第二类两端奇异Fredholm积分方程的分数阶线性插值方法

郭嘉玮,王同科

( 天津师范大学数学科学学院,天津300387)

1.引言

考虑如下形式的第二类Fredholm积分方程

其中,0是参数,f(x)、k(x,y)为已知函数,u(x)为待求函数,k(x,y)称为积分方程(1.1)的核函数.假设核函数k(x,y)与右端项f(x)具有满足需要的最低阶光滑性使得积分方程(1.1)存在惟一的连续解[1].

退化核法[2−7]是一种求解积分方程的简单方法.通常而言,退化核的构造是基于Taylor公式和Lagrange插值导出的.但如果在求解区间上,核函数有一个或多个奇点,由于函数在奇点处不存在通常意义上的Taylor公式,且多项式插值逼近精度低,所以,此种情形的退化核方法计算精度显著下降.文[8]针对单点奇异核函数构造了一种分数阶退化核方法.本文将针对在区间两个端点处非充分光滑的核函数,设计基于分段混合线性插值的退化核方法.

假定在积分方程(1.1)中,核函数k(x,y)在积分区间的两个端点均奇异,可以使用核函数在奇点处的分数阶Taylor级数来近似.与整数阶Taylor级数性质类似,分数阶Taylor级数[9−10]也仅在奇点处有较高的精度,在远离奇点的时候精度逐渐降低,故本文利用分段混合插值构造近似退化核,在包含奇点的小区间上使用分数阶Taylor公式,在其它区间上使用标准的分段线性插值来逼近核函数,由此得到一种分段混合插值退化核方法.数值结果表明对于两端奇异的积分方程,传统方法如Nystrm方法[1,7]收敛阶下降,本文所提出的插值方法仍保持二阶逼近精度.

2.混合线性插值方法

考虑积分方程(1.1),假设其核函数k(x,y)在y=a和y=b处奇异且成立分数阶Taylor展开式

将积分区间[a,b]划分为n个子区间,第i个子区间的长度为hi,且记a0=a,ai=ai−1+hi,i=1,2,··· ,n.由积分区间的可加性,积分方程(1.1)则为

下面构造k(x,y)基于分数阶Tylor展开和分段线性插值的离散退化核.

在区间[a0,a1]和[an−1,an]上,核函数k(x,y)分别在区间的左右端点处具有分数阶Taylor展开式(2.1)和(2.2),取有限项如下

由于函数的分数阶Taylor展开式仅在奇点附近具有较高的逼近程度,因此在其它区间利用插值方法来逼近.为了保证逼近函数的整体连续性,需要对(2.4)和(2.5)进行修正.令

其中κ1(x),κ2(x)为待定函数,分别由插值条件k1(x,a1)=k(x,a1),kn(x,an−1)=k(x,an−1)确定,计算可得

在下文中为方便推导,仍用ξma(x)、ηmb(x)代替κ1(x)、κ2(x),即将(2.6)和(2.7)分别记为

在区间[ai−1,ai],i=2,3··· ,n −1上,做核函数k(x,y)关于自变量y的线性插值,有

其中

用上面构造的分段函数ki(x,y),i=1,2···n近似代替原方程中的核函数k(x,y),并记得到的近似解为un(x),则un(x)满足

为了方便推导,将上式改写为向量形式,即

其中

显然Bi,i=1,2,··· ,n为未知向量,下面给出确定这组未知向量的方法.

首先,方程(2.13)两边同时乘以(x −a)αυ,υ=1,2,··· ,ma,并在区间[a0,a1]上对x积分,得

其中Bi,j表示Bi的第j个分量.

将(2.15)写成向量形式,即

其中

其次,将方程(2.13)两边同时乘以lj,γ(x),γ=1,2,并在区间[aj−1,aj],j=2,3,··· ,n−1上对x积分,得

将其写成向量形式

最后,将方程(2.13)两边同时乘以(b −x)βω,ω=1,2,··· ,mb,并在区间[an−1,an]上对x积分,得

将其写成向量形式

其中

联立(2.16)、(2.18)和(2.20),并令

则积分方程(1.1)离散为一个线性代数方程组

需要指出的是,为使(2.21)的解存在唯一,需要假定λ不是系数矩阵A的特征值.

记Ln(x,y)为上节构造的混合插值退化核,离散后的方程(2.13)写成算子方程的形式

其中I为单位算子.为分析算法的收敛性,下面给出一些引理.

引理1[1]记

根据该引理,为说明算法的收敛性,需要证明当h →0时,ρn→0.经分析,ρn由三部分构成,分别是线性插值的误差以及函数两个奇点所在区间利用分数阶Taylor展开而产生的误差.考虑后两种误差,对于分数阶插值公式(2.10)和(2.11),它们的插值余项分别为[11]

其中

由此可得

进一步,由(2.26)以及线性插值误差估计式,得

其中

定理1当核函数k(x,y)关于x在[a,b]上连续,关于y在(a,b) 上二阶可导,且在y=a和y=b点存在分数阶Taylor展开式,则当h →0时,由分数阶混合线性插值退化核方法所得到的近似解un(x) 一致收敛于精确解u(x),而且收敛阶为min(αma+1,βmb+1,2).

需要指出的是,当函数接近奇异时,普通插值的精度将显著下降,所以,在实际应用本文算法时,步长h1和hn要适当增大,相应地,核函数k(x,y) 在x=a和x=b的Taylor 展开式也应该多取几项,以保证算法在包含奇点的小区间上的误差小于总体计算误差.

3.数值算例

例1用混合线性插值法求解如下的第二类Fredholm积分方程

其中

解该题中核函数k(x,y)本身就是退化核,方程可化为

求得c=6π,再将c带回原方程可得精确解为u(x)=(6πx2−5πx2)/π=x2.

下面采用混合线性插值法求解该问题.根据(2.1)和(2.2),本例中核函数k(x,y)在y=0和y=4处的分数阶Taylor展开式中

此时

当h1<2时,收敛.同理当hn<2时,也收敛,则由定理1可得,当h →0 时,所得到的近似解un(x)一致收敛于精确解u(x).

由于核函数k(x,y)越靠近积分区间的端点,函数的奇性越强,因此区间端点所在的区间长度不宜过小.将积分区间端点所在的小区间长度固定为0.2,其余部分分别按照步长h为0.2、0.1、0.05、0.025、0.0125均匀划分,并按照第二节给出的方法,取分别得到近似解un(x).图1是当h=0.0125时,u(x)−un(x)的图像,此时un(x)=0.999970534x2.

计算最大误差Eh=∥u(x)−un(x)∥∞及数值收敛阶结果如表1所示.

表1 例1计算结果

图1 例1当h=0.0125时的误差图形

另外,在表1中Condh指系数矩阵A的2-范数条件数,不同的h所对应的Condh虽然随着h的减小而增加,但增长相对缓慢,并没有出现数量级的变化,说明本文所提出的方法是良性的,表1中的结果显示数值收敛阶近似为2,与理论收敛阶一致.需要指出的是,本例中的核函数k(x,y)在积分区间端点处函数值为∞,不能直接采用线性插值的方法来构造退化核.

例2用混合线性插值法求解如下的第二类Fredholm积分方程

其中

解在这个例子中,根据(2.1)和(2.2),核函数k(x,y)在y=0和y=1处的分数阶Taylor展开式为

其中Γ(x)表示gamma函数,此时

当h1<1时,级数收敛.同样地,当hn<1时也收敛.由定理1可得,当h →0时,近似解un(x)一致收敛于精确解u(x).

与例1的求解思路类似,将积分区间端点所在的小区间长度固定为0.2,其余部分分别按照步长h为0.2、0.1、0.05、0.025、0.0125均匀划分,并按照第二节方法取分别得到近似解un(x).计算最大误差Eh及数值收敛阶Oh,结果如表2所示.

表2 例2混合插值方法计算结果

图2 例2当h=0.0125时的误差图形

由表2可以看出,在例2中系数矩阵条件数变化很小,说明算法始终是良性的,误差的收敛阶近似等于2,与理论分析相吻合,说明本文所提出的算法是正确且有效的.

图2是当h=0.0125时的误差图形.由该图形可以看到,误差u(x)−un(x)始终稳定在10−5数量级,说明混合插值算法对端点奇异核函数的处理是成功的.

此外,本例中的积分方程可以在全区间上直接利用插值构造退化核或采用Nystrm方法来求解.首先,对本例中的核函数k(x,y) 在积分区间[0,1] 上直接进行分段线性插值,取步长h分别为0.2、0.1、0.05、0.025、0.0125可得近似解、最大误差以及数值收敛阶,如表3所示.

表3 例2全区间上的分段线性插值计算结果

表4 例2Nystrm方法计算结果

表4 例2Nystrm方法计算结果

h Eh Oh Condh 0.2 9.13371×10−2 1.73324 0.1 4.07416×10−2 1.16470 1.83738 0.05 1.86295×10−2 1.12891 1.88729 0.025 9.48273×10−3 0.97421 1.90905 0.0125 5.76217×10−3 0.71869 1.91836

由表3和表4可以看出,传统的基于插值构造的退化核方法以及Nystrm方法的收敛阶均依赖核函数以及解的光滑性,当核函数与解存在奇点时,这两种方法的计算精度很差.此算例说明对于非光滑核函数,本文构造的分数阶混合插值退化核方法是成功的.