4 MAT 学习模式与数学问题设计

毋翠玲 和小军

【摘 要】本文简要介绍 4 MAT 学习模式，阐明数学学习与 4 MAT 学习模式的关系，以普通高中课标教材必修一“用二分法求方程的近似解”的问题设计为例，论述“四何”（为何—是何—如何—若何）数学问题的设计法及其应用，并对基于 4 MAT 学习模式的数学教学提出四条建议。

【关键词】数学教学 4MAT 学习模式 数学问题设计 “四何”问题设计法

【中图分类号】G  【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2019）01B-0027-03

问题是数学的心脏。对于问题设计，有学者提出了具体的设计模式。譬如基于 PBL（Problem-based Learning）教学视角设计问题，综合教学资源、教学目标、学习者特征，构建问题设计模型（杨雪，孙杰等，2011 年），该模式重视问题的情境性、可挑战性和开放性。另外，有学者基于学生学习视角分析 3 C 3 R（content，context，connection，researching，reasoning，reflecting）问题设计的构成要素、基本观点及应用价值，指出问题设计的六个要素，从静态和动态两个角度设计问题（冯锐，缪茜惠，2010 年），该模式重视问题的全面性。有学者基于信息技术视角构建面向理科、文科的问题设计框架（胡小勇，2006 年），该模式有框架清晰、易于操作的特点。以上模式分别基于问题解决、学生学习、信息技术视角设计问题，存在问题情景设置困难、考虑要素过多、问题设计框架过于理想化等缺点。4 MAT（natural learning mode）学习模式根据人的学习风格不同将问题分成四类，以循环的方式进行编列，旨在提高学习者的综合素质。笔者基于 4 MAT 学习模式，指出 4 MAT 学习模式的系统学习循环圈与数学学习的内在关联，然后提出“四何”数学问题设计法，结合高中数学具体案例设计问题，并对高中数学教学方法提出建议。

一、4 MAT 学习模式简介

1979 年麦克锡（Bernice McCarthy）创立 4 MAT 学习模式，这种模式经过不断完善发展，已成为一种颇有影响的教学模式。图 1 展示了 4 MAT 学习模式的核心理念：任何学习都是由“为何—是何—如何—若何”组成的循环圈，依次对应“把握学习价值—透彻理解概念—積极操练技能—灵活应用”四个阶段的学习。其间学习者左右脑交替轮换历经八个学习阶段：连接与关注—— 想象与讲解—— 练习与扩展—— 提炼与表现。

二、数学学习与 4 MAT 学习模式的关系

有学者对 4 MAT 学习模式进行数学教学实证研究，结果显示学生数学成绩明显高于传统教学的成绩（Enver Tatar and Ramazan Dikici，2008 年）。学生在课程成绩、学习态度上都好于传统教学（Sevinc，Mert Uyangor，2012）。传统教学中，教师也重视引导学生使用恰当的学习方法，但未必知道让学生使用某种学法的原因，也未必了解左右脑与学生学法之间的关系。事实上，数学学习对左右脑的协作能力有较高的要求，通常数学成绩突出的学生左右脑的协作能力较强。4 MAT 系统学习循环圈具有左右脑交替轮回的特色，可以促进左右脑协调合作，有利于提高学生的数学成绩。由此可以看出，4 MAT 学习模式与数学学习一般模式存在一定的关系。如下表 1 展示两者间关系。

（一）输入阶段的学习过程。4 MAT 学习模式经历连接、关注两阶段学习。在连接阶段，学生运用右脑学习，自然地将内容与生活相连接，而非简单的告知;在关注阶段运用左脑学习，引导学生关注其他学生的想法、反思学习体验并形成自己的疑惑，从而感知数学学习内容。

（二）相互作用阶段的学习过程。4 MAT 学习模式经历想象、讲解两阶段学习。在想象阶段，学生运用右脑学习，在头脑里勾勒出原有的数学知识图像，采用能反映核心概念的右脑分析方式活动;在讲解阶段运用左脑学习，分析、形成核心知识、新的数学认知结构雏形。

（三）操作阶段的学习过程。4 MAT 学习模式经历练习、扩展两阶段学习。在练习阶段，学生运用左脑学习，不断练习所学知识，旨在达到熟练的程度;在扩展阶段，运用右脑学习，协调知识、技能、学习材料和思想方法，初步形成新的数学认知结构。

（四）输出阶段。4 MAT 学习模式经历提炼、表现两阶段学习。在提炼阶段，学生运用左脑学习，完善自己的知识;在表现阶段，学生运用右脑学习，充分表现自己，形成新的数学认知结构。

4 MAT 学习模式与数学学习一般模式具有一定的对应关系。4 MAT 学习模式有八个阶段，数学学习一般模式有四个阶段，数学学习一般模式的每一阶段对应 4 MAT 学习模式的两个阶段。倘若将 4 MAT 学习模式的八个阶段融入数学学习的四个阶段，那么 4 MAT 学习模式的系统学习循环圈将引发数学的系统循环学习，而且可以促进左、右脑的协调发展，提升学生的数学思维能力。

三、基于 4 MAT 学习模式的“四何”数学问题设计法

问题是数学的心脏。如果能够依据 4 MAT 学习模式的系统学习循环圈设置问题串，那么就可带领学生完成数学的系统循环学习。下面具体阐述基于 4 MAT 学习模式的“四何”数学问题设计法。

（一）“四何”数学问题设计法。4 MAT 学习模式由“为何”“是何”“如何”“若何”四部分构成，由这“四何”出发设计问题的方法，简称“四何”数学问题设计法。

“为何”即 Why 类问题。此类问题的设计应以激发学生学习的动机和认知内驱力为目标，教师以回顾复习旧知为先导，精心设计问题情境，譬如，游戏情境、实践情境、现实情境、过程式情境、悬念情境、竞赛情境、类比和猜想情境、争论性情境。以“动”“活”“挑战”“冲突”等学习动力源为依据，创设构造情境、动态情境以进行问题设计。

“是何”即 What 类问题。此类问题的设计应以唤起学生的自我监控为目标，可采用元认知提示语的方法，使学生可以调用自己的思维策略，主动探究问题。学生能够实施自我监控是设计问题的依据。

“如何”即 How 类问题。此类问题的设计应以培养学生的推理能力为目标，可采用理解性提示语的方法。问题设计应以调用学生已具备的原理、概念和理论，培养学生将知识应用于具体情境的能力为依据进行设计。

“若何”即 What…if not 类问题。此类问题的设计应以激发学生多方向思维，培养学生多角度、深层次思考问题的能力为目标，结合波利亚“怎样解题表”的第四个步骤“回顾与反思”设计问题。以解题后的“再认识”和“元认知成分”为依据进行设计。

通过“四何”问题的驱动，学生完成 4 MAT 学习模式四个象限八个阶段的系统学习循环圈。其中，“为何”“是何”层次较低，“如何”“若何”层次较高。这样循环上升的问题设计，不仅使问题具有梯度，而且交替轮回使用左右脑，满足了用心反思、直观感知、付诸行动等不同学习风格的需求。

（二）“四何”数学问题设计法的应用与举例。“用二分法求方程的近似解”作为普通高中课标教材的新增内容，融数形结合、函数与方程两大数学思想方法于一体，是函数部分的升华，广泛受到一线教师的高度重视。下面以“用二分法求方程的近似解”的问题设计为例，介绍“四何”数学问题设计法的应用。

1.设置“为何”问题，明确“为什么学”。播放幸运 52 猜价格的游戏节目及一段视频：一个风雨交加的夜晚，工人师傅维修电话线路故障的画面，通过设计游戏或实践情境，从而引发学生的学习动机。当学生达到“心愤愤”“口悱悱”的状态时，顺势针对情境直接设计问题，可以激发学生的认知内驱力。譬如，设计如下问题：①大家通过幸运 52 猜游戏的节目，思考如何能更快地猜出价格？（激发认知内驱力）②通过观看《工人师傅维修》的视频，思考如何能更快找到故障所在？（激发认知内驱力）③通过这两个例子的解答对三次方程 2x3+3x-3=0 根的求解有什么启发？（产生困惑，明确学习“用二分法求方程的近似解”的意义）

2.设置“是何”问题，明确“学什么”。采用元认知提示语“你知道什么？”“你有什么体会？”设计问题，针对教学核心知识“二分法”与幸运 52 猜游戏之间的关系设计问题，提高学生的元认知水平。譬如，設计如下问题：①你对“工人师傅”和“猜价格”两例子的处理办法有什么体会？（体会监控）②你知道哪些函数的零点？此三次方程的解应该是哪个函数的零点、有没有零点呢？（思维监控，自主探究）③你觉得利用“二分法”求方程的近似解的关键步骤是什么？（自我反省）

3.设置“如何”问题，明确“学以致用”。采用理解性提示语“利用二分法……”设计问题，以使学生灵活应用。当学生明确“二分法”的操作步骤后，可直接设计利用“二分法”求解的题目。譬如，设计如下问题：①用“二分法”求三次方程  2x3+3x-3=0  的解（精确到小数点后 3 位）？（直接操练）②用“二分法”求如下问题：有 27 个形状、大小相同的小球，其中有一个球比其他小球略重，你用天平称几次可以找出这个球？要求次数越少越好。（复杂的操练）③用“二分法”求这样的问题：“上海某公司需要扩大规模，提高生产产值。已知该企业 2010 年的生产总值为 30 万元，要使该企业从 2010 到 2013 年这 4 年的生产总值的总和达到 210 万元，则该企业生产产值的平均年增长率应为多少（精确度为 0.01）？”（灵活应用）

4.设置“若何”问题，明确“还能学什么”。重点设计“还有哪些方法？”等开放性问题，促进思维的发散性。当学生学完“用二分法求方程的近似解”后，为促进知识的系统性，可设计变式问题，增强学生思维的广度和深度。譬如，设计如下问题：①请同学们编制一个问题，同桌交换解答。（多角度思维）②反思这节课所学内容，具体说说你学到了哪些知识和思想方法？（深层次思考）

4 MAT 学习模式在第四象限的任务是将一节课的内容进行整合归纳，并为下一循环的学习作准备。通过整合并创新知识，达到学习循环圈的终点，这个终点将是下一个学习新的起点。在“四何”问题的带领下，使学生完成数学系统学习循环圈的学习。

四、基于 4 MAT 学习模式的数学教学建议

“四何”数学问题的编排具有层次性和循环性，问题的数量少而精，问题设计紧扣核心知识，“为何”“是何”“如何”“若何”满足不同学生的学习风格。在实际教学中教师通过设置“四何”问题，协调四个象限的活动，引导学习者完成 4 MAT 学习模式的系统学习循环圈。就学生而言，因学习风格不同，在某一阶段的学习会出现不顺利的情况，比如，倾向于用心反思的学习者习惯于观察、倾听、反省来过滤知识，但却忽略对知识的直接体验。事实上，通过直接体验后再对知识进行过滤才是教学的本质要求。相反，对于倾向于直接体验的学习者来说，其反思、观察相对较弱，事实上在教学中引导这部分学生进行反思是有困难的。高中数学要强调学生多种学习方式的锻炼，掌握查阅资料、合作学习、自主学习、探究学习、元认知学习等学习方式。实际教学中，教师怎样才能带领学生实现 4 MAT 学习循环圈呢？

（一）教师要引导学生亲身体验和分享体会。4 MAT 学习模式第一象限，通过创设情景引入教学，激发学生学习新知的动机。在学生亲身体验学习情境后，设置“为何”问题串，组织学生开展小组合作学习，引导学生交流、倾听与反思。整个课堂充满民主开放的气氛，利于学生获取体验并分享体会。

（二）教师要引导学生获取和反省核心知识。4 MAT 学习模式第二象限，要弄清楚核心概念，抓住核心概念所蕴含的数学思想方法、在形式化的背后透视数学知识的本质。设置“是何”问题串，在讲授的同时注重学生的思考和反思，引导学生将核心知识和自身融为一体。整个课堂充满教师讲授和学生反省的气氛，帮助学生实现客观和主观的平衡。

（三）教师要善于评价并引导学生自评。4 MAT 学习模式第三象限，要组织学生对所学内容进行练习。设置“如何”问题串，在学生操练后，对数学问题解决的每一步都要作出评价，譬如，用到了哪些数学思想方法，解题速度是否快捷，哪种方法更好，到哪一步作不下去了？有针对性的评价实际上就是学生反思成长，熟练掌握技能的过程。整个课堂充满操练和评价的气氛，再次实现从客观知识到主观体验的平衡。

（四）教师要善于培养学生的反思和创新能力。4 MAT 学习模式第四象限，对本节课的内容进行小结。设置“若何”问题串，鼓励学生分享自己的发现、体会。引导学生反思所掌握的知识和技能，所经历的过程与方法，所体会的情感、态度和价值观。提升学生知识的整合和创新能力。这个阶段充满学生反省和系统化知识的气氛，实现从实践操作到主观体验的平衡。至此，一个完整的循环圈已在教师的组织下完成，这将是新的学习循环圈的起点。

麦克锡（Bernice McCarthy）的 4 MAT 学习模式，以循环连续体贯穿始终。运用全脑学习理论，充分发挥学生个体的潜在能力，顾及个体差异。以“为何”“是何”“如何”“若何”问题串引领学生思维。教师利用 4 MAT 学习模式实施教学，关注学生提出的问题，及时评价学生的学习，在核心概念的带动下让学生的主体地位充分得以展现。

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【作者简介】毋翠玲（1977— ），女，汉族，河南焦作人，硕士，中学一级，玉林师范学院教育科学学院教师，从事数学课程与教学论研究。

（责编 卢建龙）