基于学生认知起点的平面图形面积学习调研

北京市顺义区教育研究和教师研修中心 张秋爽

五年级学习平面图形的面积时，教材中先学平行四边形，接着学习三角形，最后学习梯形。教材这样安排，就没有新的学习顺序吗？ 要想寻找新的学习顺序，还需要把握学生的认知起点，更需要了解学生在三年级学习了面积以及长、正方形的面积之后，他们已有的知识基础是什么？困惑是什么？他们能走多远是我们想知道的。教材安排的顺序是唯一的学习顺序吗？ 学生心中又有怎样的学习顺序呢？带着这样的疑惑和思考，我进行了调研。

我们从五年级、六年级随机抽取了193人进行关于三个面积学习顺序的调研，又从四年级学生中对5名学生进行了访谈，其中4名学生知道长方形面积的计算方法，但说不清道理。这是为什么呢？带着这样的疑问和思考，我从四年级抽取一个班40名学生对他们进行了调研。测查过程的基本环节如下：第一步，先让学生自己完成题目，完成之后与身边的老师进行简单的交流和询问，确认每一个学生的真实表达；第二步，再让每个学生汇报自己的想法；第三步，教师欣赏学生的作品，揣摩背后的价值。

1.调研过程

（1）学习平面图形顺序的调研

五年级前测：下面这些平面图形的面积，你能想办法推导出来吗？ 你想先学习哪个图形的面积？然后学习哪个图形的面积？ 请在图形左侧标出序号，并在图形右侧说出你的理由。

图1

图2

图3

学习顺序：

______________________________________

设计意图：五年级学生在没学习平行四边形、三角形和梯形的面积之前，凭直觉思考学习三种平面图形面积的顺序。

六年级前测：回忆已经学过的这些图形的面积计算公式推导过程（在图中标明）

图1

图2

图3

图4

图5

你觉得求图形面积最关键的是什么？

教师教学的学习顺序（写序号）___________。

你觉得还可以有其他的学习顺序吗？ 写出来，说明理由。

设计意图：学生根据图形之间的关系，思考其他的学习顺序。

我们对未学过三种平面图形面积的四年级学生和已经学过的五、六年级学生一共193人进行了调研，问题是：对于“平行四边形、三角形和梯形”三种图形，你认为应先学习哪种图形？ 其中认为先学平行四边形面积的有117人，占60.6%；认为先学三角形面积的有43人，占22.3%；认为先学梯形面积的有33人，占17.1%。

先学习平行四边形的理由：三角形和梯形都可以转化为平行四边形，进行面积计算公式的推导学习；

先学习三角形的理由：平行四边形和梯形都可以分成两个三角形，所以只要学会了三角形的面积计算，其他两个平面图形的面积计算就不用学习了；

先学习梯形的理由：梯形的上底为0就是三角形，梯形的上底和下底相等时就是平行四边形，所以可以学习梯形后就能求出这三种图形的面积了。

从调研中，我们看出这三种平面图形的学习是多元的，先学哪种图形都行，先学习哪种图形都能根据图形之间的联系推导出其他图形的面积计算公式。

（2）四年级学生学习面积的前测调研题目：

①长方形的面积等于长×宽，你能解释原因吗？

设计意图：把握学生的认知起点，学生是否理解了面积概念，程度如何？ 是否知道长乘宽的具体含义？ 有哪些思考经验和策略方法为后续学习其他平面图形的面积做好了铺垫？

②学习长方形和正方形面积后，你还可以得到哪些图形的面积？ 把你的想法写下来。

设计意图：在学生认知的基础上，学生能否利用已学的方法策略解决新问题，看学生的发展潜力在哪里？ 他们学习平面图形面积的困难有什么？

③

想求出上面这个图形的面积，你有什么办法？可以用铅笔和尺子画一画，寻找到解决问题的思路。

如果遇到自己不能解决的问题请记在下面。

设计意图：面对新情境下的问题，学生的策略有什么？ 困难是什么？ 为后续学习设计活动找准学生知识的生长点。

2.测试结果呈现

（1）学生基础

对于长方形的面积=长×宽，40名学生解释原因，答题情况可以分成三类：

①理解面积的含义，知道推导的过程。24名学生能够用语言描述面积就是相乘的过程：长摆了几格，长就是几，宽摆了几格，宽就是几，一共有多少个格，就是面积；或者在图形中画满了正方形的面积单位。还有一些比较精彩的话语，如下：

生1：求周长只用外面的边，用加法；那么求面积要用里面的心，所以用乘法。

生2：如果把长方形分成许多小格，长分成的小格数量乘宽分成的小格数量就可以得到有多少个小格。

②不理解推导过程，言语表述不清晰、有偏差。8名学生不知道如何解释，只知其然不知其所以然。

生1：在图中标了数据，长是3厘米，宽是2厘米。求周长用（3+2）×2=10厘米，求面积用3×2=6平方厘米。（仅仅呈现了事实）

生2：因为长×宽是分两部分的，第一部分是（长+宽）；第二部分是×2，合起来是（长+宽）×2，为了便捷就是长×宽。（没有因果关系）

生3：因为正方形的面积是边长×边长得来的，所以我觉得长方形的面积是由正方形的面积得来的。（逻辑错误）

生4：长和宽都有两条边，一条长和一条宽相乘就是面积。（没有解释原因）

③没有表达自己的想法。有8人既没有文字描述，也没有画小方格；个别学生只是在图中标上了数据，没写出想法。

（2）学生能走多远

对于“学习长方形和正方形面积后，你还可以得到哪些图形的面积？ 把你的想法写下来”这样的探究性问题，可以把学生作品分成三类：一类是不能求出其他图形的面积有12人，占30%；第二类是想象中能求出梯形、三角形和平行四边形，但没有写出思考过程的有4人，占10%；第三类是自己有想法的有24人，占60%。下面对有想法的学生进行统计，并做详细说明。

①密铺法。能够用面积单位去密铺三角形、多边形的面积的有6人。如图：

图1

从图1可以看出学生理解面积的含义，知道用面积单位去密铺可以求面积，既体会了面积的本质含义，又能把长方形面积的计算方法迁移到求新图形的面积当中，把密铺作为一个通行方法让学生解决更多的问题，但学生没有关注整格和半格，把半格当作整格进行了计算。

②转化法。能够利用已学知识推导出没学图形的面积的有4人，运用了转化的思想。

图2

从图2能看出学生通过高把三角形分成两个小三角形，从而利用构造思想，形成长方形。从图中的辅助线、虚线可以看出学生背后的思考。

对于直角三角形面积的求法，学生想到了长方形，两个完全一样的直角三角形能拼成一个长方形，求出长方形面积的一半就是直角三角形的面积；对于平行四边形想到了转化成长方形的有2人，学生的语言是“把左上角往上一拉，拉成直角”。

③分解法。能够利用整体和部分的关系求组合图形面积的学生有6人。具体分析如下：

图3

从图3的左图可以看出：两个完全一样的等腰直角三角形可以拼成一个正方形，正方形面积的一半就是直角三角形的面积，学生能够应用转化的思想方法；从右图可以看出有分与合的思想，对于整体和部分之间的关系了如指掌，为日后学习组合图形的面积时把多边形转化为基本图形做好铺垫。

图4

从图4可以看出学生能把长方形和正方形的面积组合在一起求。先求大的长方形面积减去小的正方形的面积就是多边形的面积。这里蕴含的分与合思想，体现的是部分和整体的关系，应用的是刚刚学过的两个平面图形面积的计算方法。这种综合应用知识的能力可见一斑。他们能够利用分与合的思想把复杂转化为简单，利用长方形、正方形这两个基本图形求出面积。

还有学生写道：我认为像多边形那样的图形应该先量出每条边的长度，再把它分成带有直角的正方形或长方形算出它们的面积，最后把面积加在一起就行了。同样也能看出学生具备转化的思想方法，能把未知转化为已知，为学生推导其他图形的面积计算公式提供思考经验。

④在合情推理中出现了偏差。有2名学生对平行四边形、等边三角形的面积进行了合情猜想，能看出学生朴素的迁移想法出现了知识的负迁移。

图5

表面上看，对于三角形求面积和周长容易混淆，实际上学生把正三角形和正方形分在一类，用正方形的边长×边长迁移得到的，因为它们的边有共同的特点，都相等；而平行四边形和长方形一样，对边相等，所以平行四边形的面积就和求长方形的一样，这是学生利用图形之间的相似特点类比面积的计算方法。

图6

学生能够用长方形的面积=长×宽，迁移三角形的面积就是底×高。从学生的思考中，我们看到了学生对长方形、三角形这两种图形之间的关系缺乏准确把握。

⑤周长和面积概念混淆。还有6名学生把周长和面积的概念弄混了，给出了正六边形、等边三角形和菱形，标出数据，求的都是周长。

（3）学生的想法与困难

对于多边形，标了数据。让学生求它的面积，并写出困难。40名学生的作品可以分成四类：第一类——学生在多边形中画了很多小方格，以自己的小格为标准，数出了图形的面积，没有关注到数据的多少。这样的学生有10人，算出结果的有5人，还有5人画了格，不知道怎么数；第二类——有3名学生把多边形转化成近似的长方形，求出近似长方形的面积代替多边形的面积；第三类——有11名学生想到了把多边形分割成一个个平面图形，会求长方形的面积，困难是不会算三角形的面积，有一名学生把多边形分成一个个小三角形。在他的习题单中，我们看到凡是组合图形，都分解成一个个小的三角形。学生潜意识里认为三角形是一个基本图形，而三角形在初中学习平面几何时有非常重要的地位。

图7

第四类——剩下的16人，有的只标上数据，没有想法；有的没有画图，只是做一些没有逻辑的算式，还有学生去量线段，不解的是量线段长度是2厘米，为什么标的是4呢？ 学生做这道题最大的困惑就是没有数据。

4.我的思考

（1）大部分学生具备了面积守恒性、会分解图形和简单的转化思想

通过调研得知：60%的学生能解释长方形的面积为什么等于长乘宽？ 是因为长是几厘米，就铺了几列；宽是几厘米，就铺了几行，一共有多少个方格就是面积。大部分学生注意到面积的饱和性，能把多边形分解成单个平面图形，还能利用割补、平移等方法对没学过的图形进行转化。学生能用数方格的方法求没学过的图形的面积，这里蕴含了度量的意识和累加的思想，为日后学习微分做了铺垫。这是学生学习平面图形的面积推导时的生长点，教师可以利用学生已有的知识起点有针对性地设计活动。对于知识理解不到位的学生，需要教师查漏补缺，让学生尽可能理解面积的含义和计算背后的道理。

（2）学生在自己探索新图形的面积过程中，个性化方法得以外显，也有局限性

通过调研得知：20%左右的学生在探索过程中，运用了合情推理中的类比推理，但出现了一些偏差。如：认为等边三角形的面积和正方形一样，可以用边长×边长来计算；平行四边形的面积用邻边相乘；等腰三角形的面积是底乘高等。这些都说明学生在探索知识的过程中是有想法的，但出现了偏差。我们可以利用学生的认知冲突，让学生的思维经历从平衡到不平衡再到平衡的过程，让学生经历反思假设—验证—否定—新结论的过程。

教师要带着欣赏的眼光，利用这些资源。调研丰富了教师读懂学生的经验，让课堂从单一走向丰富，从平铺直叙走向柳暗花明。我们的课堂该怎样关注学生的个性，让学生的思维外显，在学习中有整体的结构化的认知，这是我们调研的启示。

（3）面积学习应重点关注图形之间的相互转化

学习面积的真正基础是弄清楚图形之间的关系，没有图形之间的等积变形就没有转化的思想方法。所以重视图形之间关系的教学是平面图形面积推导之前应做好的准备课，为学生积累活动经验和思考经验。

通过调研，我们深切地感觉到：学生的认知基础、思维方法基础、学生的兴趣、需求启发我们思考不能一味地采取一成不变的学习顺序，除了平行四边形作为突破口之外，是否可以先学习其他图形呢？