浅谈线性代数的教学改革

游弥漫

线性代数作为高校最重要的数学课程之一，是学生学习部分专业课程的基础，也是部分专业研究生入学考试的必考内容。根据笔者多年来高校数学课程的教学情况来看，学生对线性代数的学习兴趣要明显低于对高等数学、概率论与数理统计的学习兴趣。随着大数据、人工智能的发展，线性代数的应用范围也越来越广泛，美国著名教育家David C.Lay曾指出线性代数是最有价值的大学数学课程。课程的重要性与学生的学习兴趣不高形成了严重的冲突。为了提高线性代数课程的教学质量，贯彻素质教育思想，笔者结合过去的教学经历，提出以下线性代数教学改革的思考。

1 加强高水平教材的建设

教材的编写应该以问题为导向。传统的线性代数教材以前苏联教材为范本，虽然教材系统、严谨、系统化，但是并非以问题为导向。以矩阵的初等行变换为例，国内多数教材是先给出了矩阵初等行变换的概念、性质，最后才说明可以将矩阵的初等行变换应用于线性方程组的求解。而美国David Cherney教授编著的线性代数教材则是首先提出线性方程组的求解问题，使用高斯消元法解线性方程组，介绍高斯消元法与矩阵的初等行变换的对应关系，然后在此基础上给出初等行变换的概念和性质。在教学过程中发现多数学生更喜欢美国教材以问题为导向的编排顺序。以David Cherney教授编著的线性代数教材为例，内容的排序是：线性代数的介绍、线性方程组、向量空间、线性变换矩阵、行列式等，这与我国多数线性代数教材的顺序几乎是相反的。赵树嫄编著的《线性代数经济应用数学基础》，各章的顺序是：行列式、矩阵、线性方程组、矩阵的特征值、二次型与对称矩阵。我们并非强调该教材一定优于国内教材，但是目前鲜有国内高校采用类似的方式进行教学探索。

部分高校采用自己编写的新代数教材，虽然通过自编教材可以提高教师的教学水平，但是自编教材的质量，必然受到教师自身能力、水平的制约，其质量不一定好于现存的经典线性代数教材。甚至，部分出版社、教师为了经济利益采用了低质量的教材，因此对于自编教材的使用，需要进一步权衡利弊。

加强教材网络辅助内容的建设。目前鲜有教材在网上提供额外的练习题及解答、课件和辅助学习材料。以David Cherney教授编著的线性代数教材为例，不仅在网上提供教材的LATEX源代码，供学生免费下载、编译和打印，而且提供了相关的课件、课后习题答案及额外的线性代数实验内容。课件包括两个版本，教师授课使用的课件和学生自学使用的课件;实验内容采用基于Python编程语言软件包SageMath实现，因此实验课程所使用的软件也是开源、免费的。国内多数线性代数实验课程多使用商业软件MATLAB作为编程语言，软件授权费用很高。

2 激发学生的学习兴趣

考虑将数学模型思想引入教学中。数学模型是为了达到一种特殊目的，將部分现实世界数学化的模型。而数学建模而是将具体的问题转化为数学问题的过程，借助于数学建模，可以让纯粹的数学家转变成为物理学家、化学家等，因此，数学建模对于激发学习兴趣、强化所学知识有显著的促进作用，它直接回答了学生心中的疑问：学习数学有什么用？学习线性代数有什么用？线性代数在数学建模中的应用包括投入产出模型、人口迁移模型、基因间的距离等，通过这些模型，可以加强学生对多维线性空间、方程组解的结构等知识的理解。将数学建模思想引入线性代数教学，可以扩展学生的眼界，锻炼学生的数学思维，但同时也会增加生学生的学习负担，甚至干扰学生的学习。数学建模所采用的方法要和所学习的线性代数知识紧密结合，不能生搬硬套。

3 加强计算机技术在线性代数的教学中的应用

大多数线性代数教材从上世纪90年代沿用至今，没有和现代迅速发展的计算机技术相结合，使得学生所学的知识应用受限。进入21世纪以后，随着多媒体教学的兴起，很多高校举办了教师的信息化培训。和其它数学课程相比，线性代数相关的算法较为简单，但是机械重复的运算量较大，需要大量板书。借助于多媒体教学，一些机械、重复的计算可以用PPT方便地展示，减轻了线性代数教师的教学负担，提高了授课的效率和效果。借助于多媒体，在每一次课程结束的时候，我都给学生留下一个教材外的思考题，供学生选做。题目包括但不限于考研题、数学建模、数学竞赛题，甚至是企业的面试题，提高了学生学习的兴趣，同时也有助于实施分层教学。但是，由于多媒体地引入，使得教师板书减少，教师板书的过程也是学生思考的过程，这可能导致学生课堂思考的广度和深度降低，成为多媒体信息的被动接收者，不利于深度学习。整体而言，多媒体教学利远大于弊，显著提高了线性代数课程的授课效果。

目前大数据、商务智能和人工智能迅速发展，要想充分、有效利用这些海量数据，线性代数是最基础、最强有力的数学工具，因此高校教师也应该尝试将线性代数与人工智能的发展趋势相结合，使学生在学习线性代数的过程中能感受到学有所用，学有所成。部分高校在此方面已经做出了一些有效地尝试，例如，在2006年，西安电子科技大学理学院开展了“工科数学实验”选修课，在此课程中使用MATLAB软件解决具体地数学问题，尤其是线性代数问题。随着人工智能的发展，与其相关的开源编程语言Python、R也迅速发展，而传统的MATLAB发展相对迟缓。除了部分专业领域MATLAB仍然具有一定优势外，在大多数领域，Python和R都有相应软件包，其生态环境甚至优于MATLAB。更重要提MATLAB是商业软件，授权价格不菲，在强调知识产权保护的今天，使用开源软件可以显著减少高校的支出，并且让学生所学内容更尽可能地与国际接轨。教育部考试中心已经确定在2018年9月将“Python语言程序设计”纳入计算二级考试，部分高校也将会开展相关课程，在此背景下，将线性代数教学与Python语言教学相结合将是大势所趋。目前，美国部分高校进行了较早了尝试，例如，马里兰大学2013年已经开展了《Linear Algebra with Python》课程，国内高校可以借鉴其课程的教材内容、授课形式及考核方式。而R语言主要应用于统计分析，几乎成为学术界的标准编程语言，部分期刊还要求作者附加文章的相关代码，以验证实验的可重复性。将线性代数教学与R语言相结合更是可以提高学生的学术素养，为后续研究生阶段的学习打下坚实的基础。

线性代数教学改革是一个长期而且艰巨的任务，应该综合考虑改革的措施，不能顾此失彼。学校也应该把教学改革的自主权交给任课教师，并出台配套的激励措施，打消教师的后顾之忧，使教师有信心、有动力进行教学改革。教学改革可能会有失败，但教师仍应该进行大胆地尝试，不可因噎废食。

（作者单位：华北水利水电大学数学与统计学院）