提升学生思维能力 探寻“有序”实践路径

摘  要：“序”是数学教学内在的规定性。在数学教学中，教师要斟“知”酌“序”、缘“心”求“序”、投“石”问“序”，让数学教学“扶放有方”“开合有致”“张弛有度”。数学教学过程，说到底就是“无序”与“有序”的相互博弈、不断统一的矛盾运动过程。

关键词：无序教学;有序教学;实践路径

数学教学有着独特的组织、结构特征，这就是数学教学之“序”。一般而言，数学教学之“序”是建立在数学知识之“序”和学生认知之“序”基础之上的。因此，在数学教学中，教师的教学使命归根结底有两个：一是把握数学知识的逻辑之序，二是把握学生学习心理的发展之序。“序”是数学教学内在的规定性。对于“序”的审视和反思，有助于归正数学教学。

一、斟“知”酌“序”，让数学教学“扶放有方”

数学教学之“序”是建立在知识之“序”的基础之上的。数学知识是一个有机的结构体，是相互关联的，知识点的生成、生长、生发都遵循着一定的逻辑顺序。破解数学知识的结构密码，是数学教学的内在要求。

1. 破解严谨表达的“密码”

数学知识之序首先表现在数学概念、公式、定理等的严谨性表达之上的。许多数学概念，我们越是细细斟酌、品味、咀嚼，就越能发现其所蕴含的内在深意、逻辑、韵致。比如“倒数”，其定义是“乘積是1的两个数互为倒数”。教学中，笔者让学生找出这个定义中的关键词，有学生认为，“乘积”是关键词，这个关键词揭示了倒数的本质;有学生认为，“1”是关键词，通过这个关键词，我们可以求出任意一个数的倒数;有学生认为“两个数”是关键词，说明倒数是两个数之间的一种关系;有学生认为“互为”是关键词，这个关键词说明倒数是相互依存，不能单独存在。

2. 捕捉知识发展的“轨迹”

在数学教学中，教师要善于捕捉数学知识的发生、发展“轨迹”，把握数学知识发展的来龙去脉 [1]。对于每一个数学知识点，我们要明晰“从哪儿来”“到哪里去”的问题，也就是要把握数学知识发展的源流。比如，单独一个素数，其意义就不能彰显。但是当我们在分解质因数、判断两个数是否互质（有没有公有质因数）以及用短除法（找寻公有质因数）求最大公因数、最小公倍数乃至于通分和约分的时候，素数就能发挥其重要作用。

3. 把握整体知识的“结构”

数学知识之“序”不仅体现在表达之序、发展之序上，而且体现在结构之序上。数学知识的发展总是从低级走向高级、从简单走向复杂、从零散走向概括的过程。在数学教学中，教师要有意识地将数学知识点进行融通。比如学生学完了“长方体和正方体的体积”“圆柱的体积”后，教师要进行归纳、提炼、概括，形成直柱体的体积公式V=Sh。在学生原有认知结构的基础上，形成高于原有认知的上位规则。不仅如此，学生还画出了以三角形、梯形为底面的直柱体。在进一步交流中，学生发现，只要是直直的形体，它们的体积都可以用底面积乘高，哪怕底面是一个不规则图形。

从学生构建数学知识的过程来看，只有当学生能够遵循数学知识发展的逻辑顺序来学习，才能形成对数学知识的真正理解，学生的认知结构也才能逐步得以建构与完善 [2]。因此，作为教师要为学生的有序学习创建条件，以便培育学生善于发现、比较、映照的思维品质。

二、缘“心”求“序”，让数学教学“开合有致”

华东师范大学课程与教学研究所钟启泉教授认为，结构化知识必须考虑到知识寻求者的发展阶段与状态。也就是说，把握数学“教的规定性”必须向“学的规定性”进行转变。只有洞察了学生的心理，数学教学才能“开合有致”。某种意义上，学生的数学学习心理之“序”比知识之“序”更重要。

1. 年龄特征，学生学习次序的“主干模型”

学生的年龄特征是学生数学学习的“主干模型”。通常情况下，正如瑞士心理学家皮亚杰的研究所表明的，低年级学段学生的数学思维是直观动作思维，中年级学生数学学习思维是具体形象思维，高年级学段学生数学学习思维是抽象逻辑思维。把握了学生认知心理特征，数学教学就能富有针对性、实效性。这样，在低年级数学教学中，教师就必须多组织学生进行有序的操作;在中年级数学教学中，教师可以引领学生画图;在高年级数学教学中，教师可以引导学生有序地列举、思维，培养学生思维的严谨性、严密性。

2. 认知特质，学生学习次序的“形神合一”

数学教学不仅要理解学生数学学习的群体之“序”，还要把握学生数学学习的个体之“序”。个体之“序”体现在哪里？就体现在学生数学学习的风格、特质上。教师要把握学生数学学习的“最近发展区”，引领学生由“现实发展区”向“可能发展区”迈进，让学生的数学学习由表及里、由浅入深 [3]。比如学生学习认识一个整体的几分之一，教师要洞察学生数学学习的远点——“平均分”，数学学习的近点——“一个物体的几分之几”。这里，值得教师关注的是：哪些学生还没有掌握数学学习的远点，哪些学生还没有掌握数学学习的近点。只有这样，才能体现形神兼备、形神合一的“序”。

3. 情意特点，学生学习次序的“随性而为”

有序的数学学习必须以情意的唤醒作为前提，只有当学生在数学学习中真正投入了自己的情意，数学学习才能进入良性循环，学生的认知、情意素养才能得到良好的发展。当学生的情意处于压抑、焦虑、消极状态时，学生的数学学习就将陷入“混乱”。而当学生数学学习处于积极情意状态时，学生数学学习不仅有序，而且能够充满创造性。比如，在探究《三角形三边关系》中，学生的积极性很高。当学生得出“三角形的任意两条边之和必须大于第三条边”后，有学生发现，可以将这个判定规则简化成“只要三角形中较短的两条边之和大于最长边”就行了。正是由于情意促发，生成了学生精彩发现。

三、投“石”问“序”，让数学教学“张弛有度”

如何把握学生数学学习的具体学情，如何掌控数学学习的课堂动态，那就是教师在教学中实施合理的教学策略，优化教学之“序”。要根据学生学情，统筹谋划，哪个教学环节在前，哪个教学环节在后。通过教师的投“石”问“序”，把握数学教学的主与次、先与后、来与去，让教学显得“张弛有度”。

1. 循序，让学生数学学习“蹒跚学步”

数学教学的组织之“序”，要以学生为中心，以学习共同体为中心，充分体现因学施教、以学定教、学教结合的思想。在学生自主學习过程中，充分发挥教师的导学、助学、引学、诊学的作用，顺学而导、循序渐进，让学生的数学学习在组织之“序”中蹒跚学步。教师可以采用问题导学、任务驱动的方式，助推学生有序的自主学习。比如教学《倍数和因数》，笔者让学生做一个拼图游戏，设置问题串导引学生探究：任务一，用24个小正方形拼成一个长方形;任务二，用乘法算式表示摆法，探究乘法算式中每个数之间的关系。学生在任务驱动下，能够让学生理解“谁是谁的倍数，谁是谁的因数”，循序渐进，学生自主学习蹒跚起步。

2. 遵序，让学生数学学习“视通万里”

《史记·太史公自序》：“维昔黄帝，法天则地。四圣遵序，各成法度。”在数学教学中，遵序就是依循着数学的知识之序，学生的思维之序和数学学习的活动之序。遵序能够让学生的数学学习“思接千载，视通万里”。在教学中，教师要锚点知识教学的时间节点，把握学生数学学习的走势趋向，编织学生数学学习的网状结构 [4]。比如小学阶段，通常先学习小数目的数，再学大数目的数;先学加减，再学乘除;先学分数，再学小数;先学算术，再学方程;先学平面图形的周长、面积，再学习立体图形的表面积和体积，等等。只有遵循学生数学学习的内在之序，才能让学生数学学习“视通万里”。

3. 生序，让学生数学学习“神思驰骋”

在数学教学中，教师既要引导学生的数学学习循着数学知识的发展脉络以及学生的年龄和心理特征展开，而且可以培养学生的结构化思考、探究能力，让学生创造“序”。通过“序”的创造，让学生的数学学习“神思驰骋”。比如教学“和的奇偶性”时，笔者首先出示了一个表格，学生从杂乱无序的算式中，将算式分成了三类：一类是加数全都是奇数，一类是加数全都是偶数，还有一类是既有奇数又有偶数。接着，学生通过举例、用字母推理、画图等方法探究出：加数全都是偶数的和是偶数;加数全都是奇数，偶数个奇数的和是偶数，奇数个奇数的和是奇数。通过这种有序的探索，学生对加数既有奇数又有偶数也就能类似推出结论，即只需要算其中奇数的个数。最后，形成了本质性的认知，即“奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数的和是偶数”的数学结论。

数学教学中的“序”并不是一成不变的，而是开放灵动的。数学教学就是“无序”与“有序”的博弈、统一。这种博弈、统一的过程就是学生数学学习的动态过程。在数学教学之中，教师要遵循知识的结构之序、学生的心理发展之序和学生数学学习的探究之序，努力实现数学教学“无序”与“有序”的矛盾运动、和谐统一。这就是数学教学“序”的内在意义和价值。

参考文献：

[1]  荀步章. 立序——数学素材呈现的必由之路[J]. 教学与管理，2016（26）﹒

[2]  李步良. “序”的视角：重构教学的规定性[J]. 中小学教师培训，2018（1）﹒

[3]  曹志国. 循“规”守“则”：多重视域下的小学数学“规则教学”[J]. 中小学教师培训，2018（4）﹒

[4]  俞正强. 数学教学设计的关键：“立序”与“选材”[J]. 人民教育，2009（z1）﹒

作者简介：周莉（1991-），本科学历，中小学二级教师，主要从事小学低年级数学工作，曾获苏州市素养大赛二等奖、区教坛新秀等荣誉。