基于数学模型的非对称边缘连卷袋切割方法研究

周 凯，徐聪聪，王东旭，李华建，坎 标

(常州大学 机械工程学院，江苏 常州 213100)

连卷袋是人们在商场和超市经常用来装盛和包装果蔬、糕点等商品的一种便利袋。即使是在限塑令之后，环保型的连卷袋仍然被广泛使用[1-2]。但是，连卷袋在使用前经常会由于大气压使得两层塑料薄膜相互吸附在一起，平口边缘更是导致人们无法快速找到着力点打开袋子。针对连卷袋不方便打开这一问题，先前也有一些解决方案。例如，在袋口前后两层袋壁分别设置一个不重叠缺口，使用时可以用手指从缺口位置捻开袋口[3]；将连卷袋前后两层设计成不同高度，同时将袋口方向设计在连卷袋卷绕方向一侧，使用时沿袋子两侧撕开[4]；在袋口两端沿切割线分别设置一个倒直角的引导口，使用时捏住袋口两端反向捻搓打开袋口[5]。但是以上方法都难以同时满足批量生产和使用方便两个要求。针对这一问题，本文提出在连卷袋生产过程中通过一次切割和一次对叠，使连卷袋袋口两侧壁形成峰谷错位的轮廓边缘，从而让人们在使用时很容易根据非对称的袋口找到着力点打开袋子。

1 工作原理

连卷袋在生产过程中通常都是压扁的圆筒形状，在输送装置中一次切成非对称式切口难度比较大。因此，采用两步法实现非对称切口是比较可行的办法，即通过一次对称切割和一次对叠使连卷袋袋口两侧壁形成峰谷错位的轮廓边缘。在对称切割后，连卷袋前后两层应具有相同的刀口形状，同时刀口形状应具有波浪形轮廓，以便在后续对叠后能识别出峰谷轮廓边缘。随后的对叠是将完全重叠的连卷袋前后两层袋壁沿周向捻转过一定角度后重新压扁，使得袋口两侧壁峰谷错位。为了保证重新对叠后峰谷错位的袋口轮廓，同时保证打开袋口方便，需要对第一次切割袋口的参数及重新对叠方案进行优化。

2 数学模型

2.1 建立坐标系

如图1所示将连卷袋展开成圆筒形，建立空间圆柱坐标系，取对称切割方向为角度自变量α=0位置，袋口高度记为y=f(α)，式中显然，y=f(α)是2π的周期函数，即f(α+2π)=f(α)。另外，由切口的对称性可得，当时，y=f(-α)。重新对叠后形成的新折线与第一次切割方向(即α=0)的夹角为θ。连卷袋的宽度记为L，则L=πR，式中R为连卷袋圆筒半径。

图1 圆柱坐标系下连卷袋袋口高度模型

2.2 目标函数

连卷袋重新对叠后形成新切口的峰谷值对应问题，可以看成是在区间(θ，θ+π)内，任意一处的函数值与另一半区间(θ-π，θ)内函数值的对应关系。设在区间(θ，θ+π)内的切口高度函数为y1，当当y1=f(-α)。设在区间(θ-π，θ)内的切口高度函数为y2，当当

2.3 初始条件

袋口高度y为角度变化量α所对应的函数值，为简化表达，假设当α=0时，y=0。

2.4 约束条件

为实现最佳的非对称袋口，需使连卷袋切口处的峰谷值对应。则需要同时满足以下条件：

①峰谷值对应的最佳情况是，当自变量角度α达到极值时，α关于α=θ对称的位置α=2θ-αi处也应达到极值，即由极值定理，当时其中αi表示各极值点位置的α角度。

另外，要保证在α=0和α=π的切口两边平整光滑，还需满足和

3 模型求解

3.1 模型的约束假设

显然，满足上述要求的连卷袋切口函数有多种解。这意味着要实现符合要求的袋口可以有多种切割和对叠方案。为寻找方便规模化连续生产的典型可行解，增加以下假设：

①垂直对叠假设。考虑到连续生产中捻转动作实现起来比较复杂，并且捻转角度较难准确控制，因此采用90°捻转对叠的方案，即将连卷袋撑开后再在与原对叠方向相垂直的方向重新对叠。这样，就有θ=90°。

②周期性切口轮廓假设。周期切口轮廓在生产中相对容易实现，也利于分析讨论。因此令切口形貌函数满足f(α)=f(T+α)，其中T为周期。为方便进一步给出显式可行解，假设函数模型为正弦函数。

值得指出的是，切口函数并不局限于以上典型。周期半圆弧函数、圆弧倒角的锯齿波函数、方波函数等函数都是可行的。但考虑其函数表达式简单性和图形曲线光滑连续的要求，本文首选正弦函数进行讨论。

根据上述约束假设，求解的关键在于确定袋口被压平切割时袋口不同位置的高度。在平面直角坐标系中，将袋口高度F(x)与袋口任意位置到一侧边缘的距离x的关系记为F(x)=Asin(ωx+φ)，设函数的周期为T0，则频率由于边缘要平整光滑，以避免因应力集中使连卷袋在边缘处被撕坏，所以要求切口轮廓函数形式避免出现间断点，因此需要满足这样可以保证在x=0处重新对叠后切口轮廓光滑连续。为满足在x=L位置重新对叠后切口轮廓光滑连续，还需要满足其中n=0，1，2，3，…。

图2 实际切口图

图3 对叠后切口图

图4 开袋时的示意图

3.2 参数优化

考虑到当人们打开连卷袋的时候，大多使用大拇指指肚前面部分配合食指捏住非对称切口连卷袋两侧拉开，而根据一般成年人的拇指指肚平均尺寸，峰谷错位区域宽度和高度均在20 mm为宜，过小则打开时手指难以找到合适的着力位置，过大则会减小连卷袋装盛空间。因此，A=10 mm。如图4所示，实际手指着力区域的高度为a=2A，宽度为b，仅相当于半周期跨度，则有T0=2b，取40 mm为宜。

表1 不同规格连卷袋切口优化参数表

4 结论

本文提出一种在连卷袋生产过程中仅通过一次切割和一次对叠，使连卷袋袋口两侧壁形成峰谷错位的轮廓边缘，从而让人们在使用时很容易根据非对称的袋口找到着力点打开袋子。通过建立数学模型，进一步对袋口边缘切割方式进行讨论，对峰谷尺寸参数进行优化，获得了市场上常见连卷袋规格优化切割参数，结果可作为切口装置设计的依据。本次创新只是在原有加工的流程中将平切口改为余弦切口和增加一道对叠工序，方便整合进连卷袋原有生产线中，改造成本低，实用性高。