找准切入点 突破压轴题——以2018年全国高考数学Ⅲ卷理科第16题为例

李昌成

(新疆乌鲁木齐市第八中学 830002)

一、试题呈现

已知点M(-1,1)和抛物线C：y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于两点A，B.若∠AMB=90°，则k=.

二、解法展示

圆锥曲线作为高考的重要内容，每年必考，尤其是椭圆和抛物线.二者在每年的全国高考试卷和地方试卷中必然命制一大题一小题，作为大题和小题的压轴题，考查学生的数学核心素养，特别是运算能力.小题一般有一定的技巧性，需要“精打细算”，灵活应对，2018年全国高考数学Ⅲ卷第16题就是一个典型代表.对于本题，不同的切入点，将带来不同解题效果和感受.

解法2 (从x=ty+a直线形式入手)设直线AB的方程为：x=ty+1，将其代入y2=4x得y2-4ty-4=0.设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1+y2=4t，y1y2=-4.由解法1得

取AB中点M′(x0,y0),分别过点A,B作准线x=-1的垂线，垂足分别为A′,B′.

因为M′为AB中点，所以MM′平行于x轴.

由M(-1,1)得y0=1，则y1+y2=2.所以k=2.

解得k=tanα=2.

解法7(从MF⊥AB入手)首先证明结论：如果过抛物线C：y2=2px的焦点F且斜率为k的直线与C交于两点A，B，以线段AB为直径的圆与准线相切于M，那么MF⊥AB.

点评高考题目是命题专家通过缜密思考，反复论证的精品试题.一些题看起来普普通通，但是却暗藏着丰富的数学教学资源，尤其是解题方法，通过仔细的研究才能品出其味道.本题虽然是个小题，但是把解析几何的常见技能技巧和特殊的解题方法都进行了考查，只是我们的视角不同，切入点不同，导致解题感受大相径庭.解法1是最常见的方法，却是运算量最大的，中途容易计算出错；解法2在解法1的基础上略有改进，运算量下降；解法3利用了几何位置关系，准确率有保障；解法4、5巧妙地应用了直线参数方程的概念，将参数t用活，斜率由k=tanα解出，很新颖；解法6运用了整体代换的技巧，看似繁杂，实则简捷；解法7、8是站在已有经验上解题，非常快捷，前提是要知道这些结论，作为小题，这是最佳解法，又快又准，这也提醒我们平时要注意积累；解法9的代入方式很新颖，整体代入，运算简洁.数形结合的思想在本题中得到了淋漓尽致的考查，由MM′∥x轴得出yM=yM′多次用到.必修内容和选修内容相互支撑，甚至成为解题的亮点，常规解法与创新解法形成了鲜明的对比，这也体现了高考的功能之一，选拔人才，鼓励创新.本题知识间的融合达到相当的高度，对学生核心素养的考查全面到位.

三、拓展训练

本题蕴含的知识与方法在平时也可做一些准备和训练，以提高学生的实战能力.下面我们再挖掘一些相关的题目，练习对应的方法.让教学更有针对性和实效性.

题2 (可仿照解法2解答)已知抛物线C：y2=2x，过点(2，0)的直线交C于A，B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.证明：坐标原点O在圆M上.

题5 (可仿照解法7、8解答)设抛物线C：y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8.则l的方程为____.(答案y=x-1).