基于振动法的拉索抗弯刚度及拉力实用估算公式研究

李 峰

(河北省交通规划设计院，河北 石家庄 050000)

0 引 言

索结构因其具有轻巧、美观和大跨等优点，被越来越多的工程采用，如交通工程中的下承式拱桥、悬索桥、斜拉桥，以及建筑工程中的张拉屋顶、塔桅等大跨结构。由于索结构的内力和变形状态对拉力的变化较为敏感，因此快速准确地获得拉索拉力及抗弯刚度是结构施工、健康监测及结构状态评估中的一项重要内容。

目前，行业内通常采用千斤顶压力表法、压力传感器法、磁通量法、振动法等方法测定拉索的拉力，其中振动法最为常用[1-6]。在工程实践中，由于拉索内部结构多样，难以确定拉索内钢丝的相互作用以及拉力对拉索抗弯刚度的影响，从而不能得到拉索准确的抗弯刚度值。因此，振动法中频率与拉力的换算公式或者不考虑拉索抗弯刚度的影响，或者估算一个抗弯刚度值进行计算，导致计算结果可能存在较大误差[7]。笔者采用曲线拟合方法得到拉索的近似频率方程，进而推导基于推动法的简单实用的拉索抗弯刚度及拉力的实用估算公式，以解决振动法中拉索抗弯刚度的取值问题，提高拉力的识别精度。

1 基本控制方程

笔者主要推导的是适用于中、短索的拉力计算公式。当考虑抗弯刚度但忽略垂度影响时，拉索可等效为轴拉梁，索的面内横向运动方程如式(1)[8]：

(1)

式中：EI为索的抗弯刚度，N·m2；T为索的拉力，N；m为索的单位长度的质量，kg/m；v为t时刻由振动引起的面内竖向挠度，m。

分离变量后，得到振型的一般表达式(2)：

v(x)=A1sinh(βx)+A2cosh(βx)+A3sin(αx)+A4cos(αx)

(2)

令：

α2=(ζ4+γ4)1/2-ζ2,β2=(ζ4+γ4)1/2+ζ2,

式中：A1～A4为常数，决定拉索的振动形状；α、β、γ、ζ为无量纲参数；ω为自振圆频率。

1)当拉索两端铰支时，可解得自振圆频率如式(3)：

(3)

2)当两端固定时，拉索的自振方程(4)为：

2(αl)(βl)[1 - cos(αl)cosh(βl)] +

[(βl)2- (αl)2]sin(αl)sinh(βl)=0

(4)

(5)

方程(4)为超越方程，可通过引入无量纲参数ξ、ηn间接求解[9]：

(6)

(7)

将ξ、ηn代入方程(5)，得到式(8)：

(8)

将式(8)代入方程(4)，可得方程(9)[5]：

2nπηn[1 - cos(αl)cosh(βl)] +

ξsin(αl)sinh(βl)=0

(9)

当ξ变小时，方程(9)的解ηn迅速增大，很难得到精确解。因此引入另一无量纲参数φn：

(10)

(11)

引入φn后，可将式(8)化为式(12)：

(12)

将方程(9)转换成方程(13)[9]：

ξ2sin(αl)sinh(βl)=0

(13)

方程(9)与方程(13)为超越方程，可通过给定ξ，利用迭代法如Newton-Raphson法进行求解。

2 近似公式

2.1 ξ值较小的情况

由能量法推导两端固定受拉梁频率方程[10]：

(14)

在0<ξ≤15的范围内，采用最小二乘法利用方程(14)对方程(13)的计算结果进行拟合，得到an、bn值，见表1。

将方程(13)描述的φn-ξ曲线(0 <ξ≤15)与方程(14)求得的近似解绘在图1中。可以看出，在前4阶振型中，两者吻合良好。近似解的误差见表2，可见最大误差为0.85%。

图1 φn的精确解和近似解Fig. 1 Exact and approximate solutions of φn

表2 φn近似解的误差Table 2 Error of approximate solution of φn%

2.2 ξ较大的情况

由图2可知，随着ξ的增大，拉索的抗弯刚度对自振频率的影响逐渐减弱并趋于0，即拉索的自振频率趋于弦的自振频率。考虑到拉索的拉力和抗弯刚度对自振频率的影响，以及拉索的拉力与抗弯刚度相互作用对自振频率的影响，假设拉索自振频率表达式，如式(15)：

(15)

式(15)右边第1项为弦频率，第2项为抗弯刚度对频率的影响，第3项为拉力与抗弯刚度的共同作用对频率的影响。

同样，在15 <ξ≤300的范围内，采用最小二乘法利用式(15)对方程(9)的计算结果进行拟合，得到初始拟合an、bn值，见表3。

表3 初始拟合结果(15 < ξ ≤300)Table 3 Results of initial fitting(15 < ξ ≤300)

为方便由方程(15)反求抗弯刚度和拉力，令an= 6.344 1(n=1～4)，重新以方程(9)描述的ηn-ξ曲线为基准进行拟合，得到最终拟合an、bn值，见表4。

表4 最终拟合结果(15 < ξ ≤ 300)Table 4 Results of final fitting(15 < ξ ≤ 300)

将式(15)描述的ηn-ξ曲线及方程(9)描述的理论解的曲线绘在图2中(15 <ξ≤300)，可以看出，在前4阶位形中，两者吻合良好；最大误差为0.96%，见表5。

图2 ηn的精确解和近似解Fig. 2 Exact and approximate solution of ηn

由图2可见：随着ξ的减小，误差迅速增大。因此在ξ较小的情况下，必须准确确定拉索抗弯刚度，才能保证频率法测拉力的精度；随着ξ的增大，考虑抗弯刚度的索频率逐渐逼近弦理论计算结果，当ξ>210时，抗弯刚度对索的自振基频影响较小，仅为0.97%。综合考虑工程应用中的方便实用性，当ξ>210时，可按不考虑抗弯刚度影响的弦理论计算。

表5 ηn近似解的误差Table 5 Error of approximate solution of ηn %

3 实用估算公式的提出

将ω=2πf代入方程(14)、方程(15)，联立第1阶与第n(n=2～4)阶自振频率方程，反推出由频率估算抗弯刚度和拉力的实用公式。

1)当0≤ξ<15时

(16)

(17)

式中：常数an、bn按表1取值。

2)当15 ≤ξ<210时

(18)

(19)

3)当ξ≥210时

(20)

4 实用估算公式的验证

应用笔者提出的实用估算公式(16)～(20)时，应先根据拉索长度、设计拉力及抗弯刚度范围计算出ξ，然后带入相应公式计算抗弯刚度及拉力，最后由算得的抗弯刚度及拉力重新计算ξ，以验证公式的正确性。

4.1 H.ZUI的计算公式

H.ZUI[9]利用方程(9)、方程(13)的近似解，建立了考虑抗弯刚度影响的拉力T计算公式(21)～(23)，这些公式的应用前提是须知道拉索抗弯刚度：

(ξ≥17)

(21)

(6≤ξ<17)

(22)

(0≤ξ<6)

(23)

4.2 弦理论公式

吴康雄[2]推导了不考虑抗弯刚度的拉力计算公式，即弦理论公式：

(24)

4.3 验 证

分别用笔者提出的实用估算公式(16)～(20)、H. ZUI提出的计算公式(21)～(23)及弦理论公式(24)进行拉力计算，并将计算结果与有限元模拟结果进行对比。其中：H. ZUI的计算公式(21)～(23)需带入拉索实际抗弯刚度，笔者提出的实用估算公式(16)～(20)可直接由频率估算出抗弯刚度和拉力。

检验用的拉索参数见表6；拉力计算值T、拉力误差δT，及抗弯刚度计算值EI、抗弯刚度误差δEI的识别结果见表7。

表6 拉索的物理参数Table 6 Physical parameters of cables

表7 3种计算公式的计算结果及计算误差Table 7 Calculating results and errors of three kinds of calculating formulas

由表7可看出：

1)在拉力识别方面，由于弦理论公式(24)不考虑抗弯刚度，因此，在ξ较小的情况下将带来不可接受的误差。

2)采用笔者提出的实用估算公式(16)～(20)，当ξ=10时，拉力误差δT最大，δT=1.31%；当ξ>15时，拉力误差δT<0.5%，与H.ZUI公式(21)～(23)的结果很接近，拉力误差δT均在 ± 2%以内。

3)在抗弯刚度识别方面，笔者提出的实用估算公式(16)～(20)，抗弯刚度误差δEI≯±2%，说明采用实用估算公式计算拉索拉力及抗弯刚度十分有效，精度较高，计算结果满足工程实践要求。

5 结 论

1)通过考虑拉索的拉力及抗弯刚度对拉索自振频率的影响，假设固支边界条件下受拉吊杆频率的表达式形式，采用曲线拟合的方法对两端固支吊杆的前4阶特征方程进行了较高精度的拟合，得到了拉索低阶频率的近似解。

2)基于自振频率表达式，提出了由2阶频率计算拉索抗弯刚度和拉力的实用估算公式，解决了频率法测拉力时难以识别抗弯刚度的问题。

3)与现有公式计算结果对比，提出的实用估算公式计算结果准确可信、精度较高，且公式形式简单、应用方便。