追梦赤子心
——记南京大学数学系教授刘公祥

2019-07-08 01:18杜月娇

科学中国人 2019年9期

□ 杜月娇

1900年，巴黎国际数学家代表会上，数学家希尔伯特发表了题为“数学问题”的著名演讲。在这个演讲中，他根据19世纪数学研究的成果和趋势，提出了23个最重要的数学问题。这些问题后来被统称为“希尔伯特问题”，100多年过去了，希尔伯特问题有的已经得到圆满解决，有的至今悬而未决。

南京大学数学系教授刘公祥十分钦佩希尔伯特，不止源于希尔伯特树起了19世纪末20世纪初国际数学界的一面旗帜，更因为他坚信每个数学问题都可以得到解决的信念。

“在我们中间，常常听到这样的呼声：这里有一个数学问题，去找出它的答案！你能通过纯思维找到它，因为在数学中没有不可知。”在“数学问题”演讲中，希尔伯特说道。

隔着一个时代，刘公祥依然能感受到这句话中澎湃的激情。“热爱+坚持+勤奋”，这份赤子之心是他十数年数学之路上的行走秘籍。“做学问就要有一颗纯粹的心去追求未知的世界，‘功利’只能是一种额外奖赏，而不应该是肩上的负重。”刘公祥说。

念念不忘，必有回响

1941年，德国数学家H.Hopf发现球面的上同调群具有特殊的代数结构，即Hopf代数结构。从此，Hopf代数这个崭新的代数结构迅速发展了起来。

刘公祥在课堂上

“Hopf代数结构最初来源于拓扑学，它描述了一些拓扑空间的对称性，随着研究的发展，人们发现它不仅仅能描述拓扑空间的对称性，也能用来描绘量子世界的某种对称性。”刘公祥介绍道，“Hopf代数与物理和数学的很多分支有着意想不到的联系，例如共形场论、低维拓扑、非交换几何、特征p域上的代数群表示理论等。”

谈起Hopf代数，刘公祥神采飞扬。但在进入安庆师范学院学习之前，刘公祥对数学并没有太过偏爱。“一个农村孩子，也不知道外面的世界是什么样的”，他说。高考之前，青葱少年刘公祥对未来的唯一概念就是“学好数理化，走遍天下都不怕”。为此，他毫无意外地在高考志愿表上填写了3个专业志愿：数学、物理、化学，而后顺理成章地被安庆师范学院数学专业录取。

大学生活推开了刘公祥人生中的一扇大门，真实地接触到数学分析、高等代数等课程后，他心底只余4个字来评判——精彩纷呈。“我的性格是逆来顺受型的，我不是因为喜欢数学而学习数学，而是因为学了数学以后才喜欢上数学的。我并不知道自己喜欢什么，但是学习数学之后就被这些理论吸引住了。”刘公祥诚恳地说。对数学的“后天”热爱，令刘公祥存了立志深造的心思。2000年，他考入浙江大学读研，专业是基础数学。

从安庆师范学院到浙江大学，刘公祥的路越走越宽，却也难免迷茫。考研时，他就发现，虽然在学过的专业上基础十分扎实，但在面试阶段，主考老师问到的拓扑学等学科，他并没有学习过。“知识面窄，但精细”，这也是当时他留给别人最大的印象。年轻时的刘公祥很介怀“知识面窄”，“跟留校的保送生相比，他们知道的东西简直太多了，我知道的简直太少了”。刚到浙江大学，刘公祥就为此自卑了。但好学的他，并不会让自己一味沉沦于自卑感中，反而加倍勤奋起来。那时，他每天看书时间都不会低于12小时，长时间的用脑导致他有段时间早上连闹钟都叫不醒。“现在懂得是每天看书时间太长，大脑需要休息了，但那时经常自责，怎么会睡过头。”

一年过后，刘公祥终于迎头赶上。最直观的改变就是，别人知道的，他也知道，而且常常会知道得更深入，到了这时，反而是别人不大知道了。“我是个非常不聪明的人，坚持和勤奋让我可以努力得到更多知识，这非常关键。”刘公祥谦逊地说。

2007年6月，刘公祥结束了在中国科学院数学研究所的博士后研究工作，到南京大学任职。到2019年6月，他在南京大学就要满12个年头了。但他依然保留着大学时代的学习习惯，坚持和勤奋已经成为一种自然而然的品格，融入他的血液当中。

Jens Fjelstad（左一）来访

新方法，新“表示”

采访中，刘公祥强调了一个时间——1986年。就在这一年，乌克兰数学家Drinfeld在国际数学家大会上作了一个报告。报告中指出，量子群范畴和Hopf代数范畴事实上是等价的，Hopf代数还是Lie代数的量子化发展。这意味着量子群和Hopf代数之间存在一一对应关系，从某种意义上说，Hopf代数就是量子代数。随后数年中，量子群得到了长足的进步，而Drinfeld也主要因为此而获得了数学界的诺贝尔奖——菲尔兹奖。

Drinfeld的观点极大促进了Hopf代数的发展：Lie理论的思想方法被重新应用到Hopf代数的研究中。而对刘公祥来说，为Hopf代数研究引入新方法，也是他这些年来的重要工作之一。

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“就是代数表示论”，刘公祥介绍道，“研究Hopf代数比较传统的方法是环论的方法，我喜欢用表示论的方法”。代数表示论是一支兴起于20世纪70年代的重要代数分支，主要研究有限维代数的不可分解表示和模范畴的整体构造，其中的核心问题之一就是：给定一类代数，如何根据表示型来分类？

为此，他用了六七年时间去攻关basic Hopf代数表示型的完整分类，成功将Hopf代数结构尤其是余乘结构，与代数表示论及组合数论中的生成函数等建立了联系，从而解决了Hopf代数及代数表示论的一个核心问题。

走进量子世界

1989年，日本数学家Toshitake Kohno发现K-Z方程组导出的辫子群的单值化表示实际上是由一个泛R-矩阵给出的。1990年，Drinfeld希望通过K-Z方程组直接看出这个泛R-矩阵，从而为Kohno的发现给出一个直接的解释。按照Drinfeld的设想，K-Z方程组背后应该存在一个拟三角Hopf代数，但出人意料的是，最终结果却是一个拟三角的拟Hopf代数。拟Hopf代数就这样出现了，人们随后发现这是一类如此自然的代数：即几乎可以理解为表示范畴为张量范畴的代数。

但拟Hopf代数的发展是极为缓慢的：同样在1990年，3位数学物理学家在理解一类全纯顶点算子代数的表示范畴时，利用重构理论构造出一类新的代数——Dw（G），他们也证明出这是一类拟Hopf代数。随后15年，Dw（G）居然成为唯一被知道的半单拟Hopf代数的新例子！

“从形式上来说，拟Hopf代数比Hopf代数要复杂得多。而且，拟Hopf代数的分类是在twist等价这么一个更加广泛且自然的条件下进行的。”刘公祥认为，twist等价造成了两重困境，一是令人怀疑是否根本无法构造出真实的拟量子群；二是很难判断一个拟Hopf代数是不是真实的。

转机发生在2005年。这一年，Gelaki构造了一类真实的拟Hopf代数，可以理解为Taft代数的拟Hopf类似，并用群的上同调给出了所构造拟Hopf代数的真实性判断。随即，他又与Etingof合作完成了素数阶循环群上的基本拟Hopf代数分类，不仅得到了一部分真实的拟Hopf代数，还至少让人们意识到拟Hopf代数的余乘形式是非常不平凡的。2010年，Angiono极大推广了Etingof-Gelaki的结果和方法，分类了循环群上的基本拟Hopf代数，但Angiono本质上并没能给出拟Hopf代数的新例子。

未知即动机。刘公祥认为，他们可以在这一方向上努力。此前，刘公祥已经利用箭图分类了所有的点的拟三角Hopf代数。利用这一工具，他与合作者还进一步完整刻画了基本圈上的所有可能拟量子群结构，不仅提供了新例子，还在事实上分类了有限表示型的拟Hopf代数。作为推论，他们还分类了所有的有限型张量范畴，为张量范畴的研究引入了新工具。2011年，这篇论文被投到权威数学物理期刊Comm.Math.Phys.上后，审稿人对此表示出了高度赞同，认为其“得到了一个完整的分类结果”，并“从数学家的角度做出了简明的介绍和清晰的阐述”。

“我们证明了，对于每一个单Lie代数g，它们对应的拟Frobenius-Lusztig核Q（g）都是存在的。”刘公祥介绍说。难能可贵的是，如果说以往发现的都是相对孤立的例子，他们所提出的就是一个批量生产产品的方法，在这个体系下，可以有大批量的真实的拟Hopf代数被构造出来。“也就是说，对于每一个单Lie代数g，它对应的拟量子群不是真实的，但拟小量子群真实存在。”说起来有些绕口，但刘公祥依然欣慰，他们终于有希望去分类一部分有限维拟Hopf代数了。

“张量范畴与表示论相结合是一个极具潜力的发展方向，而研究它们的一个极为有效的语言就是拟Hopf代数。这个领域充满未知，现在还是初级阶段，我很难预言它下一步会发展成什么样子，唯一可以断言的就是这将是一个非常活跃的方向。”

刘公祥坚信这一点。2017年2月，他向国家自然科学基金委提交了优秀青年科学基金项目申报，希望能够得到更多支持来研究“量子代数与表示论（有限维基本拟Hopf代数的分类）”。从2018年启动以来，该项目正在循序渐进地开展，预计在2020年年底结题。“我们的目标是分类一大类的有限维拟Hopf代数，不仅可以得到大批量的真实的拟Hopf代数的例子和结构，还将看到拟Hopf代数在张量范畴与表示论方面卓有成效的应用。”刘公祥表示。

“刘代数”

自1969年引入后，有限维Hopf代数的积分理论就被认为具有非常优美的性质，是紧李群上的哈尔积分的类似物。与有限维相对的，自然是无限维。如何定义无限维Hopf代数的积分理论？一直以来，结果并不理想。

直到2005年前后，浙江大学卢涤明教授、美国华盛顿大学J.Zhang教授和复旦大学吴泉水教授合作引进了同调积分概念，保持了通常积分的诸多美妙性质，被证明是一种成功的推广。3位作者猜测，所有满足一定条件的Gelfand-Kirillov维数1（简称为GK-维数）的Hopf代数只有3类：无限维Taft代数、无限循环群的群代数和无限二面体群的群代数。而这个猜测基于同调积分理论的应用，并受到一维连通代数群分类的影响。

对此，刘公祥也非常感兴趣。他在工作中构造出了第一个满足条件的GK-维数1的Hopf代数的例子，从而回答了上述3位作者的猜测，为GK-维数1的Hopf代数分类工作做好了准备。该文发表在Proc.Amer.Math.Soc上，并被数学领域著名SCI期刊Trans.Amer.Math.Soc.、Proc. Lond.Math.Soc.、J.Pure Appl. Algebra他引。

“我以前研究有限维Hopf代数分类，这个发现也受到了有限维的思想影响。或者说，这一类无限维Hopf代数中可以看到有限维的影子，是用有限维的知识找出一个新的无限维的例子。”刘公祥讲述着他的思路。

成果发表后引起了国际学术界的高度关注。2010年，K.Brown和J.Zhang在Proc.Lond.Math.Soc.上提出，可以在某些条件下完成GK-维数1的Hopf代数的分类。在这篇文章中，两位作者重点突出了刘公祥的研究成果，将其构造出的例子称为“Liu’s algebra”(刘代数)，并将他们自己构造的一大类新的代数称为“Generalized Liu’s algebras”（广义刘代数）。

将研究成果冠以姓氏，这无疑是对一个研究者最大的赞同。刘公祥却觉得，“这项工作给我带来的最大喜悦是可以发现很多新的Hopf代数分类”。近年来，在J.Zhang等人工作基础上，刘公祥又与合作者构造出一大类新例子，并彻底完成了该类Hopf代数的分类。2016年，该成果发表在权威数学期刊Adv.Math.上。在该系列结果出现之前，学术界普遍相信较低GK-维数的Hopf代数应该都是pointed（点）的，而刘公祥构造的新例子否定了这种看法，也充分展示了Hopf代数的复杂性。更加意外的是，在这些例子中还产生了一批新的半单Hopf代数。“这批新的半单Hopf代数值得进一步研究”，刘公祥说。

激情燃烧的数学人生

“刘公祥是最活跃的年轻数学家之一，他在Hopf代数和量子群研究上贡献很大。我要强调的是，基于身后的理论背景，他的研究成果都得到了具体的例子支持。我认为他的潜力非常大。”国际著名数学家A.Masuoka评价道。

刘公祥身上不乏这样的高评价，但他却说自己是一个“故事平淡”的人。一直以来，他都习惯勤勤恳恳地做好一切准备，让每个“下一步”都来得水到渠成。他认为这是一种做学问应有的态度。目前，他有3位博士在读，并指导两位博士后。他强调学生要自主，因为数学思想的发现和数学结构的理解，需要合作，更需要个人的主观能动性。他们成立了两个讨论班，以读经典著作和论文为主题，相辅相成。

和Akira Masuoka （左二）在一起

他自己热爱数学，也希望学生们能够从热爱中去从事数学研究。讲授“高等代数”课时，他通常把第一堂课设置为导读课，在这堂课上建立起学生们学习数学的自信，以及对课程的整体印象。他注重讲课激情，认为教师的激情能够感染学生。在研究生面试过程中，他还会通过聊家常来考察学生品德，并综合考量学生的基础程度及学习潜力。

“我对他们其实是有规划的，生活上不严格，但是学习上很严。”刘公祥自我评价道。但有趣的是，在“南数后花园”公众号上，刘公祥闻名的并不是他所说的严格，而是幽默风趣、灵活多变的授课风格，甚至还拥有一个“公祥小天使”的爱称。

他热爱教学、热爱数学，多年以来，在Hopf代数的分类研究上，他从未动摇过。用他的话说，即使事业生涯中难免遇到瓶颈，也不是对数学失去兴趣，而仅仅是问题得不到有效进展。“数学是一种抽象的语言。比如，人们可以看到一支笔、一根筷子，但是数字1是看不到的。这种抽象，对人类的思维提出了极大的挑战。我从来不觉得数学枯燥，反而觉得这种挑战特别具有吸引力。”