精设探究·揭示本质·生长能力——以“平面直角坐标系”观课为例

（江苏省苏州市阳山实验初级中学；江苏省苏州相城经济技术开发区漕湖学校）

江苏省苏州市高新区数学教研活动以年级组为单位，分为三个教改组分别组织活动.每次活动由教改组负责人提前一周告知开课教师具体课题，开展同课异构活动.课后集中组织研讨，先由开课教师介绍课堂教学设计，简单总结上课情况，再由部分教师代表点评，提出可行性的建议等.同课异构是最常见、最有效的教学研讨形式之一，这样的组织形式比较接地气，对一线教师提高研读教材教法和课堂教学设计水平有很大的帮助.在一次八年级数学教改组活动中，由教师A和教师B分别执教苏科版《义务教育教科书·数学》八年级上册第五章第二节“平面直角坐标系”第2课时教学研讨课，为方便起见，在下文中，将教师A执教课程称为“课例1”，将教师B执教课程称为“课例2”.笔者在观课、研课活动中，有很多收获，也引发一些思考.现笔者对两节课部分教学环节做以对比评析，并从文本研读、为何而教、学情分析、揭示本质等方面反思数学课堂探究活动的设计，谈谈如何提升探究活动的设计内涵，引发学生在数学活动中自主探究、揭示本质、生长能力.

一、课例对比及评析

1.创设情境环节

课例1复习回顾平面直角坐标系各象限及坐标轴上点的坐标符号特征，设计了5道练习题，主要考查学生运用点的坐标特征分别确定点的坐标、字母的取值范围或解决有关点到坐标轴的距离问题.课例2复习回顾平面直角坐标系第1课时的主要内容，直接引入新课.

【对比及评析】课例1出示5道练习，提出8个具体问题，由学生解决.问题涵盖了点的坐标、点的位置和点到坐标轴的距离等知识点，既有数学基础知识的正用，也有逆用，以具体问题引导学生充分复习回顾上一课时学习的平面直角坐标系的具体知识，为本节课数学探究活动做知识准备.课例2采用问答的形式，简要回顾上节课所学要点，直接引入新课.两节课都复习回顾了平面直角坐标系中点的坐标特征，都侧重数学知识的前后联系及逻辑顺序，从数学内部结构引出探究的内容，并为本节课探究点的平移、对称等运动特征做知识准备.课例1的创设情境环节，本质是点的位置确定点的数量（有序实数对）及点的数量决定点的位置，对于这一数学本质，教师的引导归纳不够，导致学习活动呈现的结果为“解题”活动，又因题量太大，师生在练习及讲评环节用时较长，喧宾夺主，引入效果大打折扣.课例2情境创设过于简洁，所提问题是对上节课主要知识点的罗列叙述，没有抓住新、旧知识的切入点，思维价值不高，无法有效引发学生自主复习旧知，调动探究新知的内驱力，导入效果一般.

2.探究活动环节

课例1选用教材上的例题开展探究活动，通过在第一象限内确定等腰三角形ABC顶点的问题，变式设计5个探究活动，分别将等腰三角形ABC左右平移、上下平移、复合平移（两次平移）、沿y轴翻折、沿x轴翻折，探究、讨论点的坐标变化情况，形成结论.探究结束后，设计相应的当堂反馈，应用结论解决简单的问题.课例2设计两个数学探究活动，活动1先由学生在平面直角坐标系中画出4个点A(1 ， 3)，B(- 1，3)，C(- 1，-3)，D(1 ， -3)，观察4个点的位置关系，然后探究点关于坐标轴的对称问题，由特殊的位置关系得到特殊的数量关系，归纳、概括，形成一般结论；活动2让学生把点(1 ， 2)向左或向右平移，再向上或向下平移，观察点平移前后横、纵坐标的变化，探究点在坐标系中的平移问题，归纳、概括，生成一般结论.每个探究活动后都跟进设计了“基础训练”与“能力提升”两个层次的练习，应用并巩固结论.

【对比及评析】课例1以教材上例3为活动素材，把“数学实验室”中点的对称探究融入其中，设计5个探究活动，分别探究图形平移、图形对称时对应点之间的坐标关系.教材上例3的编写意图是把平面图形放入平面直角坐标系，通过画图操作，感受平面直角坐标系中平面图形运动引起的点的数量关系变化及规律，架起图形与数量关系互通的桥梁，探究图形位置变化与点坐标变化之间的关系.教师A对教材的把握准确，问题设计具有启发性，充分挖掘教材的教学价值，探究活动组织有序，学生主动探究，教学效果显著.

教师B自主创新设计探究活动，突出对点的研究，把握本节课的教学重点，通过“画点—观察—探究—归纳”的活动路径，获得点在平移、对称时的坐标变化规律.这样的活动设计，开门见山、直奔主题，把图形问题具体化、简单化，为学生的探究铺好了台阶，直指探究活动结果，易于学生探究发现，并总结相关结论，单从教学效果来看，数学知识的学习简单、快速、高效.但其设计也存在明显弊端.例如，不利于学生感受从一般到特殊的数学思想方法，不利于学生整体把握本节课学习内容的来龙去脉，不利于学生数学思维能力的发展.

本节课是研究一类具有特殊位置关系下的点的数量关系，应该遵循先从一般到特殊（研究对象）、再从特殊到一般（研究方法）的研究路径.《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）指出，问题情境的设计、教学过程的展示、练习的安排等要尽可能地让所有学生都能主动参与，提出各自解决问题的策略，丰富数学活动的经验，提升思维水平.探究活动应该是学生独立、自主完成的数学活动，师生共同参与毋容置疑，但是过多干预学生的探究，有碍学生自主探究能力的发展，不利于学生数学能力的提升.探究活动的设计应符合学生的认知规律，注重挖掘知识的生长点与延伸点，明确探究活动的目的，精心设计问题情境，引发学生积极主动参与活动，教师适时、适度参与其中，引导学生经历数学知识的形成、发展及应用过程，使学生感受探究之趣、收获之悦，体悟数学思想，生长数学思维.

3.例题教学环节

课例1的例题是对教材上例3的变式设计，即逐步弱化第一象限条件的限制，从点的视角去探究图形在平面直角坐标系内的运动，观察并分析平移、翻折的运动特征，以此进一步强化平面直角坐标系内点在平移、翻折运动时数量的变化规律.课例2的例题选自教材上的“数学实验室”第3题，学生按要求画出已知线段平移后的图形，写出平移后线段端点的坐标，探究线段上任意一点平移后坐标变化的本质，归纳平面直角坐标系上图形平移运动中点的横、纵坐标变化与点的位置变化之间的关系，揭示平移运动的本质.

【对比及评析】我们先对教材上的例3与“数学实验室”活动内容做简要分析.上文已指出例3架起了图形与数量互通的桥梁，体现了数形结合的思想方法，使学生感受到图形的运动变化引起的位置变化可以用数量关系来刻画.反之，数量的变化也能用图形的位置变化来描述.“数学实验室”活动内容是例3的延续，目的是以具体的操作实例，欣赏图形对称之美，并理解图形平移、对称的本质特征，透过现象探究本质，归纳、概括，形成一般结论.基于以上分析，课例1对教材的理解与把握准确，教师A通过对例题进行多层次、多维度的变式设计，用问题引领学生积极参与操作、观察、思考，逐步揭示问题本质，积累数学活动经验，提升数学能力.课例2的例题设计仅围绕平移运动展开，从本节课的教学重点来看，整体性不足，例题教学效果稍有欠缺.

4.板书环节

课例1的板书设计如图1所示.

图1

课例2的板书设计如图2所示.

图2

【对比及评析】课例1的板书形式为行列式，设计简洁美观，是对本节课探究结论的加工与提炼.课例2的板书形式为图文结合式，设计规范、实用、美观，数形结合，富有启发性、示范性.众所周知，正确、具体、形象的板书能够帮助学生正确理解和牢固掌握数学知识，抓住学习重点.板书是视觉接受信息的主要渠道，优秀的板书有利于学生的视觉记忆，有利于学生记录课堂笔记，有利于课后复习、理解、巩固所学内容.板书的一般原则是精炼完整、规范准确、清晰美观、启发思维等.综上所述，课例2的板书设计能直观体现教学内容的脉络，教学重点突出，条理清晰，易于学生理解、识记，很好地概括、总结了本节课的教学要点.数形结合，注重发展学生的几何直观，有助于学生探索解决问题的思路，提升数学素养.

二、观课反思

1.文本研读是探究活动设计的立足点

数学课堂教学活动设计的立足点是文本研读.对于本节课教学内容的理解，可以通过文本研读达成.本章内容编排的线索为“数量描述大千世界的各种变化—数量的变化与位置变化有着密切关系—物体位置的确定—平面直角坐标系—在平面直角坐标系中用有序实数对描述点的位置和位置的变化”.本节课的教学任务是把一些简单的图形置于平面直角坐标系中，进行平移、翻折、旋转等运动，引导学生用点的坐标来描述运动后的图形位置，探究运动后的图形与原图形的对应点坐标的关系，为后续函数图象的学习做好铺垫.教师应带着教什么、为什么教、如何教的问题，研读文本、研究图文内容编写的背景与意图.本节课教学内容中的例3及“讨论”体现了《标准》中关于“坐标与图形运动”的有关要求，有利于感悟数形的联系，在平面直角坐标系的背景下深化对图形对称性的认识.平面直角坐标系是发展学生空间观念的重要载体，教学设计应该重视利用教材提供的素材，深入挖掘其教学价值，并适度开发和利用其他教学资源，引导学生感悟坐标思想、发展空间观念.

2.为何而教是探究活动设计的切入点

为什么教是数学课堂教学的基本问题之一，理清教学内容的来龙去脉及本质尤为重要.从内容编排上来看，学习了平面直角坐标系中关于点的坐标后，必然会跟进研究相关点之间的位置与数量关系，为后续研究函数图象做铺垫.从应用方面来看，平面直角坐标系在生产、生活、数学研究等领域有着广泛的应用，学习很有必要.从数学内部功能方面来看，平面直角坐标系是点与数轴关系的延续和发展，它架起了数与形之间的桥梁，使我们在代数问题和几何问题之间建立起联系，互通解决.我国著名数学家华罗庚曾说过：数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.可见数与形的关系密切，在一定的条件下，数与形可以相互转化、相互渗透，进而使复杂的数学问题简单化，抽象的数学问题具体化.课例1在情境创设环节设置多个练习，意在引导学生回顾点的位置与数量的关系，充分体现数形结合的思想方法，感受点的位置与点的数量可以相互转化，以此引出本节课的学习内容：特殊点的位置与特殊点的数量.这样的切入既说明探究的必要性，又指明探究的内容与方法，探究活动自然生成.

3.学情分析是探究活动设计的生长点

前苏联心理学家维果茨基认为，学生的发展水平包含学生现有发展水平和“最近发展区”，前者是出发点，后者是定向点.教学的设计应当充分发挥学生现有认知水平，在学生的“最近发展区”内帮助学生内化认知结构，促成学生的“最近发展区”向现实水平转化.在实际教学中，学生很难形成系统性、结构性的知识体系，部分学生会用零散的知识分析、解决问题，很多学生不知道如何实施探究，很难形成有效的认知策略，思维训练与提升则更无从谈起.教师要考虑学生知道了什么，希望学生探究的问题与学生的现实水平有多大距离，应该设计哪些问题或活动引发学生深入探究、生长知识.例如，在教学例3与“讨论”时追问在平面直角坐标系中点(3 ，-1)与点(2 ，1) 的位置与数量关系，以此引导学生在画图操作中感受图形位置变化与数量变化的关系，观察思考图形平移、翻折变化下的数量关系，掌握探究图形平移、对称的一般方法，逐步理解沿坐标轴方向进行两次平移的变化规律及沿坐标轴两次对称的变化规律，抓住数学知识的生长点、延伸点，生长数学能力.因此，探究活动的设计要基于学生的最近发展区，根据数学知识的特征与联系，优化设计数学活动，搭建思维的脚手架，以问题引领学生探究并获得新知，使数学知识的生长自然、优质.

4.揭示本质是探究活动设计的落脚点

新加坡数学教育家李秉彝先生说过，数学教育必须做到“上通数学，下达课堂”.所谓上通数学就是理解数学知识的内涵，揭示数学本质.平面直角坐标系的本质在于用“数”所满足的方程来表示点的运动轨迹，即数形结合的思想.基于本质的理解，数学探究活动的设计若有的放矢，学生必然学有所获.揭示数学本质是数学探究活动的落脚点，也是数学课堂教学的落脚点.因此，在常态课、公开课、研讨课，甚至是优课赛的教学设计中，都应该重视挖掘教学内容的教学价值，通过建构数学知识之间的联结、精心设计探究活动等途径，透过现象揭示数学本质，使学生在浓郁的数学味中，享受课堂、生长能力.