钢管混凝土柱徐变稳定性分析

赵人达 ，吴德宝 ，王永宝 ，贾 毅 ，廖 平

（1.西南交通大学土木工程学院，四川 成都 610031；2.太原理工大学建筑与土木工程学院，山西 太原 030024）

钢管混凝土柱相对于普通钢筋混凝土柱具有更优的强度和性能，广泛应用于国内外的桥梁、高层建筑等结构中[1-2].受长细比、边界条件等因素影响，钢管混凝土柱的设计往往受压杆稳定控制.由于钢管混凝土（CFST）柱长期处于受压状态，管内混凝土的徐变导致柱内力重分布和多余的几何变形，直接影响到结构能否长期安全工作[3].因此，CFST 柱的徐变稳定问题需做进一步研究.

目前，学者们对CFST 结构随时间变形、稳定问题进行了较多的试验[4-6]，研究表明管内混凝土的徐变作用对CFST 结构长期稳定行为有较大影响，但未给出定量解析式，实际工程的应用性有限.现有论文中，对考虑徐变作用影响的结构稳定研究当前仅针对钢筋混凝土结构：Behan 等[7]进行钢筋混凝土柱的轴压试验，以时间为控制变量进行对比试验，得到该类柱在持续荷载作用下的寿命评估方法；Distefano[8]线性化分析了实际的临界荷载组合，提出一种钢筋混凝土柱随混凝土强度等级降低时的徐变稳定承载力估计方法；Bazant[9]结合静力平衡方程，求解得到了铰接钢筋混凝土柱的徐变稳定承载力解析式.基于线性徐变理论，结合曲率-应变方程和静力平衡方程，林南薰[10]求解得到了钢筋混凝土铰接柱的长期稳定承载力；孙宝俊等[3]运用有效模量法，建立了两端铰接的钢筋混凝土柱的静力平衡方程，推导了柱结构长期与短期临界荷载间的关系式；寿楠椿等[11]分别采用有限元和静力平衡法研究了铰接的钢筋混凝土柱，考虑构造初始缺陷、弹性和徐变变形等因素的基础上，求解了钢筋混凝土柱的徐变稳定临界力.上述研究多为采用静力平衡法推导的钢筋混凝土柱长期稳定临界力.钢管混凝土结构与之不同，且目前采用能量法对CFST 柱的徐变稳定研究较为欠缺.

为了探讨混凝土徐变对钢管混凝土柱轴向荷载作用下长期稳定性的影响，本文基于能量法和按照龄期调整的有效模量法，应用失稳条件，推导了考虑徐变和初始缺陷，两端铰接、固定-铰接和固定-自由3 种边界条件钢管混凝土柱的长期稳定极限荷载计算公式，研究了该类柱徐变稳定临界力与管内混凝土强度的影响规律，对比了规范取值与该临界力的规律，得到的相关结论对后续的CFST 结构的长期稳定研究提供有益的参考.

1 管内混凝土等效弹性模量

徐变作用，会导致混凝土的弹性模量随时间增长而逐渐减小.现有论文中，有效模量法作为主流的方法来描述混凝土受徐变的影响，弹性模量用E（t）表示.有效模量法中，按龄期调整的混凝土弹性模量应用最为广泛[12]：

式中：φ（t，t0）、χ（t，t0）分别为从时刻t0到时刻t的徐变系数和老化系数.

由式（1）可得时刻tCFST 截面的抗弯刚度为[13]

式中：Es为钢管的弹性模量；Is、Ic分别为钢管和管内混凝土的抗弯惯性矩；Ie（t）为钢管混凝土组合截面时刻t的等效惯性矩，如式（3）.

2 能量法求徐变稳定临界力

求稳定临界力时，该平衡方程常常用势能驻值原理表达.但势能驻值原理必须对势能方程进行变分计算，方可求得临界力的精确解，求解过程较为复杂.于是，为避免复杂的运算，本文采用一种能量守恒原理与失稳准则相结合的求解方法，有效地简化了求解过程.

能量守恒原理，即外力对系统做的功等于系统机械能的增量[14].同时做如下假定：在外力作用下结构的变形过程极其缓慢，动能增量为0，不计热能损失，机械能增量全部转化为CFST 柱的弹性势能增量，即

式中：UP为外力对系统做的功，即机械能增量；U为系统的势能增量.

2.1 构件的应变能

在生产中，实际受压构件不可避免会存在初始缺陷y0(x) （t=t0）.在时刻t0，于杆件上施加外力Fp，在t=t0时，杆轴线位置x产生横向位移y(x，t).那么，杆件受压变形积蓄了弹性势能（弹性势能增量）.并假定CFST柱在屈曲前杆件本身未开裂.那么，弹性势能可以表示为

式中：σ(t)、ε(t) 分别为杆件内微分体积块在时刻t产生的应力、应变.

若混凝土压应力小于0.4 倍的承载能力，徐变规律被认为是按线性变化的[15].于是，线性徐变的应力、应变关系为

式中：σ0为时刻t0管内混凝土的应力值.

将式（6）代入式（5）进行积分运算，得CFST 柱考虑初始缺陷、徐变效应的应变能为

式中：M(t0)、M（t）分别为时刻t0、t构件上任意位置x的弯矩值；Ie0为时刻t0CFST 组合截面的换算截面惯性矩；l为杆件长度.

2.2 构件的外力功

在外力FP作用下，构件从直线平衡过渡到弯曲平衡状态，FP在力作用方向上仍会有一定竖向位移Δ（假设不考虑构件的轴向压缩），如图1，图中：l0为柱的计算长度（l0=μl），μ为长度系数.

图1 不同边界条件的受压构件失稳示意Fig.1 Buckling modes of compression columns with three common boundary conditions

当构件达到弯曲平衡状态时，FP沿力方向的竖向位移为Δ（图1）.设积分段dx因倾角θ引起的竖向位移为dΔ，即

沿着构件的总长积分，得受力点的竖向位移为

考虑构件的初始缺陷，时刻t外力做功为

3 钢管混凝土柱徐变稳定临界力

实际工程中，CFST 柱有3 种常用的形式：铰接-铰接、铰接-固定、固定-自由.由结构力学可知，上述3 种边界形式的长度系数μ分别为1.0、0.7、2.0.

分别对上述3 种边界的CFST 柱推导轴压作用下的徐变稳定临界力计算式.

3.1 两端铰接CFST 柱

要研究徐变对轴压构件的稳定性规律，需注意以下两点：正确的CFST 柱非线性平衡关系；正确的柱屈曲前变形（对应边界条件下）.

铰接柱的初设变形为正弦级数曲线，参照文献[16]对弹性稳定的求解方法，下文同取三角级数第1 项作为屈曲前变形曲线的近似，那么时刻t和初始时刻（t=t0）横向位移表达式分别为[9]

式中：f、f0分别为两端铰接柱轴线方向中在时刻t、t0的最大位移值.

结合式（11）和图1可得时刻t、t0的弯矩分别为

将式（11）、（12）代入式（7），得两端铰接CFST柱时刻t的弹性势能为

将式（11）代入式（10），得时刻t外力做功为

将式（13）、（14）和式（1）代入式（4），得

式中：FPcr为理想轴压CFST 柱弹性稳定临界力.

以f为目标函数，化简式（15），得

长期荷载作用下，轴压CFST 柱的失稳准则[9]为杆件的横向变形趋于无穷大，即

若要满足该失稳准则，只有式（16）根式分母趋于0，即

整理式（18），得到两端铰接的CFST 轴压柱考虑管内混凝土长期徐变效应的失稳临界力为

本文采用能量法得到的失稳临界力与文献[3]求解的公式一致.

3.2 铰接-固定CFST 柱

以一端铰接一端固定为边界的CFST 柱为一次超静定结构，考虑该柱的外力作用形式及边界变形协调条件[16]，得时刻t和初始时刻t0的横向位移分别为

式中：FR、FR0分别为时刻t、t0构件铰接端产生的约束反力；α为考虑混凝土徐变作用的相关参数，

那么时刻t和初始时刻t0对应的弯矩分别为

将式（20）代入式（22）化简得

同理，将初始缺陷和变形方程（20）代入式（7），得到一端铰接一端固定柱时刻t的应变能为

将式（20）代入式（10），可得时刻t外力功为

令变量Γ、Λ分别为

联立式（24）、（25）、（1）及式（26）、（27），代入式（4），得

将式（21）代入式（28），并按FR为目标函数化简可得

长期荷载作用下，轴压CFST 柱的失稳准则[9]为时刻t杆件的约束反力趋于无穷大（limFR→∞），式（29）根式分母趋于0 即可满足，即

将式（26）、（27）代入式（30），得

利用MATLAB 的数值迭代功能，得到最小正解αl= 4.493，结合式（21）得一端铰接一端固定CFST柱的失稳临界力为

由式（32）可得，当不考虑徐变效应时，一端铰接一端固定CFST 柱的徐变稳定临界力公式的计算值和龙驭球等[16]运用静力平衡法求得的弹性稳定承载力数值一致，间接证明了该公式在时间上具有更广的适用性.

3.3 一端固定一端自由CFST 柱

一端固定一端自由的CFST 柱在轴向力作用下，满足该边界条件的屈曲形状可用三角级数表达.与两端铰接柱相同，取三角级数第1 项为近似变形曲线，那么时刻t、t0位移为

时刻t、t0对应的弯矩为

同理，将初始缺陷和变形方程（33）代入式（7），得到悬臂CFST 柱的应变能为

将式（33）代入式（10），可得时刻t的外力功为

结合式（35）、（36）及（1），代入式（4），得

按f为目标函数对式（37）进行化简，得

长期荷载作用下，轴压CFST 柱的失稳准则[9]为杆件的横向变形趋于无穷大.那么，式（38）根式分母趋于0 即可满足，即

一端固定一端自由的CFST 柱受徐变作用的长期稳定临界力为

引入计算长度l0（图1），不同边界条件的CFST柱的弹性稳定临界力为

3 种常见边界条件的CFST 柱在轴向力作用下的徐变稳定临界力值为

老化系数的选取可不用查表，用试验与理论值符合良好的表达式进行计算[18]：

式中：a、β为常数，取a= 0.91，β= 0.686[18].

对比前3 节的临界力式可知：考虑长期作用的钢管混凝土柱稳定临界力与徐变系数有关，考虑混凝土徐变效应的临界力比弹性稳定临界力下降1 +χ(t，t0)φ(t，t0) 倍，且徐变效应对承载力的影响仅与徐变系数有关；相同计算长度但不同边界条件的该类柱徐变稳定临界力一致.

4 算例分析

由式（42）可得，为预测徐变对钢管混凝土轴向受压柱长期稳定性的影响，准确地计算徐变系数和老化系数至关重要.目前，受学者们广泛应用的ACI模型[17]认为，徐变系数仅与时间、徐变终极值φ(∞，t0) 有关，表达式为

算例参数如下：含钢率为0.05，长细比为104，φ(∞，t0) = 1.8，t0= 7 d；钢管和管内混凝土的弹性模量分别取2.00 × 105、3.25 × 106Pa.组合截面（圆形钢管 + 内填混凝土）面积为0.16 m2.

该算例下，本文方法计算的徐变稳定临界力为2.43 × 106N，与文献[3]计算方形钢筋混凝土柱的结果2.36 × 106N 的相对偏差小于3%，结果相近.圆形钢管混凝土柱的计算值大于方形钢筋混凝土柱，是由于同面积的圆形截面抗弯惯性矩大于方形截面，且圆形钢管处于截面外部，更有利于截面的抗弯性能.式（42）的计算值与文献[11]利用ANSYS 计算钢筋混凝土柱的结果一致.与现有文献进行对比的结果表明，本文式（42）具有一定的正确性.

为研究混凝土强度等级失稳临界力的影响，本文对徐变稳定式进行深入分析.相关参数的取值如下：徐变系数终极值采用CEB10 规范[19]中规定：

式中：φbc(∞，t0) 为基本徐变系数终极值；φdc(∞，t0)为干燥徐变系数终极值.

由式（45）可得，徐变系数终极值由基本徐变系数终极值和干燥徐变系数终极值两部分组成.该公式参数取值：无穷天数取1 000 a，湿度按文献[20]给出的区间取90%，得到混凝土等级与徐变系数终极值关系，如表1.以混凝土强度等级为自变量，得到以本文方法计算的无量纲屈曲临界力曲线，如图2.

表1 混凝土等级与徐变系数终极值的关系表（CEB10 模型）Tab.1 Relationship between concrete grade and the ultimate value of creep factor （CEB10 model）

由表1可得：混凝土强度等级与徐变系数终极值呈负相关关系，混凝土强度等级上升，对应的徐变终极值会下降，且下降速度在减小，混凝土等级小于C80 时，对徐变系数终极值的影响较大；混凝土强度等级大于C80 后，强度对徐变系数终极值的影响较小.由图2可得，混凝土强度与长期屈曲临界力呈现正相关关系，但临界力增加速率有所下降，原因是，钢管负责的强度部分保持不变.

图2 管内混凝土强度与长期效应无量纲屈曲荷载关系Fig.2 Relationship between dimensionless buckling load of long-term effects of creep and core concrete strength

现行的规范[21]中，正截面受压承载力为

式中：γ为稳定系数；Ac、As分别为横断面的混凝土面积和钢筋面积；fq′为钢筋的受压屈服强度.

利用上述算例，用现行的规范[21]公式和本文公式分别计算不同混凝土强度等级的徐变稳定临界力，对比结果如图3.

图3 算例的临界力对比结果Fig.3 Critical force comparison results of a numerical example

由图3可知：管内混凝土强度等级与CFST 柱的稳定临界荷载呈正相关变化；当混凝土强度等级大于C45 时，现行混凝土结构设计规范的值偏安全；当混凝土强度小于C45 时，现行规范的值会大于徐变稳定临界力，钢管混凝土柱进行设计时，应注意徐变失稳问题.

以长细比为控制变量，当长细比为15、20 和30时，本文公式的计算结果如图4.

图4 无量纲徐变稳定临界力与时间曲线Fig.4 Critical force time curve with different slenderness ratio

由图4可知：长细比与徐变稳定临界力呈负相关关系；徐变稳定临界力与时间呈负相关关系，在前2月时间内稳定临界力下降明显；在2月之后下降平缓，在100 d 后逐渐趋近于稳定极限值.分析弹性稳定临界力式（41）和图4可知，长细比对轴压柱的影响主要体现在结构形式上，即体现在不考虑徐变的轴压柱稳定性分析中（即FPcr）.

5 结 论

（1）基于能量法和按照龄期调整的有效模量法，应用失稳条件，推导了考虑徐变和初始缺陷的3 种边界条件钢管混凝土柱的长期稳定极限荷载计算式，计算表达式简洁、准确，能较好地反映徐变作用对稳定承载力的影响.

（2）考虑长期作用的钢管混凝土柱稳定临界力与徐变系数有关，相同计算长度但不同边界条件的该类柱徐变稳定临界力一致；随管内混凝土强度的增加，徐变对构件稳定临界力的影响会削弱.

（3）当按现行混凝土结构设计规范对管内混凝土强度等级低于C45 的钢管混凝土柱进行设计时，应注意徐变失稳问题；钢管混凝土柱的徐变稳定承载力在前60 d 下降明显且占总下降量约80%，在100 d 后承载力逐渐趋于稳定.

（4）长细比与徐变稳定临界力呈负相关关系；长细比对轴压柱的影响主要体现在结构形式上，即体现在不考虑徐变的轴压柱稳定性分析中.