面向信息安全的离散数学理实一体教学探索

孙登第　丁转莲　程凡

摘要：信息安全專业是近年来兴起的信息科学新分支，具有交叉性、前沿性、应用性等显著特征。论文面向信息安全专业的核心基础课程——离散数学展开理实一体教学模式探索，以理论教学为基础、以实践应用为主线贯穿离散数学教学过程。通过教学体系、教学方法、教学内容和教学实践四个阶段相互关联，逐层推荐，形成信息安全专业的离散数学教学体系，为信息安全其他课程奠定坚实的理论与实践基础。

关键词：信息安全;离散数学; 教学实践;课程体系

中图分类号：G642        文献标识码：A

文章编号：1009-3044（2019）13-0121-02

Abstract： Information security major is a new branch of information science in recent years. This paper is aimed at the core basic course of information security， discrete mathematics， and explores the theory-practice integration teaching mode， which consisted of four stages： teaching system， teaching method， teaching content and teaching practice. The four stages performs layer by layer to form the discrete mathematics teaching system， and lay a solid theoretical and practical foundation for other courses for information security major.

Key words： information security; discrete mathematics; teaching practice; curriculum system

1 引言

离散数学研究离散对象的存在、计数、结构及其相互关系，其思想与方法体系广泛地体现在以计算机科学与技术为代表的信息科学诸多领域中[1]。从科学计算到信息处理、从理论计算机到计算机应用技术、从计算机软件到计算机硬件、从人工智能到认知系统，无不与离散数学密切相关。在此背景下，自80年代国内外高校纷纷独立设置信息类专业以来，离散数学课程就成为信息科学的许多专业课程，如数据结构、操作系统、编译原理、数据库、算法设计、计算机组成、人工智能等必不可少的先行课程，旨在通过离散数学的教学使学生具备处理离散数据与结构的数学方法与计算工具，为后续课程的学习创造先行条件，同时提高学生抽象思维和严密的逻辑推理能力，为将来参与创新性的研究和开发工作打下坚实的基础[1，2]。

近年来，随着信息技术与大数据的迅猛发展，社会大步迈入了网络时代。然而，互联网在为人们提供极大便利的同时也带来了不可忽视的负面冲击，使得信息安全问题日益凸显，严重威胁着经济社会的健康、稳定和可持续发展[3，4]。因此，社会的网络化迫切需要对信息安全开展系统性的研究和探索，并由此促使信息安全理论与技术不断进步、完善，逐步成长为信息科学中一个重要的新分支——“信息安全”学科，形成自身的学科体系。在信息安全学科专业课程体系中，离散数学课程具有至关重要的作用，直接为信息安全核心课程提供逻辑基础与算法、协议支持，影响信息安全知识体系构建。

然而，通过调研得知，现阶段国内高校离散数学课程教学普遍存在着“重理论、轻实践”的问题，即过分强调理论的推演、证明，而忽视了所学知识在现实中的应用实践。这种不均衡的教学模式显然不利于信息安全专业的教学与人才培养。信息安全是一门理论与应用兼顾的新兴学科，它要求学生即要有深厚的密码学基础，又要具备很强的实践操作能力。离散数学作为信息安全的专业核心课程具有知识点密集且相互交织、背景理论涉及面广、具体应用不突出的特点。这使得信息安全专业的本科生刚一接触离散数学即觉得深奥、晦涩、难以理解，导致学生学习积极性不高，进一步影响了后续课程的学习与系统培养，因此必须形成“理实一体”的离散数学教学模式，同时兼顾理论与实践，支撑信息安全专业课程体系。

2 信息安全离散数学理实一体教学探索

鉴于离散数学在信息安全专业教学中的巨大作用，本文将从离散数学教学体系、教学方法、教学内容和教学实践四个方面分别展开论述，以形成面向信息安全的离散数学理论与实践一体化教学模式。

2.1 解析专业内涵，优化课程教学体系

离散数学的基本思想、基本理论与方法已经渗透在信息安全专业的各个方面中，因此必须深挖信息安全专业内涵，从中提炼出分散的离散数学知识，并以此优化离散课程教学体系为能实现对信息安全专业教学的可靠支撑。与经典的连续数学不同，离散数学所包含的内容更为庞杂广博，糅合了集合论、代数学等多门数学学科中有关离散对象的概念内容。学界通常将其归结为数理逻辑、集合论、代数结构和图论四部分。在传统的离散数学教学中，各部分内容逐章讲述，缺乏侧重点，授课内容一般仅停留在书本知识表面，内容较为浅显，缺乏知识点背后的进一步延伸与下层应用能力。这种源自传统数学学科的单层教学模式只要求学生掌握最基本的普遍理论与通用性方法，而对处于前沿工程领域的信息安全专业，显然无法满足学生知识扩展与实践应用要求。因此，必须对离散数学课程教学体系层次化，在每部分的教学中逐层深入[5，6]，形成基础知识——扩展知识——前沿研究——实践应用四个层面的教学体系，具体示例如下。

数理逻辑——基础知识（命题逻辑、谓词逻辑和推理理论等）——扩展知识（逻辑运算、位运算）——前沿研究（形式逻辑、智能算法）——实践应用（搜索引擎、硬件设计）

集合論——基础知识（集合、关系和函数等）——扩展知识（容斥、序列）——前沿研究（运筹、密码）——实践应用（最优调度、软件测试、公钥）

代数系统——基础知识（代数、半群、群、环、域等）——扩展知识（置换群、李群）——前沿研究（近世代数）——实践应用（加密算法）

图论——基础知识（图、路径、回路、树等）——扩展知识（匹配、着色、支撑、覆盖）——前沿研究（图论应用）——实践应用（指令优化、路径寻优）

通过上述分层式的教学体系建设，形成更为广大的教学参考空间，更为丰富、有效的问题解决方案，促进学生专业思维理念的形成。

2.2融入专业知识，精选理论课程内容

离散数学在信息安全专业的整个课程体系中具有极其重要的地位，与后续专业课程联系极为密切。然而，当前的信息安全专业教学往往将离散数学与其他相关课程严格区分开来，强调离散数学的数学理论讲授，而不涉及与其紧密相关的信息安全知识;其他课程只讲授应用问题与方法，而缺乏理论背景与基本原理，这无疑造成了信息安全专业教学中的知识割裂，加剧了课程体系的碎片化、断层化。通过长期的教学研究与调研发现，针对信息安全专业具体性、实用性的教学需求，可以从以下两个方面优化调整离散数学课程内容。

首先，根据教学大纲的要求，离散数学的教学要为信息安全专业的学生提供数学、逻辑、算法等方面的策略、思维与技术支持，提高学生解决信息安全实际问题的能力。因此，离散数学的课程内容必须与其他课程密切结合起来，形成横向的课程关联，如图1所示。在此基础上，依据其他课程与实际专业需求进一步调整、精选离散数学课程内容使其更具兼容性。这种调整也可以与前述课程教学体系的层次优化相结合，互为依托。以满足信息安全专业建设需求。

其次，离散数学是大学初期的计算机数学类课程，其主要内容，如集合论、代数系统等与先行课程“线性代数”和后续课程“组合数学”是一脉相承的，这些课程共同形成信息安全专业的数学体系，因此在离散数学的教学内容也必须体现这种纵向关联。值得注意的是，前述离散数学课程教学体系调整也是强调课程内容的线性排布与逐层深入，这与离散数学的纵向教学恰好一致，可以进一步加深课程内部关联与外延扩展，增强信息安全专业的学生对相关数学知识的系统掌握，形成前后连贯、层次分明的数学理论体系。

2.3 创新教学方法，调动学生积极性

传统的离散数学教学注重理论知识的传授，而忽略应用实践。针对信息安全专业课程的研究性、前沿性特点，在离散数学的教学环节中要充分调动学生积极性与主动性，借助启发式教学法、情景式教学法、讲座式教学法等行之有效的交房方法，讲教结合，强调知识与能力并进，引导学生自主思考，形成以学生为中心，课堂讲授、广泛阅读和自我探索相结合的教学方法体系，使学生不仅掌握信息安全基本知识，还能把握信息安全背景与发展趋势、了解信息安全前沿热点、具备创新意识与知识更新能力。

针对信息安全专业课程的实用性、工具性特点，在离散数学的教学中还要注重融入知识应用，借助案例教学的方式提升抽象知识的具体化讲述。例如，在密码学中，凯撒密码是一种最简单且最广为熟知的加密技术[7]。它通过简单的替换原理将明文中的所有字母都在字母表上进行向后（或者向前）的偏移移动，将明文替换为密文，而其中人为确定的偏移量即是凯撒密码中的加解密密钥K。比如，偏移量为3，字母A将被字母D替换，而其中的K为3，即密钥是3。其他的字母加密以此类推即可。解密的时候倒推回去即可。在离散数学的代数系统理论中，群是具有封闭性、可结合性、含幺元以及每个元素都具有逆元的代数结构。凯撒密码从本质上说就是建立在26个字母之上，利用字母与密钥进行运算的剩余模群。通过对群理论的学习和实验操作，可以极大地加深学生对代数结构理论知识与凯撒密码典型案例的理解。再比如公钥密码学中，费马小定理和欧拉定理为其提供了数学上的安全性保障。通过案例学习，有助于学生掌握相关离散数学定理，并更好地理解算法安全性与应用机制。

2.4 贯穿实践应用，推动理实一体

实践教学是信息安全专业离散数学教学的新要求。传统的离散数学教学主要通过口头讲授，缺乏学生实践与师生互动。面对信息安全领域的快速发展与实用需求，单方面的理论课程难以达到预期效果，无法形成覆盖学、研、做、用的立体教学体系。因此，为适应信息安全专业发展需求，必须建立离散数学实验课程，将应用实践贯穿于离散数学教学当中。目前，国内外高校在离散数学实验课设置方面还都处于摸索阶段，可借鉴的成熟例子非常有限，本文将在这方面展开如下探索。

离散数学的实验教学可以分为实验、实训和实战三个环节。首先，在日常的理论课后辅以实验教学，重新调整离散数学课程配置，设置一批针对信息安全的实验内容，并修订、编写相应的实验指导教案与教学课件。其次，依据离散数学主要内容，在数理逻辑、集合论、代数结构和图论四个阶段的理论和实验教学介绍后，各安排若干与阶段学习内容相关的验证性、综合性实训课题，巩固阶段性的理论与实验教学[8]。最后，在高校现有本科教学实验室基础上，通过校企合作、共建实习基地等教学平台，开展具有一定真实应用价值的大型实战训练，瞄准当前信息安全领域前沿问题，尝试给出基于离散数学知识的解决方案与算法程序，以培养学生对所学知识融会贯通，综合实践的能力。此外，还可以依托“信息安全”专业各类竞赛，对学生从离散数学理论知识到编程实践进行系统训练，充分锻炼学生抽象知识与创新运用能力。

3 结束语

当前，随着大数据、云计算、人工智能等新技术的不断涌现，信息安全日趋重要，促使国内外高校纷纷独立设置信息安全专业，并受到广大学子青睐。如何建设系统知识齐备、实践应用深厚的信息安全专业，是摆在信息科学高等教育面前的重要问题。本文详细阐述了面向信息安全的离散数学课程教学模式改革思路，通过教学体系、教学方法、教学内容与教学实践四个层次相互关联，逐层推进，搭建离散数学理论与实践一体化教学体系，以强化学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。

参考文献：

[1]赵明珠，毛家发，陈婉君，郑建炜.面向信息安全专业的立体信息化离散数学互动式教学方法设计[J].计算机教育，2016（03）：32-33.

[2]刘宏月，张行进，朱维军，邓淼磊，杨卫东，张红梅.面向信息安全学科的离散数学教学探究[J].计算机教育，2012（15）：23-26.

[3]黄祖邦.大数据在计算机信息处理技术中的应用[J].电脑知识与技术，2019，15（03）：6-7+9.

[4]任杰.浅析大数据时代背景下计算机网络信息安全[J].电脑知识与技术，2018，14（36）：9-10.

[5]李琦.浅析分层次教学在离散数学教学中的应用[J].高教学刊，2016（09）：79.

[6]张沫.《离散数学》分层教学与实践的改革模式[J].成功（教育），2011（18）：17-18.

[7]黄莉，陈东方，王晓峰，张铭辉，邓莉.计算机专业离散数学教学改革与研究[J].赤峰学院学报（自然科学版），2016，32（07）：39-40.

[8]倪海军，刘文文.计算机辅助设计课程教学方式探析[J].电脑知识与技术，2019，15（03）：114-115.

【通联编辑：王力】