一元一次不等式(组)的求解对策(基础篇)

宋 扬

(江苏省扬州市田家炳实验中学 225000)

一、概念题(含不等式性质的运用)

例1 下列说法错误的是( )．

A.若a>b，则a-c>b-cB.若a-c>b-c，则a>b

C.若a>b，则ac2>bc2D.若ac2>bc2，则a>b

解根据不等式的性质，对各个选项逐一判断，选C．

要点指导：应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．

例2 若(m-1)x|m|+4>0是关于x的一元一次不等式，其解集为．

解由一元一次不等式的定义可知 |m|=1，且m-1≠0，得m=-1，从而原不等式即为-2x+4>0，其解集为x<2．

要点指导：基本概念不容忽视．根据定义，掌握一元一次不等式的特征是解本题(或类似题型)的关键．

二、怎样解一元一次不等式

主要依据不等式的解集的意义和不等式的性质求解，其一般步骤与解方程类似，通常按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行，并能具体情况具体对待．另一方面，要特别注意与解方程不同的地方．

解4(2x-1)≤3(3x+2)-12，8x-4≤9x+6-12，8x-9x≤6-12+4，-x≤-2，得x≥2．所以原不等式的解集为x≥2，在数轴上表示为：(略)

要点指导：(1)在去分母或系数化为1时，若不等式的两边乘(或除以)同一个负数，要改变不等号的方向；(2)常常会出现与解方程类似的错误，比如去分母时漏乘不带分母的项，移项时忘记改变该项的符号等；(3)移项时，不等号的方向不变．想一想，为什么?

三、怎样解一元一次不等式组

主要依据不等式组的解集的意义求解，其一般步骤是先分别求出各个不等式的解集，然后求其公共部分，即为不等式组的解集．

求公共部分，有数轴法和口诀法．数轴法是数形结合的方法，清晰直观，通俗易懂，对数轴法所画的示意图的本义要讲仔细，讲明白，让同学们真正理解到位．口诀法的优点是解题速度快，要在充分理解的基础上记住口诀，熟练运用．

对于只有两个不等式构成的不等式组，各自化简后可归结为四种基本情形，其求解口诀为：同大取大，同小取小，大小小大中间找(取中间)，大大小小无处找(无解了)．对于由多个不等式构成的不等式组，各自化简后可先将所有不等式归为两类，大于的一类，小于的一类，其口诀为：同大取最大，同小取最小，然后归结为另外两种基本情形继续求解．

所以原不等式组的解集为-3≤x<4，它的所有非负整数解为0,1,2,3．

要点指导：(1)解不等式组的过程中，不可将两个不等式交叉运算变形，它与解方程组大不相同，要避免由解方程组的“加减法”给解不等式组带来的负迁移所产生的错误；(2)本题在分别求出各个不等式的解集后，根据口诀“大小小大中间找”求得原不等式组的解集．

四、求不等式(组)的特殊解

类型对策：通常是先求出不等式(组)的解集，然后从中找出符合题意要求的特殊解．可具体参看上述例4，重点是后半部分．

五、解带有参数的不等式(组)

类型对策：解含参数的不等式(组)，在参数的取值不能确定的情况下，应该对参数进行讨论．是否需要全面讨论，如何分段，要视具体情况而定．

注:本题中，若题设条件明确是解关于x的一元一次不等式组，则由①、②可知a≠0，只要讨论a>0与a<0两种情况．

要点指导：在解含参数的不等式组时，要善于对照解普通不等式组的四种基本情形(包括各自的结论)，正确运用口诀法，还要能逆向使用，全面考虑(包括端点)，灵活运用. 例5用到“同小取小”与“同大取大”这两种情形；例6是逆向使用，用到“大小小大中间找”与“大大小小无处找”这两种情形．

六、怎样求解不等式(组)中的参数

不等式(组)中的参数求解问题，往往是与不等式(组)的解集相关的问题，就是说已经知道了某不等式(组)的解集或解集的部分信息，反过来求出该不等式(组)中参数的取值(或取值范围)．

类型对策(常用的方法)：(1)逆用不等式(组)的解集确定；(2)借助数轴确定；(3)分类讨论确定.

要点指导：本题是根据不等式组的解集，逆用“大大小小无解了”的口诀，同时应当注意考察端点的情况．

注:本题可运用的解题技巧有：暂作降格处理，逆用解集(及口诀)，直接(或借助数轴)观察数据的变化趋势等．

要点指导：(1)先求出关于变量的不等式(组)的解集(可用含参数的代数式表示)，然后根据其它已知条件列出关于参数的数学式子，继而求解；(2)特别要注意，类似于例8这样的题型，含参数的代数式的取值不是只有一个数，而是一个区间(取值范围)，还要仔细考察在两个端点是否应该取等号．

七、在参数可确定的情况下，怎样解不等式(组)

类型对策：通常应根据已知条件，先求出参数或相关系数的取值(或范围)，再求不等式(组)的解集．这类问题的求解，不宜对参数作泛泛的讨论.

解由不等式组得2bb+5 即为(-5+3)x>1+5，解得x<-3，即为所求的不等式的解集．

要点指导：(1)根据不等式(组)的解集的两种表示形式应该是一致的，列出关于参数的方程(组)，求出参数后，代入所要求解的不等式(组)，继而求解；(2)本题两个参数a、b的取值都是唯一确定的．

除上述内容外，不等式(组)求解的主要类型还有：可化为一元一次不等式(组)的问题，与数学其它知识点的综合运用，在实际问题中的应用等，可谓五彩缤纷．限于篇幅，待另文发表．