Hilbert空间中K－Riesz框架的和

黄新丽，朱玉灿

(1.福州理工学院文理学院，福建福州 350506;2.福州大学数学与计算机科学学院，福建福州 350108)

0 引言

Hilbert空间中的框架是文献［1］于1952年在研究非调和级数时引入的概念，是标准正交基的推广，能够将空间中的元素用多种重构表示式线性表出，这种冗余性使其有较高的实际应用价值.目前，框架理论已经在无线电通讯［2］、信号处理［3］等领域有重要的应用.

随着对Hilbert空间中框架理论及其应用研究的不断深入，出现了框架的不同形式的推广.1996年，文献［4］在框架和Riesz基的基础上提出了Riesz框架的概念，并指出利用Riesz框架重构框架系数，可避免无限维空间中框架系数计算复杂的问题.2011年，文献［5］在研究原子分解系统时引入了一种推广框架——K－框架的概念，框架通常在整个Hilbert空间上研究，而K－框架是限制在R(K)上研究，故K－框架比框架更具灵活性且具有实际研究价值.2017年文献［6］进一步提出了Riesz框架的推广——K－Riesz框架的概念，并指出了K－Riesz框架与Riesz框架的不同之处，即Riesz框架一定包含一个Riesz基，但KRiesz框架却不一定包含K－Riesz基.本研究主要讨论K－Riesz框架的和，首先举例说明满足文献［7］中定理3.10的条件时Riesz框架与一个序列的和并不一定为Riesz框架.然后，讨论了由K－Riesz框架与Bessel序列的和构成K－Riesz框架的条件.与文献［8］中定理4.1相比，新增了条件且给出了由两个K－Riesz框架的和构成K－Riesz框架的不同形式的充分条件.最后，文章给出一个K－Riesz框架与一个任意序列的和构成K－Riesz框架的条件.当K=I时，这些结论即为一个Riesz框架与一个序列的和仍为Riesz框架的条件，更正了文献［7］中定理3.10.

1 预备知识

在本研究中，H是一个可分的复Hilbert空间，其内积为〈·，·〉，范数为是H中的恒等算子，N为正整数集，A，B，C，D为正的常数，B(H)是H到H所有有界线性算子的集合．令K∈B(H)，且K≠0，用R(K)和NK分别表示算子K的值域和核．l2表示满足的复数列全体所组成的线性空间，特别地对有限子集JN，序列的其他无穷多个元素看作0，则

定义1［5］一个序列称为H的K－框架，如果正数A和B满足

常数A和B分别称为K－框架的下界和上界．特别地，当K=I时，K－框架就是通常的框架．

定义2［6］一个序列称为H的K－Riesz框架，如果存在常数A＞0，使得对任意的子集是的K－框架且具有公共的框架下界A．

特别地，当K=I时，K－Riesz框架就是通常的Riesz框架．

定义3［6］设是H的闭子空间，JN，若在W中是完备的且对任意的在 W 中为不完备的，则称在 W 中是极小完备的．

定义有界线性算子如下:

称T，TJ分别为序列的合成算子，且有 R(TJ)=WJ．T，TJ的共轭算子 T*，T*J为

称T*为序列的分析算子．当f∈WJ时，为序列{fj}j∈J的分析算子．

记PR(TJ)为H→R(TJ)的正交投影的正交投影，的正交投影，的正交投影．

为了证明主要结论，需要下面的引理．

引理1［9］设H1和H2是两个复Hilbert空间，T:H1→H2是有界线性算子，T*为T的共轭算子，则

引理2［6］设序列是H的K－框架，则下列陈述等价．

2)存在A＞0，使得对任意的有限非空子集JN，若{fj}j∈J在WJ中为极小完备的，则

引理3［8］设序列是H的K－框架，T1，T2为相应的合成算子，如果和为正算子，那么为H的K－框架．

引理4［10］假设是的－框架，框架界为，序列H．如果存在常数满足对任意f∈H满足

2 K－Riesz框架的和

文献［7］中定理3.10讨论了一个Riesz框架与一个Bessel序列之和仍为Riesz框架的条件，其证明过程中从序列{fj+λgj}j∈J线性无关推出序列{fj}j∈J线性无关.下面举例说明这一推导不正确，进而结论也不成立.

例1设为Hilbert空间H的标准正交基，令序列

定理1设序列为H的K－Riesz框架，框架界为为H的Bessel序列，界为D，J为N的任意有限非空子集.若为正算子，且，则序列为H的K－Riesz框架.

证明 首先，由已知条件知算子T，U，T*，U*为有界线性算子，且为正算子，取J={1，2，…，n}，则对任意的f∈H有:

即TU*+UT*+UU*为正算子.

对任意的 f∈ HJ，令则

下证{fj+gj}j∈J为HJ的K－框架.由K－Riesz框架的定义得，对任意的f∈WJ有

注1定理1比引理3中新增条件下面举例说明这一条件必须满足，否则定理1的结论不一定成立.例如在例1中，取K=I，λ=1，

定理2设序列为H的K－Riesz框架，框架界分别为A，B，C，D.J为N的任意有限非空子集.若为正算子，且成立，或成立，或NK*和成立，则序列为H的K－Riesz框架.

定理3设为H的K－Riesz框架，框架界为是H的一个序列，如果存在常数λ1，λ2∈(－1，1)，使得对任意f∈H和任意有限子集JN满足:则序列为H的K－Riesz框架．

证明 在引理4中取μ=0得序列{gj}∞j=1为H的K－框架，框架界分别为下面进一步证明序列为H的K－Riesz框架．

注2当K=I时，上述定理即更正了文献［7］中Riesz框架的相关结论．