《红楼梦》中数学思想的研究

施政

[摘           要]  《红楼梦》作为中国历史上最伟大的一部文学作品，无论是艺术上还是思想上都达到了前所未有的高度，里面涉及的数学问题并不多，但仍然可以通过分析文中仅有的几个数学问题，了解曹雪芹所具有的数学思想。

[关    键   词]  红楼梦;数学问题;数学思想

[中图分类号]  I207.411                    [文献标志码]  A                      [文章编号]  2096-0603（2019）05-0084-03

一、引言

曹雪芹寫《红楼梦》，借用这部作品描述自身的经历以及家族由兴盛到衰落的过程，书中处处充满了他的创作热情，但却又是有条有理的创造和叙述。《红楼梦》的创作过程犹如设计一个复杂的数学模型，作品的构思与结构、人物的设计、情节的安排、生活与事件的交错，主副线的发展，近千个人物陆续登场，还有数量庞大的具有极高艺术水准的诗词，相信没有一个庞大而严谨的预先设想与架构，是不可能完成这样一部鸿篇巨作的。

二、《红楼梦》中数学思想的研究

（一）马道婆算香油账

马道婆听如此说，便笑道：“……再还有几家也有五斤的，三斤的，一斤的，都不拘数”。……贾母听了，点头思忖。……也不当家花花的，要舍，大则七斤，小则五斤，也就是了。贾母说：“既是这样说，你便一日五斤合准了，每月打趸来关了去。”（《红楼梦》第二十五回）

贾宝玉每天五斤香油，一个月按三十天计算，按当时物价一斤香油价为一点二串钱，一个月合一百八十串钱，一串钱一般是二十文钱，而一两银子相当于一千文钱左右，一个月约三两六的银子，一年约四十三两二钱，一年供奉的香油钱购买力，大约相当于现在的四万三千二百元。看上去好像四万多元并不是很多，但仔细想想，仅仅一年供奉的香油钱就那么多，再去估算贾府一年的总开销，其奢华程度可见一斑。马道婆算香油账，也就是曹雪芹算香油账，显然，曹雪芹在写作这段文字时，也“点头思忖”：出多少斤香油比较合理，既合乎贾府的身份，又不至于引起非议。

（二）刘姥姥算螃蟹账

刘姥姥：“……这么三大篓，想是有七八十斤呢。……这样螃蟹，今年就值五分一斤。十斤五钱，五五二两五，三五一十五，再搭上酒菜，一共倒有二十多两银子。阿弥陀佛！这一顿的钱够我们庄家人过一年了。”（《红楼梦》第三十九回）

显然这是一道有趣的数学题，分析文中解法：将八十斤看成五十斤加做三十斤，“五分一斤。十斤五钱”这句话不难理解，“五五二两五”指五分银子乘以五十斤蟹，得二两五银子，“三五一十五”是指剩下的三十斤螃蟹，得“一十五”分银子。“五五二两五”不能说成“五乘以五十等于二百五十”，同样“一十五”不能认定为“一十五两银子”，是口算时“节略语的”习惯性表达方式。二两五加一两五等于四两，算得螃蟹价为四两银子，外加“酒菜”，合计出“二十多两银子”也符合常理。由此可见，刘姥姥不但会“乘法口诀”，更会简便计算，是一位算账的好手、能手。

（三）同日生日

探春笑道：“倒有些意思，一年十二个月，月月有几个生日。人多了，便这等巧，也有三个一日，两个一日的。……宝玉笑指袭人道：“他和林妹妹是一日，所以他记的。”（《红楼梦》第六十二回）

文中所描述的生日同日，是一个典型的概率问题，绝不是探春说的巧合，而是有着严谨的数学背景。

徐恭时（1916—1998）统计出《红楼梦》全书写了九百七十五人。假设只以宁荣两府本支，计五十八人为例，一年取三百六十五天，计算出至少有两人同一天生日的概率为：

显然这是一个非常高的概率，从概率角度，这是一个必然事件。由此推断，《红楼梦》中与同日生日相关情节的描述，并不是曹雪芹信口开河，而是源自于曹雪芹对现实生活的观察，所以说曹雪芹还是具有一些概率方面的常识，具有朴素的概率思想。

（四）群芳掷骰子

晴雯拿了一个竹雕的签筒来，……摇了一摇，……揭开一看，里面是五点，数至宝钗，……宝钗又掷了一个十六点，数到探春，……湘云拿着她的手，强掷了个十九点出来，……黛玉一掷，是个十八点，便该湘云掣。……湘云便绰起骰子来，一掷个九点，数去该麝月。……麝月一掷个十九点，该香菱。……香菱便又掷了个六点，该黛玉掣。……便掷了个二十点，该着袭人。（《红楼梦》第六十三回）

在掷骰子游戏中，晴雯、宝钗、探春、黛玉、湘云、麝月、香菱分别掷5、16、19、18、9、19、6点，最后黛玉又掷一次为20点。

掷骰子游戏中，使用4枚筛子，每枚骰子点数为1～6点，4枚骰子最小可掷出4点，最大可掷出24点，掷出所有可能点数和对应概率如表1所示：

从表1可以看出，点数的范围从4到24点，并且不同点数出现的概率也不尽相同，4点和24点出现的概率最低为1/1296，点数14出现的概率最高为，表1中概率的计算方法，以14点数为例，四个骰子点数之和为14，共有12种情况：

四个骰子可能出现的点数所有情况为：

6×6×6×6=1296

因此，点数为14的概率为：

其他各种点数的概率情况，都可以仿照上面的方法计算得到。

依据上列表给出的数据，可以统计出群芳所掷点数的概率，如表3所示：

从表1中可以看出，掷四枚骰子出现的所有点数中，4点和24点出现的概率最低为，14点出现的概率最高为146/1296，从群芳所掷出点数看，概率最高的13、14、15三种点数都没有出现，而出现概率低的5点和6点竟然都出现了，同样19点出现的概率也很低，不仅出现了，且出现了两次，可以计算出在8次投掷中，出现两次19点的概率，计算公式如下：

从计算结果可以看出，小概率事件出现了，显然是不合常理。书中之所以这样写，应该是曹雪芹缺乏掷骰子的常识，或者说曹雪芹在写作这段时没有仔细思考过，骰子出现各种点数所对应的可能性。

（五）《红楼梦》中人物年龄之谜

1.贾母年龄

刘姥姥二进贾府时七十五岁，贾母道：“比我大好几岁呢！”（第三十九回），只过了两年，却说：“今岁八月初三日乃贾母八旬之庆”（第七十一回）。贾母：“我从进了这门子做重孙媳妇起，到如今我也有了重孙子媳妇了，连头带尾五十四年……”。贾母过八十大寿，红楼十三年应是七十八岁，而第四十七回，即同一年，贾母言明自己进贾府连头带尾五十四年，可见贾母出嫁年龄为二十四岁。《钦定大清通礼》关于适婚年龄规定：“男年十六以上，女年十四以上。”《清稗类钞》《清史稿·列女传》记录的女性平均婚龄为是十七点七岁。贾母作为十分讲究封建礼制的贵族世家千金小姐，直到二十四岁才出嫁，有悖常理。

贾母的生辰日期也前后对不上号，探春：“一年十二个月，月月有几个生日，……过了灯节，就是老太太和宝姐姐，他们娘儿两个遇的巧。三月初一日是太太。”（第六十二回），可是到了第七十二回，老太太的生日突然变成了中秋前的八月初三。

2.王夫人年龄

宝玉过完生日，因做事有失检点遭到其父一顿毒打，王夫人哭诉道：“我如今已将五十岁的人，只有这个孽障。”（第三十三回），可推知王夫人生宝玉时，已是三十七八岁。没过几年，“是年甲寅年十二月十八日立春，元妃薨日是十二月十九日，已交卯年寅月，存年四十三岁。”（第九十五回），这一情节距离元春去世不到四年，此时王夫人也只有五十挂零。难道王夫人在十一岁时就生下了元春？再倒推一年，王夫人不满十岁就嫁给了贾政？清时虽有童养媳现象，多因家贫，“农家不具六礼”。金陵王家的千金以这样的年龄婚孕，显然不太可能。

3.宝玉年龄

贾雨村和冷子兴谈宝玉时，子兴评价道：“说来又奇，如今长了七八岁，虽然淘气异常，但其聪明乖觉处，百个不及他一个。”（第二回），可见宝玉出场时应为七到八岁。贾宝玉梦游和初试云雨情，均为同一年，周绍良推断其时宝玉八岁。试想，一个八岁的孩子在做了一场春梦之后，竟然“大腿处”“只觉冰凉一片沾湿”，还“强袭人同领警幻所训云雨之事”（第六回），一个八岁的孩子身体发育显然达不到这样的程度。

4.晴雯年龄

宝玉年龄较黛玉大一岁，袭人年龄比宝玉大两岁。“大家算来，香菱、晴雯、宝钗三人皆与他同庚。”（第六十三回），可知四人同岁，因此，晴雯年长黛玉三岁。黛玉叹道：“……，细细算来，我母亲去世的早，又无姊妹兄弟，我长了今年十五岁，……”（第四十五回），可知，黛玉当时年方十五岁，亦可推知，晴雯年龄正值十八妙龄。宝玉……，将那诔文即挂于芙蓉枝上，乃泣涕念曰：“……，窃思女儿自临浊世，迄今凡十有六载。”（第七十八回），庚辰本批：“方十六岁而夭”，也就是说晴雯死时只有十六岁，那么十八岁和姐妹们谈笑风生的是谁？

其实，《红楼梦》中人物年龄前后矛盾，并非只是上述四人，比如：元春的前后年龄也存疑，这里只是选择几个具有代表性的人物进行讨论罢了。显然，曹雪芹在创作《红楼梦》时没有对人物中的年龄进行详细的构思，关于年龄的创作，随意性较大，导致文中出现多个人物年龄前后矛盾的地方。可见，曹雪芹对年龄的数字敏感度较低，缺乏直观性，数学素养不高。

（六）黛玉的逻辑思维

黛玉首先发问：“宝姐姐和你好你怎么样？宝姐姐不和你好你怎么样？宝姐姐前儿和你好，如今不和你好你怎么样？今儿和你好，后来不和你好你怎么样？你和她好她偏不和你好你怎么样？你不和她好她偏和你好你怎么样？”

宝玉思索半晌大笑道：“任凭弱水三千，我只取一瓢饮。”宝玉用“弱水三千”的典故来回答黛玉的发问，意思是说“世上美女虽多，而我心中只有你一个人”。（第九十一回）

“花谢花飞花满天，红消香断有谁怜？”“侬今葬花人笑痴，他年葬侬知是谁？”林黛玉容貌倾城倾国，诗才旷世，她的逻辑思维能力在《红楼梦》也有所体现。宝玉和黛玉似乎已经感觉到了贾府的主子们认为，宝钗是宝玉夫人的最佳人选，因此宝玉和黛玉陷入迷茫，相互猜测对方的想法。黛玉的最后两个问题：“你和她好她偏不和你好你怎么样？你不和她好她偏和你好你怎么样？”其实已经分别包括在“宝姐姐不和你好你怎么样”和“宝姐姐和你好怎么样”之中，因而不符合互斥性。宝玉如果回答了“宝姐姐不和你好你怎么样”和“宝姐姐和你好怎么样”，就没有必要重复回答黛玉问的“你和她好她偏不和你好你怎么样？你不和她好她偏和你好你怎么样？”这两个问题了。倒是“宝姐姐前儿不和你好，如今和以后和你好你怎么样？”“宝姐姐前儿和如今不和你好，但今后要和你好你怎么样？”这两个问题黛玉却没有问到，所以分类不具有穷尽性。如此看来，林妹妹的数学学习要加强了！

三、《红楼梦》中体现的数学思想

通过分析《红楼梦》中所包含的一系列问题，可以判断出曹雪芹并不具有系统的数学概念，但是具有一定的数学能力，而这种能力相信更多的是来源于对生活的观察、积累和感悟。比如：同日生日问题。如果曹雪芹没有对日常生活的观察，发现两人同日生日的可能性，相信一定不能够写出这样的语句出来：“倒有些意思，一年十二个月，月月有几个生日。人多了，便这等巧，也有三个一日，两个一日的。”即使放在现在社会，如果一个人没有学过概率，没有一定的数学修养，是不可能理解这样的判断。但是，在群芳掷骰子游戏中，关于点数的设计，曹雪芹定然没有遵循数学规律，给出的点数基本上都是出现概率很低的点数，本应出现概率高的点数反而没有出现，用概率语言来表述，就是小概率事件发生了，而大概率事件反而没有发生，可见曹雪芹关于这段情节的设计具有一定的随意性，从侧面也反映出曹雪芹关于这一方面数学常识的缺失。还有关于《红楼梦》中一些人物年龄出现前后文不一致的现象，也反映了曹雪芹在这一细节上考虑不够仔细，或者说曹雪芹的数学的直观感觉一般，相信如果是一位有数学背景的人来写《红楼梦》，最起码不会出现年龄前后不一致的错误。

四、结语

通过上述分析，其实很难给曹雪芹在数学方面的能力下一个确定性的结论。曹雪芹的数学认识主要来源于生活中实践，由于缺乏系统的数学训练，犯了一些跟数学相关的明显错误。其实无论是运用统计方法研究《红楼梦》，还是研究《红楼梦》中的数学问题及其数学思想，都是红学研究中沧海一粟，仅是另辟蹊径，以期窥得《红楼梦》之冰山一角，并不会成为红学研究的主流，百花争艳纵是好，一花独开也是春。

参考文献：

[1]俞平伯.红楼梦研究[M].上海：复旦大学出版社，2004.

[2]邱成桐.数学与文学的共鸣[J].名家（光明讲坛），2016（1）.

[3]吕步麟.《红楼梦》主要人物年龄考[J].运城学院学报，2004（6）：58-61.

[4]叶永胜.论宝玉的年龄[J].明清小说研究，2004（4）：88l-96.

[5]宋艳.《红楼梦》贾母年纪考证[J].桂林师范高等專科学校学报，2011（2）：68-70.

编辑 陈鲜艳