时滞优化对复杂追踪算法精度的影响

季家威，王国杰，常 军

（苏州科技大学 土木工程学院，江苏 苏州215011）

盲源分离（BSS）是目前信号处理中热门的新兴技术之一。盲源分离是指从被测的混合信号中分离得到其独立的组成分量（源信号）。盲源分离算法在土木健康监测中起步较晚，静行等基于独立分量分析结构的模态参数[1-2]；2007年，Kerschen等对ICA理论进行研究[3]；孙战里等研究了时盲源分离算法中时滞的影响[4]；McNeill等将改进的SOBI算法运用到框架结构的模态识别上[5]；W Zhou等人将Amuse算法应用到了结构的模态参数识别[6]。国内的一些学者也有对盲分离算法的研究，钟洛等建立了基于PCA的ICA算法并运用到结构损伤识别中[7]，刘文波等利用了ICA算法进行结构模态参数及损伤识别[8-9]。尤传雨等研究了复杂追踪算法的改进[10-11]，在这些研究中，对于模态参数的识别都是直接应用盲源分离技术从结构的响应中分离得到振型矩阵和各阶的模态响应，再应用时域或频域的单模态识别方法从各阶模态响应中识别模态参数。

复杂追踪（CP）[12]是近期发展起来的一种BSS技术，该方法结合了信号的统计特性和时序结构，通过寻找合适的投影方向，使该方向投影信号的复杂度最小，从而实现对混合信号的分离。与传统的盲源分离算法相比，传统的盲源分离算法往往只以信号的统计特性作为分离依据，而忽略了信号的时序特性。CP算法最主要的目的就是对目标函数进行不断的寻优，直到计算出最适合的分离矩阵。目标函数中最关键的就是要计算一个或多个时间延迟的协方差矩阵。在现有对复杂追踪的算法的研究中，罕有对时滞进行的讨论，只是通常情况下都默认时滞为1，但在实际的信号中，时滞的个数往往是不确定的，时滞的选择在一定程度上影响识别的精度和稳健性。特别在被测数据被噪声污染的情况下，这种影响显得更为突出。

本文从时滞的角度出发，分析不同时滞对CP算法的影响，以及利用信号的统计特征，分析自相关函数和偏自相关函数来确定CP算法中的时滞个数，从而确定目标函数的形式，对结构进行有效的分析。

1 盲源分离的理论基础

1.1 盲源分离的基本模型

对于线性盲源分离，观察矢量X（t）=[x1，x2，…xn]T被假设为未知源信号，S（t）=[s1，s2…sn]T根据下面的模型形成线性混合物

式中，源信号Sj（t）（j=1，2…n）被假设为相互独立。由于源信号是时间信号，因此上式中t是时间指标；A为混合矩阵，混合矩阵一般被视为方形矩阵；源信号的个数和混合信号的个数相等。若存在不相等的情况，可利用PCA多信号进行降维，最大贡献下保留信号所有信息特征。

复杂追踪作为时盲源分离的一种，目标是在仅知观测信号的情况下，寻找一个解混矩阵W，使得分解得到的输出信号Y（t）各分量的复杂度尽可能的小。分离过程可表示为

式中，Y（t）作为输出信号，近似源信号S（t）。

1.2 基本假定

由于源信号与混合矩阵未知，只有观测信号的信息已知，若无任何前提假设，盲源分离问题就会存在不唯一解，所以必须要有一定的假定或者约束条件：

（1）混合矩阵为列满秩矩阵；

（2）源信号各分量相互独立；

（3）源信号至多有一条高斯分布信号。

1.3 复杂追踪算法

复杂追踪是一种基于信号时间结构的盲分离算法，下面给出其基本原理。

复杂追踪的基本思路是对混合数据进行白化处理，然后对目标函数进行迭代，得到分离矩阵。

（1）为了减小计算的复杂度，白化操作可以通过以下矩阵变换实现

式中，V为白化矩阵。白化矩阵通过对随机变量的协方差作特征值分解，所以白化矩阵为

（2）在对混合数据进行预处理后，就可以计算时间延迟协方差矩阵。对于一个给定的时间延迟，信号向量X（t）在不同时间点的协方差可以表示为

式中，E{●}为数学期望。

（3）在判断时滞的个数时，利用信号的统计特征，根据自相关函数图像和偏自相关函数图像来进行判定。自相关函数

式中，σx2是度量随机过程取值对其均值的离散程度。

偏自相关函数是在给定了yi-1，yi-2…yt-τ+1的条件下，yt与滞后τ期时间序列之间的条件相关。定义如下

（4）目标函数。假设信号是零均值和单位方差的，信号y（t）在t时刻的值由t时刻以前的值预测

其冗余项

为了最小化信号的复杂度，就需要确定信号的时间结构及公式中f，继而计算得到冗余项的复杂度，采用自回归模型对信号进行预测

式中，τ为时间延迟个数，ατ为τ阶回归系数。从目标函数的形式可以看出，时滞的个数对结果会有一定的影响，Hyva¨rinen[12]采用的是自回归模型的特例τ=1时的目标函数形式，而本文则是为了验证时滞对结果的影响，对复杂追踪算法进行优化，其主要利用信号的统计特性来判断时滞个数从而确定目标函数的最终形式。

2 结构模态参数识别

2.1 理论基础

由动力学知识可知，线性振动系统的自由响应为

式中，qj为模态坐标，φi为固有振型向量，n为系统的模态数。

模态坐标可表示为

式中，ωdi为有阻尼频率，θi为相位角（对于自由响应），ai（t）为指数衰减函数exp（-ξiωnit），ξi、ωni分别为阻尼比与固有频率。

2.2 基本步骤

基本步骤为：（1）对观测信号进化进行预处理，即白化和中心化；（2）根据信号的统计特征得到信号的自相关函数图像与偏自相关函数图像；（3）根据图像判断时滞个数，并确定目标函数的形式；（4）通过目标函数得到分离矩阵及分离信号；（5）通过分离信号得到结构的模态参数。

3 数值分析

3.1 自由响应模型

图1 三层框架模型

3.2 分析结果

对观测到的自由响应信号进行预处理，并且得到得出信号的统计特征。见图2与图3。从图2和图3可以看出，自相关函数有拖尾现象，即自相关性在不断地衰减，偏相关函数在2处达到最大，即相关性最大（在0处相关性为1，代表信号在t时刻与t时刻相关性为1），所以时滞个数确定为2。这样便可以确定目标函数。

图2 自相关函数图像

图3 偏自相关函数图像

通过复杂追踪算法对观测信号进行处理，图4为观测信号。为了便于比较时滞对识别精度的影响，计算了时滞为1和时滞为2的分离结果，见图5至图8。光是从图像上不能看出两者差异，所以从数值上分析两者差异，如表1与表2所列。

图4 观测信号

图5 分离信号（时滞为1）

图6 分离信号（时滞为2）

图7 频域图像（时滞为1）

图8 频域图像（时滞为2）

表1 三层框架固有频率识别结构

表2 三层框架阻尼比识别结果

采用模态置信准则MAC（Modal Assurance Criterion）来度量振型识别的准确性（如表3所列）。模态置信系数

表3 三层框架振型MAC识别结果

其中，φi、φi分别为振型的理论值与识别值，0≤MAC≤1，其值越大（接近1），说明识别振型的准确性越高。

从表1至表3可以看出时滞不同对结构的模态识别结构也不相同。当确定了正确的时滞个数后，结构的模态参数精度更高，更加接近理论值。图9所示为理论振型与时滞为2时的对比图。

图9 三层框架前3阶振型对比图

4 结论

介绍了盲源分离算法的基本理论，以及利用复杂追踪算法识别模态参数的相关过程。讨论了通过何种思路来确定复杂追踪算法中的时滞个数，最后通过对既有三层框架模型的数值分析，计算在不同时滞个数下的结构的固有频率和阻尼比，同时利用MAC识别结果对不同时滞个数下的分离精度进行比较，从而得到如下结论：

（1）时滞个数对盲源分离的精度有着一定的影响；

（2）复杂追踪算法能有效地识别结构的模态参数；

（3）适合的时滞个数得到的模态参数识别结果更接近理论值。