基于等价Fisher信息矩阵的AUV集群网络导航精度分析

张立川,王永召,屈俊琪

(西北工业大学 航海学院,陕西 西安,710072)

0 引言

可靠的位置信息是自主水下航行器(autonomous undersea vehicle,AUV)完成水下各项工作的基础,在 AUV集群协同导航中,研究信息在AUV之间的传递规律,对于提高AUV的协同导航精度具有重要意义。在协同系统中,领航AUV通过高精度传感器可较为精确地获取自身的位置,而跟随 AUV由于只装备了低精度传感器,所以必须依靠先验信息、自身量测信息以及和领航AUV或同伴跟随AUV协作来估计自身的位置。

AUV集群的协同定位属于网络协同导航范畴,网络协同导航主要指导航网络内的各个节点单元通过获取网络内其他节点单元的信息后加以融合,根据自身的先验信息和量测来估计自身的位置。国内外大多数学者研究了单个领航艇和单个跟随艇信息融合的定位误差和导航算法。文献[1]研究了无迹卡尔曼滤波的协同导航算法。文献[2]研究了AUV集群编队构型对定位误差的影响,但是分析模型具有一定的单一性,对于 AUV集群协同导航来说,不会只是局限于此,从信息论和网络协同导航的角度出发,AUV集群协同定位误差模型应具有更为精确的建立。文献[3]研究了基于信念传播的无人机协同网络导航算法,无人机利用整个编队信息的融合进行协同定位,极大提高了定位精度,说明网络协同导航在无人机的协同导航中已经有所研究。文献[4]从Fisher信息矩阵的角度出发,论证了网络协同导航系统每个节点的Fisher信息矩阵包含模型的先验信息、时间协同信息和空间协同信息。文献[5]从Fisher信息矩阵的角度出发,给出了网络协同导航典型节点模型的空间协同、时间协同以及信息融合的定量分析,证明了当信息量越多时,节点的定位精度越高。

基于之前的研究,文中进一步研究了 AUV集群的网络导航方式,提出了4种典型的AUV集群网络导航模型,并引入等价Fisher信息矩阵等相关理论,分别对 4种模型的定位误差影响因素和定位误差界进行了分析和理论验证,通过理论和仿真试验证明:AUV集群在空间和时间上的相对位置关系是影响集群定位精度的重要因素,下文将对AUV集群的网络导航精度做具体分析。

1 AUV集群网络导航模型

AUV集群网络导航模型如图1所示。图1(a)为单个跟随 AUV在某个时刻tk根据水声测距和通信从空间中若干个领航 AUV获得定位信息,从而确定自身的位置,其中Na≥2 。图 1(b)是以图1 (a)为基础的进一步研究,图1 (a)只研究了空间内某个时刻跟随AUV的定位误差,而图1 (b)既考虑了空间信息,同时又将时间上的位置转换考虑在内。图1 (c)同样研究跟随AUV在某个时刻tk的定位误差,与图1 (a)不同的是,图1 (c)增加了2个跟随AUV之间的信息融合。图1 (d)中将跟随AUV设定为3个,例如:跟随AUV1不仅从领航AUV,相邻跟随AUV2、AUV3之间获得信息,由于AUV2、AUV3之间也相互通信,AUV2、AUV3融合后的信息最终也会被跟随AUV1获得。

图1 集群AUV网络导航模型Fig.1 Network navigation models of AUV swarm

2 Fisher信息矩阵网络导航分析

首先引入Fisher信息矩阵建立AUV集群网络导航误差模型,之后建立图1中4种典型网络导航模型的等价 Fisher信息矩阵[6],并根据等价Fisher信息矩阵对相应网络导航模型的定位精度进行详细分析。

2.1 理论基础

假设在 AUV集群导航网络中有一系列跟随AUVi,用定义跟随AUVi在tn时刻的状态,其中通过 AUV之间的水声量测量,信息传递以及 AUV的先验信息来估计AUVi的位置信息。

其中,⊗为克罗内克积算子,所以S阶矩阵的k×r阶子矩阵可表示为

另Kij取决于AUV集群在状态i和状态j的先验信息和量测信息,且Kij=Kji,如果Kij=0,说明AUV集群在状态i和状态j之间没有先验信息和量测信息。如果i=j,则Kii只和AUV集群的状态i有关。

2.2 信息融合模型

AUV集群信息融合的方式分为空间协同、时间协同和空时协同。文中只研究前 2种,跟随AUV通过自身的先验信息、领航AUV及其他跟随AUV的位置信息来估计自身的位置。

图1(a)为空间域内 1个跟随AUV和若干领航AUV的信息融合图,跟随AUV从每一个领航AUV所获得信息的Fisher矩阵为其中因此基于式(1)的 Fisher信息矩阵为

图1(b)为时间域内1个跟随 AUV和若干领航AUV的信息融合图,跟随AUV在2个不同时刻t1和t2通过和领航 AUV信息交换以及自身传感器测量来确定自身的位置状态和,自身传感器所获得信息的 Fisher矩阵为其中因此基于式(1)的Fisher信息矩阵为

图1(c)为空间域内2个跟随AUV和若干领航AUV在t1时刻的信息融合图,且需要考虑2个跟随AUV之间的信息融合。2个跟随AUV的位置状态为和,2个跟随AUV通过水声量测的 Fisher信息矩阵为因此基于式(1)的Fisher信息矩阵为

图1(d)为3个跟随AUV和若干领航AUV在空间上的信息融合图。跟随 AUV1不仅从领航AUV,相邻跟随 AUV2、AUV3之间获得信息,由于AUV2、AUV3之间也相互通信,AUV2、AUV3融合后的信息最终也会获得。跟随 AUV的位置状态为和,跟随 AUV之间通过量测的信息矩阵为

2.3 定位误差界

基于2.2节分析的结果,分别研究在网络导航模型(a)～(d)的导航系统中,单个 AUV通过信息融合后的定位误差界。所以需要将第2.2节中AUV集群的 Fisher信息矩阵进行转换得到单个AUV的等价Fisher信息矩阵和定位误差界。

1)图 1(a):由式(3)可以得到跟随 AUV 的Fisher信息矩阵为

所以跟随 AUV的平方位置误差界(squared position error bound,SPEB)为

根据式(7)和式(8)对跟随 AUV的定位误差做出讨论。

①η越大,即当空间领航 AUV越多时,tr(Ja)越大,此时跟随AUV的定位误差界越小。

② 当η=2时,此时空间内有2条领航AUV,当时SPEB最小,即2个领航AUV和跟随AUV成90°(见图2),定位误差界最小。

图2 双领航AUV协同最优编队构型Fig.2 Optimal cooperative AUV formation configuration with dual leader AUVs

③ 当η=3,4,…,Nm时,由式(8)可知,使各个领航AUV以跟随AUV为坐标原点成最多两两互成90°排布,如图3所示,此时可以得到最小的SPEB。

图3 多领航AUV协同最优编队构型Fig.3 Optimal cooperative AUV formation configuration with multiple leader AUVs

2)图 1(b):根据式(4)跟随 AUV 在时刻tk+1的等价Fisher信息矩阵为

① 当Jr(t)=0时,说明跟随 AUV完全没有从自身传感器获取量测信息,而是单纯依靠领航AUV完成自身定位,此时

④ 若忽略跟随AUV在航行时的航位推算误差,则在t2时刻,跟随AUV的Fisher信息矩阵为假设空间内只有 1个领航AUV和 1个跟随 AUV,分析系统在t2时刻跟随 AUV的误差情况,对应的Fisher信息矩阵为

所以跟随AUV平方位置误差界为

图4 平方位置误差界Fig.4 Square position error bound(SPEB)

所对应的编队构型如图5所示。

3)图 1(c):由式(5)可得,跟随 AUV1的等价Fisher矩阵为

算例:假设跟随AUV1,AUV2和领航AUV在空间的位置分别为(0,-2)、(2,0)和(0,2),假设跟随 AUV1从领航 AUV处获得的信息矩阵为量测方差σ2=1,由式(12)可以计算得到跟随 AUV1的 Fisher矩阵,将其表示为信息椭圆[7]的形式,椭圆面积代表了在对参数估计的过程中信息量的大小和误差范围。跟随 AUV信息融合前后的信息椭圆如图 6所示,由信息椭圆面积可知,当增加跟随 AUV之间的信息融合时,可以提高导航系统的定位精度。

图6 信息融合前后信息椭圆对比Fig.6 Comparison between information ellipses before and after information fusion

4)图1(d):为3个跟随AUV在空间内的信息融合,Fisher信息矩阵如式(6),由于等价Fisher信息矩阵形式十分复杂,文中不再详述。

3 数值仿真与分析

下面通过数值算例分别对2.3节分析2)中的结论④和2.3节分析3)来进行仿真验证。

1)算例1:假设空间有1个领航AUV从(0,0)处开始航行,航速 2 m/s,1个跟随 AUV同时从(-500,0)处航行,航速2 m/s。假设测距误差0.1 m,跟随 AUV速度传感器的误差 0.1 m/s,角度误差0.1°,位置误差 1 m,采样周期 10 s。

试验组:领航AUV的航向为北偏东30°,跟随 AUV航向正北,之间产生相对观测角度变化;对照组:领航AUV航向正北,跟随AUV航向正北,之间未发生相对观测的角度变化。2组试验均采用EKF协同定位算法计算2个AUV的轨迹及误差,结果如图7～图10所示。

图7 试验组AUV协同定位轨迹Fig.7 Tracks of AUV cooperative location for test group

图8 试验组AUV协同定位误差曲线Fig.8 Curves of AUV cooperative location error for test group

在试验组中,跟随AUV和领航AUV之间有相对角度变化(见图7),所以图8中的定位误差波动小,且定位更加精准;而在对照组中由于跟随AUV和领航AUV之间没有发生相对角度的变化(见图9),所以图10中的定位误差波动较大。

图9 对照组AUV协同定位轨迹Fig 9 Tracks of AUV cooperative location for contrast group

图10 对照组AUV协同定位误差曲线Fig 10 Curves of cooperative localization error of AUV of contrast group

2)算例2:假设空间有1个领航AUV从(0,0)处沿着正北方向航行,航速5 m/s,2个跟随AUV分别从(-500,0)和(500,0)沿着正北方向航行,航速分别为1 m/s和2 m/s。假设测距误差5 m,2个跟随AUV的速度传感器误差为0.1 m/s,角度误差0.1°,位置误差1 m,采样周期1 s。

试验组:2个跟随AUV之间通过水声通信进行信息融合;对照组:2个跟随AUV之间没有信息融合。试验组采用基于扩展卡尔曼滤波(extended Kalman filter,EKF)的信息融合算法对跟随AUV2进行定位,对照组采用EKF协同定位算法,跟随AUV2的定位误差如图11所示。

图11 跟随AUV2协同定位误差对比曲线Fig.11 Contrast curves of cooperative location error for follower AUV2

由图11可知,与单纯依靠领航AUV相比,增加跟随AUV之间的信息融合可以极大地提高定位精度。

4 结束语

文中提出了4种AUV集群协同定位的信息融合典型节点图,并且引入等价 Fisher信息矩阵等理论对影响误差的因素进行了分析,当各领航AUV和跟随AUV之间的方向向量最多两两互成90°时,此时跟随AUV的定位精度最高;当跟随AUV在相邻观测时刻和领航AUV的方向向量夹角越大,定位精度越高,且最高定位精度的夹角为90°;增加跟随 AUV之间的信息融合,利用整个编队的信息对跟随 AUV进行定位,可以提高定位精度。

为了使得网络导航误差模型更加完善,仍需要对增加更多跟随 AUV的空间网络导航误差以及空时网络导航误差进行分析;需要将文中理论应用到具体的网络导航算法中分析 AUV集群的实时导航误差。