无解≠增根

陈 峰

分式方程的无解和增根令许多初学分式方程的同学头疼，无解是不是一定意味着这个方程有增根？本文试通过几道例题来谈谈它们的差别。

一、增根可使分式方程的最简公分母为0

A.-3 B.3 C.0 D.以上都不对

【分析】若原方程有增根，则这个增根为x=3，是原方程去分母之后得到的整式方程的解。

解：去分母得x-2（x-3）=m，

把x=3代入，得3-0=m。解得：m=3。

技巧点评：若方程有增根，则一定存在使公分母等于0的未知数的值。

二、无解可能出现增根，也可能真没解

分式方程的根如果是增根，则分式方程无解。反之却不一定成立。如果分式方程无解，还有可能是化为整式方程后，整式方程就是无解的。

【分析】分式方程无解，需要分分式方程有增根和整式方程无解这两种情况讨论。

解：将方程两边同时乘x（x-1），得 x（x-a）-3（x-1）=x（x-1），

整理方程，得（a+2）x=3。

1）当a+2=0，即a=-2时，一元一次方程无解。

又∵分式方程无解，∴x=1即为增根。

当增根为1时，得a+2=3，解得a=1。

综上所述，当a=-2或a=1时，该分式方程无解。

技巧点评：已知分式方程无解，可先考虑去分母，将它们化成整式方程，然后讨论是整式方程无解，还是分式方程的根为增根。

三、易遗漏的“无解”

【分析】增根可能是2或-3，但是解为负数，所以讨论时，只需要考虑x=-3的情况。

所以当k＜3且k≠-12时，原分式方程的解为负数。