在“链”“错”“比”的过程中积累数学基本活动经验

丁凤良

【关键词】数学 基本活动经验

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，义务教育数学课程的总目标之一是帮助学生“获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”[1]。将“双基”变成了“四基”，不仅关注数学基础知识、基本技能，也要关注基本思想和基本活动经验。

结合教学实践和对文献的分析，本研究认为“数学基本活动经验”是小学生在参与数学基本活动中，经历探究、思考、抽象、猜想、推理、反思等过程，所获得的由数学知识、技能、智慧、情感与观念等组成的有机组合性经验。其中，既包括认知的经验，动作技能性经验，也包括情感的经验，意志、观念等层面的经验，并将这些经验迁移运用到后续的数学学习中去。其核心是关于如何思考的经验，其最终的目的在于帮助学生建立数学现实和数学学习的直觉，学会运用数学的思维方式进行思考。

本文将以“乘法还可以怎样算”为例阐释教师如何进行教学设计以帮助学生积累数学活动经验。

一、经验“链”中得，让学生经历由“浅显”逐步走向“深入”

为了在教学中帮助学生积累数学基本活动经验，教学活动的设计一定要有结构、有条理。“乘法还可以怎样算”的教学过程主要包括四个链条。

链条一：独立完成，暴露原有经验。通过运用竖式计算23×13，激活学生原有借助竖式计算乘法的经验。在此过程中，尤其强调学生要明确算法、数位以及每一数位上数字表示的含义。

链条二：合作探究，碰撞生成经验。安排学生先依据要求用画线的方法尝试独立计算，在此基础上进行交流分享。这样有助于学生个人原有的“以形表数”经验的激活，进而通过交流分享激发学生生成“以形算数”的新经验，以帮助学生深化对形与数关系的理解，还可以拓展学生的经验，认识到乘法计算方法不仅局限于“竖式”一种。

链条三：引导提炼，提升再生经验。教师通过引导、梳理和提炼，帮助学生将在原有经验基础上生成的新经验“结构化”。具体到本环节来说，就是深化“以形表数”的经验。首先帮助学生验证借助画线计算乘法的可行性，然后帮助学生建立借助竖式计算乘法的老经验与借助画线计算乘法的新经验之间的联系，接下来是深化学生对数位以及数字所代表含义的经验。

链条四：解决问题，拓展新的经验。介绍“格子乘法”（铺地锦）的方法，拓展学生计算乘法的方法经验：各种方法不同，但其方法的本质是相同的，简单概括就是数位对齐，相同数位相加。

实现学生数学基本活动经验积累，是一系列有内在联系的数学活动累积的结果，前一次数学活动的过程和结果是后一次数学活动的基础，后一次的数学活动经验是前一次数学活动经验的巩固和发展，也是前一次数学活动经验的演变和升华（见图1）。我们应当注重让学生亲身经历观察、描述、操作、猜想、实验、思考、推理、交流、应用的数学活动过程，在“经历、内化、概括、迁移”的过程中唤醒、累积、反思、提升、运用并重新创造经验，使学生不断积累数学基本活动经验，达成高层次的認知目标。

二、经验“错”中得，让学生经历由“错误”逐步走向“正确”

运用画线的方法计算23×13既是本节课的重点，也是本节课的难点。值得关注的是，学生对于运用竖式计算乘法已经有了熟练而且根深蒂固的经验，如何引导学生跳出原有经验，换个思路来计算乘法是非常困难的。但让学生主动挑战自己、突破思维局限又是非常有价值的。为此，我在教学设计的时候，采用了提出活动建议并顺着学生的思路逐渐生长的策略。

学生每四人形成一个小组进行合作研究，先独立思考，再以小组为单位进行讨论交流;用线表示数，借助线和线的交叉点表示两个数相乘的结果，尝试计算23×13;如果不能直接计算出23×13，可以从比较小的数开始尝试。

在借助画线方法来计算23×13的过程中，学生出现了如下几种典型情况：

1.将乘号进一步放大，既有用线表示数，也有用线的交叉表示相乘（见图2），但总体比较牵强。因此，也反映出学生没有读懂并理解活动建议。

2.23用23条横线来表示，13用13条竖线来表示，它们的交叉点一共有299个，因此，23×13的结果就是299（见图3）。完全符合用线表示数，用线与线的交点表示相乘的结果。此种方法反映出学生不仅读懂并理解了活动建议，同时也反映出学生对于23×13这个算式的含义有着深刻的理解。我把它概括为直觉层面的敏感，我也为学生的建构和联系能力惊叹。当然，此种方法弊端也很明显。如果数非常大的时候，就要画很多线，这种方法就太麻烦了！

3.23不用23条线来表示，而是分开表示，一条线表示一个十，两条线表示两个十;一条线表示一个一，三条线表示个三一。用红色表示23，用蓝色表示13（见图4、图5）。

4.23不用23条线来表示，而是分开表示，一条线表示一个十，两条线表示两个十;一条线表示一个一，三条线表示三个一。而且，用红色来表示十位，用蓝色表示个位（见图6）。

纵观以上探究过程，如果从正确与否的角度来说，很显然第三、第四种方法才是教师最期待的。但是，仔细分析不难发现，如果没有第一和第二种方法的启发和提示，学生很难立即想到后两种方法。因此，也恰恰体现出前两种方法的价值和意义。如果学生不经历尝试、错误、修正的过程，其经验也不会稳固。正所谓经验历中生，经验错中得，无错不经验，化错累经验。这样，课堂教学中的差错就转化为教学资源，再相机将其融入后续的教学过程中，就能将教学活动引向学生心灵深处，变“事故”为“故事”。

三、经验“比”中得，让学生经历由“单一”逐步走向“多元”

在学生汇报的基础上，教师帮助学生建立运用竖式计算乘法和借助画线计算乘法之间的联系（见图7、图8）。

数字3×数字3：左侧竖式中，23的个位数字3与13的个位数字3相乘得出数字9;右侧画线方法中，表示23中个位数字3的三条线与表示13中个位数字3的三条线相交叉出现9个点;数字9和9个点均可以表示3个1和3个1相乘的结果是9个1，而且结果一致。

数字2×数字3：左侧竖式中，23的十位数字2与13的个位数字3相乘得出数字6;右侧画线方法中，表示23中十位数字2的两条线与表示13中个位数字3的三条线相交叉出现6个点;数字6和6个点均可以表示2个10与1个3相乘的结果是6个10，而且结果一致。

数字3×数字1：左侧竖式中，23的个位数字3与13的十位数字1相乘得出数字3;右侧画线方法中，表示23中个位数字3的三条线与表示13中十位数字1的一条线相交叉出现3个点;数字3和3个点均可以表示3个1与1个10相乘的结果是3个10，而且结果一致。

数字2×数字1：左侧竖式中，23的十位数字2与13的十位数字1相乘得出数字2;右侧画线方法中，表示23中十位数字2的两条线与表示13中十位数字1的一条线相交叉出现2个点;数字2和2个点均可以表示2个10与1个10相乘的结果是2个100，而且结果一致。

在以上两种方法对比的基础上，教师进一步介绍我国古代“铺地锦”的方法（见图9），并对这三种方法进行对比，建立三种方法之间的联系，最终明确三种方法只是形式不同，但计算的道理本质上是一致的。为了帮助学生更好理解，还可以旋转“铺地锦”（见图10）。

在“比”的过程中，学生建立和打通了以上三种方法的联系，深化了对于计算方法背后算理的理解，同时也深切感受到我国传统的乘法计算方法的简洁、精要。

就经历的过程而言，教师基于学生的数学基本活动经验引领学生经历的“数学化”过程，也是学生数学基本活动经验“生长”的过程，这个过程可以让模糊的变得清晰起来，让片面的变得完善起来，让错误的变得正确起来，让零散的变得结构化起来。就获取经验的过程来讲，数学基本活动经验的积累需要教师设计有助于学生尝试体验和发展思维的数学活动。在此基础上，衡量一节课的教学设计是否有助于学生数学基本经验的获得，要看最终的教学效果是否有助于学生的思维发展。

综上所述，学生的数学基本活动经验是学生在数学学习过程中，原有知识、法则、联系与新的基本概念、原理、方法等教学内容相互作用而产生和发展的。

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大學出版社，2012：8.

本文系北京市教育科学“十三五”规划2017年度一般课题“小学数学基本活动经验积累与评价的案例研究”（CDDB17209）的成果。

（作者系北京市海淀区双榆树第一小学校长）

责任编辑：孙昕

heartedu_sx@163.com