若无法将所要证明的不等式整体转化为关于m（x1，x2）的表达式，可通过分离变量，凸显出原不等式隐藏的规律，即左右两边式子的结构特征相似，则考虑将不等式转化为函数的单调性问题进行处理，进而实现消元的目的.

预测题9 已知f（x）=x-aln x（a<0）对（0， ）上的任意两个不等的实数x1，x2，恒有|f（x1）- f（x2）|< | - |，求实数a的取值范围.

参考答案 - ≤a<0.（责任编校？筑冯琪）