解几未必难 难在觅佳径

张志华 武晓

[摘  要] 解析几何是高考的难点和热点，学生对解析几何望而生畏，觉得“解几难，难于上青天”. 那么，解析几何真是那么遥不可及了吗？文章借助一道范例，多角度审视，给出了克服解析几何的“四大法宝”：一是“万变不离宗”，二是“乾坤大挪移”，三是“胸中有丘壑”，四是“一览众山小”.只要掌握好了这四招，解析几何的问题也变得温驯且可控了，真乃“解几未必难，难在觅佳径”.

[关键词] 三点共线;多维度审视;“四大法宝”

很多学生对解析几何望而生畏，觉得“解几难，难于上青天”，但解析几何又是高考的难点和热点，所以要必须设法突破.在日常教学中应坚持“学生的精彩才是教师的出彩”的原则，锻炼和启发学生的思维，提升学生对问题本质的探究能力，培养学生对复杂问题的钻研精神，使学生在问题的发现、提出、分析、假设、优化、解决、推广、总结等过程中不断提升自身数学学科素养. 只有学生的思维水平和核心素养提高了，问题才能得到根本的突破.那么，解析几何真是那么遥不可及了嗎？下面借助一道解析几何问题的范例，笔者从多个角度进行审视，以期对大家提供一定的启示.

评注：此解法由学生给出，思路是利用三点共线的向量形式，转化为“系数和为1”的结论，从而得到λ，μ的整体和. 看似简洁明了，似是而非，实则蕴含了一个基本的逻辑错误，三点共线的系数和为1的结论是由平面向量基本定理导出的，而平面向量基本定理的前提是要选择一组基底（要求两向量不共线），而这里的“P，N，E，M四点共线”，不存在充当基底的基向量，所以这种解法是有问题的. 但也正好澄清了一个结论：“三点共线”是“系数和为1”的必要不充分条件，使我们能够更加深刻理解平面向量基本定理的本质.

5. 问渠那得清如许？为有源头活水来

评注：调和点列是数学竞赛中的内容，教师应当根据学生情况适度介绍. 作为教师还是应该遵循“一桶水和一瓢水”的原则，数学基本功扎实，这样才能具备“千里眼顺风耳”的功力.

教学启发

通过对这道三点共线模型的解析几何问题的深入研究，给我们颇多启发.要真正解决好解析几何问题，必须要手握“四大法宝”：一是“万变不离宗”，解析几何的本质依然是几何，平面图形的一些性质要用好，这样才能做到事半功倍;二是“乾坤大挪移”，不要蛮干苦算，要学会转化与化归，将复杂的等价转化为算法更优化的、程序化的熟悉问题;三是“胸中有丘壑”，树立战胜解析几何的信心，熟练字符化简的技巧，归纳解几问题的模型;四是“一览众山小”，要彻底洞察问题的本质，必须具备深厚的数学功底，要有“清澈的源头”，才能做到高屋建瓴，一语中的.只要掌握好了这四招，解析几何的问题也变得温驯且可控了，真乃“解几未必难，难在觅捷径”.

课后练习

以下是一道高考真题，请读者下来利用本文中的“四大法宝”，仔细揣摩，作为练习，“熟能生巧是良训，一分辛劳一分才”.