学生统计认知错误分析*

□孙 露

一、问题提出

随着“统计与概率”成为义务教育阶段数学课程四大内容之一，基于概率背景的学生错误认知研究也陆续展开，但有关统计方面的研究却相对较少。统计作为“一种独立且基本的思考方法”[1]，在内容与特点上均与数学存在较大的差异。国外早在20世纪70年代，“心理学家和数学教育家都将对概率和统计的错误认知和推理作为研究的焦点”。[2]现在我国学生的统计学习怎样？在数据分析过程中是否存在错误认知？这些都是统计教学中亟待思考与探索的问题。因而，有必要对学生统计学习中的错误认知及其原因进行了解与探源，寻求有效的预防与纠正策略，这对促进学生数据分析观念的形成与发展具有一定的现实意义。

二、研究方法

参考并使用Jones等人[3]构建儿童统计思维框架以及Nisbet等人[4]对于儿童数据表示和组织研究的部分测试方法，对江苏、安徽两省9所小学的1541名一至六年级学生进行了问卷调查（具体测试题见文末）。通过设计相关的测试题了解学生在数据分析过程中对数据描述、组织、简化、表示以及分析与解释时产生错误认知的原因。同时在问卷调查的基础上通过交谈了解学生的真实想法。

三、研究结果

（一）读取显示时表现出标题意识的不足与缺乏

问卷中题1（1）考查学生有关统计图字面信息读取的能力。分析学生的回答发现，大部分学生在读取显示（例如表格、图表等）时更多地聚焦于坐标轴的标签约定与具体数值，而对于标题约定则存在忽视或读取不全等问题。具体表现为读取信息时仅对坐标轴的标签信息——星期几，以及所对应的具体数值、标题中有关人数等“是什么”的部分信息——有所关注，而对于标题中其他信息，如人物、时间、事件等均未引起注意。这反映出学生在读取统计图信息时对标题约定中所提供的多种信息存在忽视或认识不足的现象。

表1中统计了各年级具有这一错误认知的学生人数及其百分比。数据表明，读取显示时对于标题约定意识的缺乏是小学阶段最为常见的错误认知。虽然随着年级的升高，这一错误认知的出现率呈下降的趋势，但各年级均有超过90%的学生对标题信息没有关注或关注较少，且在本研究所调查的一、二年级被测试学生中，无一位学生在读取信息时具有完整的标题意识。

表1各年级读取显示时缺乏标题意识的学生数

通过对学生的访谈进一步发现，具有此种错误认知的学生常表现出两种观点：一是在读取信息时完全没有认识到标题的重要性；二是在读取信息时会对标题有所关注，但认为其并不太重要，且持第二种观点的人数较多。

（二）分类和表示数据时存在信息遗失

问卷题2（1）主要考查学生对分类数据进行分组和表示的能力。分析学生的回答发现，许多学生能够找到正确的分类标准，并以此标准对数据进行分组与整理，但从其整理后的表示来看，学生仅是概括出了每个类别的具体数量，而将具体的信息（诸如学生的姓名）或是分类标准信息遗失了，具体见表2。

表2 各年级分类和表示数据过程中遗漏信息的学生数

经过交流发现，学生并没有意识到自己在分类和表示数据时遗失掉了某些信息。询问为什么没有给出具体学生名字时，他们均表示名字信息不重要，因为最终的目标是要知道使用每一种交通工具的人数。可见，存在遗漏信息错误认知类型的学生在对数据分类和表示时更多聚焦于分类后各类别的数目总和，而忽视了数字背后的其他信息。这反映出学生对于数据认识的不全面，没有清晰地理解数据与数字之间的关系——“数据是由数字组成，但它不仅是单纯的数字而已。数据是有内容的数字”[5]。

（三）数据比较时对于0数值的忽视

问卷题1（3）主要考查学生对于统计图中多个数据的比较能力。教师梳理学生的回答发现，部分学生能够给出正确的最大值，但在对最小值比较时却出现了错误，即给出“周六来的人最多，周日来的人最少”这一回答，忽略了周二只有0个到访者的事实。

表3表明，在数据比较过程中忽视0数值的错误认知是小学阶段普遍存在的问题之一。

表3各年级数据比较时忽视0数值的学生数

通过访谈发现，学生出现此种错误认知有两个主要原因：一是由于统计图字面信息读取能力的不足导致；二是由于缺乏一定的数学表达转换能力所引起。通过下面研究者对学生A和学生B的访谈，可以较为清楚地展现出引发学生错误认知产生的这两种原因。

I（研究者）：第（3）题中，你们为什么说周日来的人最少啊？

A（学生）：因为我是通过比大小来看的，但是我不知道周二到底是没有来人，还是她忘记写了。

B（学生）：因为周二没有人来，所以周日来的人是最少的。

由此可知，读取显示能力的不足是导致学生A形成错误认知的重要原因。学生B则给出了第二种错误原因的典型回答。可见，持有此种错误认知的学生能够清楚地认识到周二没有一个小朋友来小明家这一事实，但是在比较大小时则认为没有人来是不属于所排序的范围之内的。这可能是学生对题中“来”字的含义认识不清，也可能是学生在理解题意时对于文字与数学表达相互转换能力不足。

（四）组织、推断数据时表现出平均数统计方面概念性理解有误

问卷题1（5）、1（6）和1（7）主要考查学生组织数据时对平均数概念的理解、计算以及基于平均数思想进行数据推断的能力。第一学段学生没有正式接触过平均数这一统计量，因而在试题表述时使用了“大约”一词进行替换。学生的回答表明，较多的小学生对平均数统计方面的概念性理解不当，主要表现为错误地将反映平均数概念含义的“大约”一词与数学中的近似概念相混淆。例如，学生纷纷基于第一周的客人数目使用相近、约等于、四舍五入的算法对每周来玩的小朋友数进行了预测。由于学生所使用的人教版和苏教版教材对平均数的教学均安排在四年级，对四至六年级学生的回答分析发现，有部分学生表现出对平均数算法概念与统计意义两方面理解上的不匹配特征。具体表现为在题1（5）中能够使用平均数的计算公式或是算法概念给出正确解答，但在解决题1（6）时却出现了将其与近似、估算概念相混淆的错误认知。可见，学生对于平均数概念的理解更多地处于算法的程序性和概念性理解，而对于统计方面的概念性理解仍表现出一定的不足。

表4各年级平均数统计方面概念性理解有误的学生数

表4表明，四年级样本学生在测试时均已完成了平均数概念的学习，却仍有四分之一左右的学生表现出将其与近似概念相混淆的错误认知反应，但四年级之后这一错误认知百分比呈现出较快的下降趋势。可见，对于已学过平均数概念的第二学段学生如何理解平均数及其理解趋势等问题值得今后进一步思考与探寻。

学生C的回答清晰地呈现出具有此错误认知学生的一些真实想法。

I（研究者）：在第（6）题中，你给出了每周大约有20个小朋友的答案，并且在理由中给出了“每周有19个人来，就比20少1人”，你是怎么想的呢？

C（学生）：嗯，因为前面算出来是19人，所以我选了19边上的20。

I（研究者）：那你为什么没有预测是18个呢？

C（学生）：因为18不是一个整（10的）数，20是一个整（10的）数。大约不就是取整吗？

四、研究结论与建议

通过对学生书面回答的质性分析，本研究观察到学生在数据分析过程中所表现出的一些共性的错误认知。具体包括：（1）读取显示时表现出标题意识的不足与缺乏；（2）数据比较时对于0数值的忽视；（3）数据推断时聚焦于数据间的信息读取；（4）分类和表示数据时存在信息的遗失；（5）组织、推断数据时表现出平均数统计方面的概念性理解有误。其中前3个错误认知的平均出现率均超过了30%。

通过对5个错误认知分析发现，其中前3个错误认知都与读取显示这一要素相关。具体来说，第（1）个错误认知在小学阶段出现率最高，超过95%的学生表现出对统计图中标题信息的认识不完整，而第（2）（3）两个错误认知则与含有0数量的统计图信息读取有关。这说明有关读取显示的知识是影响学生数据分析水平的一个重要因素，同时也体现出在含有0数量统计图的情境下，学生在“数据之间阅读”和“超出数据阅读”两个层面均存在一定的困扰。可见，读取显示水平的高低会对数据的比较和推断等较为复杂的分析活动具有一定的影响。因而在课程教学时需要充分对其基础性进行考虑，全方位地设计有关读取显示的系列活动。

标题作为统计图的基本构成要素，不仅“简明扼要地说明全图的基本内容”[8]，而且还包括了统计数据的时间、地点以及具体的内容，具有“协助读者从记忆中获取有关熟悉的信息以帮助对统计图的理解”[9]。然而本研究发现，读取显示时缺乏对标题信息的完整读取是小学阶段最为常见的错误，且学生和教师的访谈与观察信息均体现出他们对于此内容的不重视，同时对教材的梳理也发现教材在编写上同样也缺乏一定的标题意识，例如人教版“条形统计图”一章中就有一半以上的统计图没有呈现标题。因此，为了促使师生能够更好地认识到标题信息的重要性，可以在《课程标准》的实施建议中结合具体实例强调标题中蕴含重要的时间、地点以及事件的关键信息，同时在教材编写时可以对原本没有标注标题的统计图设计诸如“你能给这个统计图加一个合适的标题吗”这样的习题，帮助学生更全面地认识到标题的作用。另外，还应加强对标题等图形约定规范的教学，通过追问、学生互评等多种方式促使学生在阅读时能主动地将数据与其中所包含的情境“综合”起来，引导学生思考他人的描述是否完整，通过学生相互间的提示与补充，帮助学生在倾听、评价与交流中加深对标题等图形约定规范的认识与理解。

学生在数据读取、比较与推断中对于0数量的忽视是本研究以及Jones等人研究中所观察到的一个共同的错误认知。通过对人教版和苏教版教材的梳理发现，两版教材中均没有提供相应的材料。因而，在课程设计时需要持续性地将其融入在统计图的学习之中，为学生提供含有0数量统计图信息读取的学习机会。例如，可以设计含有0数量的象形统计图、条形统计图、折线统计图等引导学生对其进行信息读取，也可以设计一些调查结果可能是0数量的统计任务，鼓励学生对结果进行表示与分析，更深入地体会到0数量的存在。

《学校数学的原则和标准》（NCTM，2000）中将根据数据发展和评估推理与预测作为幼儿园到高中“数据分析与概率”教学的主要目标之一。[10]可见，作为数据分析过程中最为复杂的数据分析与解释，不仅需要学生对数据进行比较和整合，更需要他们能通过对数据的阅读获得对其整体模式的认识，并基于此对数据做出推断或预测。学生的错误认知反映出，低学段学生在数据推断时更多地聚焦于数据和数据间信息的读取，究其原因，这可能与学生所使用的人教版、苏教版教材较少提供此类问题的学习机会有关。因而，在课程设计时可以考虑将对简单的数据推断内容提前至二年级，并将其放置在有关数据描述问题“统计图告诉了哪些信息”之后，引导学生在对数据字面信息读取的基础上，思考并讨论“统计图没有告诉我们哪些信息”，帮助学生逐步学会依据所获取的数据做出合理的推断。