基于数学归纳法的空中加油辅机安排方案

舒倩 李康 翟银娟

摘  要：针对飞机空中加油的辅机安排问题，我们讨论了如何通过最少的辅机数来实现往返运输物品的要求，利用线性规划和数学归纳法获得了主机的最远单程飞行距离与辅助发动机的数量之间的关系以及辅机的最佳组合方式，可以推广到同类问题的解决上。

关键词：空中加油;辅机;线性规划;数学归纳

中图分类号：V325         文献标志码：A         文章编号：2095-2945（2019）16-0115-02

Abstract： In view of the auxiliary arrangement of aircraft refueling in the air， we discuss how to realize the requirement of transporting goods to and from each other by minimizing the number of auxiliary aircraft. The relationship between the farthest one-way flight distance of the main engine and the number of auxiliary engines and the best combination of auxiliary engines are obtained by means of linear programming and mathematical induction， which can be extended to the solution of similar problems.

Keywords： air refueling; auxiliary engine; linear programming; mathematical induction

在现代许多战争和救援活动中，空中加油都发挥了不可替代的作用。空中加油是飞机在飞行过程中将燃油转移到另一架飞机或多架飞机的过程[1]。当飞机发生意外时，比如设备故障、中弹等，在空中对飞机进行加油，可以帮助其顺利返航。具体地说，空中加油的作用主要体现在：延长飞机的飞行距离，扩大其作战半径[2]。为了更简明地研究问题，本文所建模型的条件为：一架主机与一定数目辅机从基地载物飞往待支援的小岛，辅机可以给主机加油也可以给辅机加油，主机与辅机的速度和单位耗油相同且为常数;辅机与主机只起飞一次，从基地出发最终都要飞回基地且飞机去回途中不会因为偶然性因素停留或折返。

1 辅机安排模型

我们讨论的辅机安排方案的原则是：（1）辅机给其他飞机的加油尽量多，使主机和后面工作的辅机油量更多，才能保证主机飞行距离尽可能大，从而容易找到最小的辅机数以满足主机与辅机都能飞过去再飞回来;（2）辅机在加完油后刚好能飞回去，这样既保证了辅机能飞回去又不至于造成资源的浪费。

我们对辅机数n为1到4的情况，分别用线性规划求解了主机可保证顺利飞回的最大单程飞行距离，并找出每种辅机数情况下的最佳组合。

2 结果分析

从以上结果可以看出辅机中n-m接m送与m接n-m送的结果是完全相同的。并且当n-m与m越接近时，主机的最大单程距离越大。为了进一步分析问题，我们通过数学归纳法得出当辅机数为奇数或者偶数时，主机最大单程距离Ln关于辅机数量n的关系式为：

经过MATLAB数学软件仿真，我们可以得到最大单程传输距离与辅机数的关系如图1所示。

已知小岛与基地之间的距离y，我们要得到最佳辅机数，将y带入上式即可解出合理值，并且当接送辅机数最接近时的方案为最佳方案。

3 结束语

本文建立了辅机数量安排和辅机位置规划模型，可以得到有效空中加油的辅机安排的最佳方案。本文所进行的研究存在一定前提，关于模型的优化和推广有待进一步研究。

参考文献：

[1]侯玉燕.国外空中加油技术的发展和展望[J].飞行力学，1994（04）：14-22+50.

[2]陸宇平，杨朝星，刘洋洋.空中加油系统的建模与控制技术综述[J].航空学报，2014，35（9）：2375-2389.