运用二次函数解析式求解三角函数最值问题

陈秀明 （江苏金山中等专业学校）

三角函数的值域（最值）问题是一个比较复杂的问题，求法多种多样，又有很强的技巧性，它往往与二次函数解析式、二次函数函数图象、二次函数函数的性质（定义域）等知识联系在一起。那么如何通过对二次函数在三角函数中的应用进而提升学生对知识的综合和揉合能力成为我们追求的目标。

三角函数的值域、最值问题是常见考点之一，我们最常用的方法是借助三角函数的公式进行变换或代数换元，然后转化为一个二次函数求值域或最值。下面从几种常见的利用二次函数求三角函数值域的几种题型出发，来分析探讨这类题目的简便解法。

这类问题的基本特征是表达式里含有不同名的三角形式，但又无法运用三角恒等变换将其转化为三角函数的一般形式f(x)=Asin(ωx+ψ)。这时候需要二次函数作为连接的桥梁，可以通过换元的方式将原函数看成一个二次函数的复合函数，以三角函数作为内函数，再以多项式函数或其他基本初等函数作为外函数的形式。这里最常见的就是以三角函数作为内函数，以二次函数作为一个外函数的复合函数的模型。

一、二次函数解析式换元在三角函数中应用的实例展示

“三角函数”转化为“二次函数”此类型分为两种：下面分别用两个例子来展示。

例 1：已知函数，f(x)=7cos2x+sin2x-4cosx，f(x)的值域。

分析：此类题目可以转化为f(x)=7cos2x+bcosx+c型的三角函数的最值问题。

因为cosx∈[-1,1]

所以cosx=-1时，f(x)取得最大值

这种三角函数与二次函数结合的复合函数的基本特征是解析式化为同角式三角函数，就比较容易识别，一般的解题步骤可总结如下：

（1）将原来的三角函数解析式化为一个二次函数的形式，统一化为相同角的同一三角函数名的形式；

（2）就是换元，外函数表示为二次函数或其他简单的初等函数，而内函数就是一个相对简单的三角函数；

（3）最后利用二次函数的最值问题及sinx，及cosx的取值范围进行解题。

但解析此类题目时应特别注意的是对“內函数”范围的限制非常关键，常见的像-1≤sinx≤1，-1≤cosx≤1，如果忽视这个问题就得到错误的答案。

一种为另一种是令t=sinx+cosx的形式

例 2：求函数 y=（sinx+2）（cosx+2）的值域。

解：由 y=（sinx+2）（cosx+2）展开得

y=sinxcosx+2sinx+2cosx+4

此题利用的是（sinx+cosx）2=sinx2+2cosxsinx+cosx2，又与sinx2+cosx2=1之间存在互相转化的公式，将不同名的三角函数名化为用同一个常数来进行替代后，我们发现本题就化为是闭区间上的二次函数求最值的问题，将繁琐的三角函数类的题目转化为一个我们比较熟悉的二次函数类的题目，符合化繁为简的规律。

二、二次函数在三角函数中应用的注意点和学生产生的问题

通过三角函数的教学实践，发现学生对数学问题的处理一般都是单方面的，应注重提高学生的三角函数换元方面的能力，一定要注意的是t的范围，这也是学生很容易忽略的问题，通过教学实际，发现学生在“基础性转化”即只有一个知识点的转化问题上有着比较高的能力，而知识点之间的转化却有一定的困难。

三、二次函数解析式换元在三角函数中应用的解决办法及能力提升

要从知识整体性的高度上提点学生，认识三角函数背后所阐述的数学本质问题，从而加强学生猜想转换的综合能力。对上面问题研究,着重要培养学生从知识融合的高度开始，数学最基本的教学在于概念教学和基本知识、基本能力的教学，在此基础上的问题正是引导学生对数学知识间合并的思考。通过这方面题目的训练对职高起步阶段的学生进行思维的推动和兴趣的提高。