基于数学核心素养的课堂教学设计策略

王强善

数学核心素养包括：数学抽象、数据分析、直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理。数学核心素养是学生学习多年后，把数学知识忘掉后，剩下的忘不掉的东西。荷兰数学教育家费赖登塔尔说：“学习数学的唯一正确方法在于再创造。”基于数学核心素养的课堂教学设计就是教师对数学的再创造，再创造的宗旨是对数学核心素养的艺术呈现。本文着重谈教师在基于数学核心素养进行的课堂教学设计上的再创造，即基于数学核心素养的课堂教学设计策略。

一、对基于数学核心素养的课堂教学设计的几个认识

1.课堂教学设计的重心：教学的重心就是设计的重心，教学设计是为教学服务的，教学设计是为了引领教学，不是为设计而设计。不论教学的重心还是设计的重心都在數学核心素养上。

2.课堂教学设计的灵魂：教学的价值取向就是教学设计的灵魂，也就是思考并解决：我们为什么而教，教的目标。在教学中是“为什么教”而决定着“教什么，怎么教”。

教学的价值，首先是教给学生知识，知识是基础。但有比知识更重要的东西，是核心素养（也称思想）。数学知识的掌握是暂时的，时间久了可能遗忘。数学核心素养的影响是持久的，跟随学生一生，核心素养是更高层次的知识，核心素养比知识更养人。教学必须从知识出发，但又必须追求核心素养，核心素养是能力的核心，只有核心素养才能把知识转化为能力。

数学有哪些能力？数学的五个基本能力：空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力。升华到一般能力：提出、分析和解决问题的能力，独立获取知识的能力。进而发展到更高层次的能力：应用意识和创新意识，内化为核心素养。

教学的主要任务是提升核心素养，培养能力，以及形成一般能力和更高层次的能力，学校教育、学科教学都是为了发展和完善人，这是教育教学的终极使命。于是课堂教学的价值取向发展形成了一个序列：知识→核心素养→基本能力→一般能力和更高层次的能力→人的发展和完善。

3.基于数学核心素养的数学课堂教学设计要有立意、有创意、有主题、有思想，教学设计高立意：对知识重新组装，对思想再提炼，为内化核心素养搭建平台，为培养能力寻找载体。

基于数学核心素养的数学课堂教学实施要低起点，教师要体现三大基本功：善于举例、善于提问、善于比较与优化，课堂教学设计与实施的艺术是使学生喜欢教师所教的东西，点燃学生的思维火花，激发学生的学习热情，变数学冰冷的美丽为火热的思考，让学生有喜欢的方向，并走下去。

二、基于数学核心素养的数学课堂教学设计策略

数学课型可分为概念课、公式定理课、方法训练课、试卷讲评课。各类课不同程度、不同侧重地蕴含着数学核心素养，需要教师在教学设计与实施中不同程度、不同侧重地凸显“数学抽象、数据分析、直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理”等数学核心素养。

（一） 凸显核心素养“数据分析”的教学设计策略

数学是与数据打交道的学科，数学要培养学生对数据、数字的敏感度。核心素养“数据分析”可以在概念课、公式定理课的教学设计中凸显，尤其是在设计“让学生自己发现公式、定理的场景”中凸显。

案例1-1：设计场景，让学生以“数据分析”为工具发现公式。

在“两角和与差的余弦”一课的教学中，在复习三角函数定义及有关知识后，提出一个问题，不查表求cos（-435°）的值。学生利用诱导公式不难得到cos（-435°）=cos75°，到了这一步后，学生束手无策，此时老师的引导至关重要，于是设计提出以下问题：

（1）75°能否写成两个特殊角的和或差的形式？（75°=45°+30°或75°=120°-45°）

（2）能否猜测75°、45°、30°余弦的一个关系式，它们成立吗？

（猜测cos75°=cos（45°+30°）= cos45°+cos30°或cos45°- cos30°或cos45°·cos30°，它们都不成立。）

（3）cos（45°+30°）与45°、30°的三角函数值有关系吗？到底有什么关系？ 一般地，cos（α+β）能否用单角α和β的三角函数来表示？这里的困难是75°的三角函数值还不会算，下面我们先研究α、β、α+β的三角函数值都会计算的情形。

（4）分别写出cos（60°+30°）、cos60°、sin60°、cos30°、sin30°的值，并把0用、、、表达出来；类似地写出cos（60°+60°）、cos60°、cos60°、sin60°、sin60°的值，并把-用、、、表达出来；类似地写出cos（120°-60°）、cos120°、sin120°、cos60°、sin60°的值，并把用-、、、表达出来。

由上可得，0=×-×即cos（60°+30°）=cos60°×cos30°-sin60°×sin30°。又=-×+×，即cos（120°-60°）=cos120°·cos60°+sin120°·sin60°

（5）把cos（α+β）用cosα、sinα、cosβ、sinβ表达出来，提出猜测（猜想cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβ）

至此，以“数据分析”为工具学生独立地发现了公式，学生不是被动地接受知识，而是通过对知识的主动探索，主动发现和主动建构的过程，内化了“数据分析”核心素养。课堂教学中展示老师想法的同时也要充分展示学生的所想、所思。这里把75°=45°+30°，换成90°=60°+30°，120°=60°+60°，60°=120°-60°的教学设计中角度的重新选择，就是为了铺平学生探索发现的道路。美国教育学家杜威说过：“教学决不仅仅是一种简单的告诉，教学应该是一种经历、一种体验、一种感悟。”教学的艺术不在于传授，而在于激励、唤醒和鼓励，这是教学的本质。这里的苦心设计就是要让学生自己把公式找出来。公式是学生在老师设计的条件下、设计的情景中发现的，不是老师讲出来的。夸美纽斯说过“要找到一种方法，教师可以少教，学生可以多学。”这里的教学教师讲得少，学生体验多，核心素养内化多。教学中即使是“假发现”，也好于单向灌输，发现的过程就是深刻理解、接近本质的过程。发现的场景、条件需要教师深入的钻研、挖掘。

案例1-2：利用数字拆分发现不等式，提升数字敏感度。

数字的拆分1：把10分为两个正数，再计算它们的乘积，比较不同的乘积，提出一个结论（即不等式：两个正数的和一定时，两个正数越接近，它们的乘积越大，从而得到了不等式序列：1×9<2×8<3×7<4×6<5×5。从而：当两个数的和一定时，它们的乘积有最大值，当且仅当两个数相等的时候。

数字的拆分2：把10分为两个正数，再计算这两个正数算术根的和，比较不同的和，提出一个结论。让学生经历数字的变换拆分，在数字的变换拆分中让学生发现结论，经历公式的提出过程，学生的数据素养大大提高。说不定学习后不经意的再琢磨，提出一个结论，发现一个定理。

（1）10=1+9=2+8=3+7=4+6=5+5

（2）由+﹤+猜想：﹤+﹤+﹤+﹤+﹤+

（3）一般地：若a+b=m+n，a、b、m、n∈R+，若|a-b|﹤|m-n|，则+﹥+。

案例1-3：赋予数据特殊的含义，设计帮助学生理解、记忆的情景。

只有理解了的东西，才能深刻感知它。只有深刻感知才能理解和记忆。数学中很多东西是需要学生记忆的，教师要让学生记忆的数据、数字“有料、有情、有味道”。

（1）1rad=（）°≈57.3。

情景：1弧度，57.3度，1573啊。

（2）1°=rad≈0.01745rad

情景：现在大家记忆弧度换算公式，需要安静，如果有人一度（1°）想胡动（弧度），动动（0.0）可要（1）气（7）死（4）我（5）啊（1745）。

（3）π=3.1415926……

情景：山巅一寺（3.14）一壶酒（159），尔乐（26）苦杀吾……

案例1-4：“借”数发力，设计解题方法的自然形成过程。

武打里有借力打力，数学上有借数发力。如：1，3，7，15，31……的一个通项公式（各项加1后得到数列2，4，8，16，32，64，……它的一个通项公式为an=2n，所以原数列通项公式为an=2n-1），这就是“借”数发力，“借”数后解题方法自然形成。

（二）凸显核心素养“数学抽象”的教学设计策略

案例2-1：从生活、生产实践中提出问题，让学生在经历生产生活实际问题的“数学抽象”过程中，经历公式的提出过程。

生活常识：盐水加盐变咸，糖水加糖变甜。若现有a克糖水含b克糖，向糖水溶液中加糖c克，则﹥（a﹥b﹥0，c﹥0）

案例2-2：寻找数学抽象后得到的结论（公式、定理等）生成的载体，使数学抽象与具体模型（图形）融合，注重具体模型与数学抽象二者之间的沟通。如：三角形里a=bCOSC+cCOSB，利用△ABC中BC边上作高，很容易得到，结论也容易在学生头脑中生根。

案例2-3：利用具体模型（图形）推导数学抽象后得到的结论，让数学结论及数学结论的推导因具体模型而生动形象。如Sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ的推导，可利用在直角三角形中：斜边×锐角余弦=邻边，斜边×锐角正弦=对边，那么：sinαcosβ是斜边为sinα，有一锐角为β的Rt△中β角的邻边。Sinαcosβ也可看成斜边为cosβ，有一锐角为α的Rt△中α角的对边（这里考虑α、β都是锐角的情形）。

（三）凸显核心素养“逻辑推理”的教学设计策略

案例3-1：逻辑推理也需要形象思维启发，发掘和运用原形图（启发模型）很重要。如：三角形的内角和定理的探寻与证明。

（1）三角形三内角和是多少？学生人人准备一个三角形纸板，引导学生剪下两个角，与剩下的角拼在一起，容易发现，三角形内角和为180。。

（2）如何证明呢？观察三个内角拼在一起的图形，易得定理的证明方法：延长BA至A′，过A作AD//BC，则∠DAA′=∠B， ∠DAC=∠C，由∠DAA′+∠DAC+∠CAB=180°，得∠B+∠C+∠CAB=180°。

这是多么自然的规律，多么自然的证明啊，把三个内角剪拼在一起的过程就是辅助线的生成过程。

案例3-2：逻辑思维中思维导图（思维的印迹、程序）本身也是极好的逻辑思维训练素材。思维导图是另一种形象思维，建立在思维导图上的逻辑推理学生更容易接受、更容易不被忘记。以下四个图形是两角差的正、余弦公式证明的思路流程。

图1中：AB=sinβ，OB=cosβ。

图2中：BE=OB·sinα=cosβ·sinα，OE=OB·cosα=cosβ·cosα。

图3中：AH⊥BE于H，∠ABH=α。

BH=BA·cosα=sinβ·cosα，AH=AB·sinα=sinβ·sinα。

图4中：AF⊥x轴于F，FA=sin（α-β），OF= cos（α-β）。

又OF= OE+HA=cosβ·cosα+ sinβ·sinα，

AF= BE-BH= cosβ·sinα- sinβ·cosα。

從而得到：cos（α-β）=cosαcosβ+ sinαsinβ，sin（α-β）= sinαcosβ- cosαsinβ。

实际上以上四个推导公式的图形依序全部呈现给学生，比单独仅呈现第四个图形（最后一个图形），对学生掌握公式推导思路效果好得多，因为从图1到图4呈现的是推导思路的形成过程，而图4只是推导思路的结果图。

（四）凸显核心素养“直观想象”的教学设计策略

直观想象是很重要的数学素养，教师要善于在平淡无奇处发掘直观想象素材。引领学生利用直观大胆想象，创新设计数学知识、公式推导的优化方法。

案例4-1：推导点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0（A2+B2≠0） 的距离公式。通过探索、比较与优化，设计下面问题序列：

题1：求点P（1，2）到直线4x+3y+2=0的距离

解：设过P（1，2）与直线4x+3y+2=0垂直的直线方程为3x-4y+m=0，解得m=5，由3x-4y+5=0与4x+3y+2=0联立方程组，得两直线交点坐标为P0（-，），∴点P（1，2）到直线4x+3y+2=0的距离：

|PP0|=====

设计意图：让学生经历运算的繁琐过程，知繁而变。这里把课本中一般字母换成特殊数字，既让学生经历数值运算的繁琐，又不过多耽误课堂教学时间，充分考虑实际操作的可行性。

题2：有无比较简便的计算方法呢？（由于点到直线的距离就是点到直线的垂线段的长，可以考虑把点到直线的垂线段放在直角三角形中，利用直角三角形求解。）

解：过P分别作x轴、y轴的平行线，交直线4x+3y+2=0于A、B两点，则yA=2，由xA=-=-=-2，得A （-2，2），又xB=1，由yB=-=-=-2得B（1，-2），|AP|=|xP-xA|=1+2=3，|PB|=|yP-yB|=2-（-2）=4。Rt△ABP中，|AB|==5，设点P到直线4x+3y+2=0的距离为d，则d·|AB|=|PA|·|PB|，d==。

设计意图：此例通过构造直角三角形，求解点到直线的距离很简捷，它是推导点到直线距离公式的引子。为体现构造直角三角形运算的简捷性，其中点P的坐标、直线4x+3y+2=0方程中的数字是通过多次探索、反复调整找到的。从而把问题化归为求三边为3，4，5的Rt△斜边上的高，以体现利用直观图形的简捷性和启发性。

实际上，教学活动可以看成教师看了“底牌”，师生共同参与的智力游戏，教学设计就是创设引导学生直观想象、凸显思维大方向的素材。本例中点P的坐标（1，2）与直线方程4x+3y+2=0的得来对教师很有启发意义。直线方程4x+3y+2=0是从p（1，2）出发利用三边为3，4，5的Rt△找出来的（为了构造一个以p（1，2）为直角顶点，两边分别与x轴，y轴平行，长度分别为3、4的直角三角形，斜边的两端点坐标应该为（-2，2）、（1，-2），经过这两点的直线方程为4x+3y+2=0。这就是根据游戏底牌的需要选择的数字）。

题3：求P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离d。

解：由P（x0，y0）分别作x轴、y轴的垂线交直线l：Ax+By+C=0于C、D两点，则yC=yO，xD=xO，xC=-，yD=-，|PC|=|xP- xC|=|xO+|=，|PD|=|yP- yD|=，由|CD|2=|PC|2+|PD|2得到|CD|=·，由|CD|·d=|PC|·|PD|得：d= 。

设计意图：好的方法要交给学生去发现，当然，不是学生独立发现，而是在教师的指导下“有条件”（直观想象）地发现。

（五） 凸显核心素养“数学建模”的教学设计策略

对数学建模的理解不能片面化、形式化，有时已有的方法、问题也可以成为数学模型。

案例5：等差数列求和公式的推导方法可以成为推导等比数列求和公式的模型。看以下的问题序列：

（1）求和S100=1+2+3+……+100 （解：由S100=1+2+3+……+100得：S100=100+99+……+2+1，两式相加得：2S100=（1+100）+（2+99）+……+（100+1）=101×100，S100=5050）。

（2）已知：{an}等差，求和Sn=a1+a2+……+an （解：由Sn=a1+a2+……+an得：Sn= an+an-1+……+a2+a1，两式相加得：2Sn=（a1+ an）+（a2+ an-1）+……+（an+ a1）。由{an}等差，得a1+ an= a2+ an-1=……= an+ a1，所以：2Sn=n（a1+ an），Sn=。

设计意图：化不同加数的和为相同结果的和，尽量化为相同结果求和，是公式推导的关键。这里问题（1）是问题（2）的模型。

（3）求和S100=21+22+23+……+2100（分析：沿着寻找相同结果的方向，思考构造一个数列，使之与S100=21+22+23+……+2100有尽可能多的相同项，容易得到：2S100=22+23+……+2100+2101，2S100与S100有99个相同项，两式相减得（1-2）S100=21-2101，S100=2101-21。

解决思路：关键是寻找与S100有尽可能多的相同项的2S100，这里问题（1）和（2）是问题（3）的模型。

（4）已知：{an}等比，公比为q，求和Sn=a1+a2+……+an。

解决思路：关键是寻找与Sn有尽可能多的相同项的qSn，这里问题（3）是问题（4）的模型。

（六） 凸显核心素养“数学运算”的教学设计策略

一些典型的复杂的数学运算，教师常常突然地一次性地给出，学生很难内化为运算素养。可以采用引例适当铺垫，一个好引例胜过一千条说教，好的引例就是运算时数学思维的“脚手架”，好例子能成就有料的教学。

案例6：求椭圆的标准方程一课中，当得到方程+=2a（2a>2c>0）后方程的化简非常繁琐，大多数学生中途放弃。简捷方法又很突然，常感从天而降。现设计一个引例，引火燎原，引出化简方法。

（1） 解方程+=10

解一：=10-，两边平方，得：5=3x+25，两边平方，得：25（x2+6x+9+16）=9x2+6x×25+252，16x2=0，x=0

解题过程繁琐，有没有简便的方法呢？注意到与+相似的有-，且（+）·（-）=a-b，容易得到方法二。

解二：由（+）·（-）=[（x+3）2+16]-[（x-3）2+16]=12x，得：

-=x

聯立+）=10，得：

=x+5，两边平方，得：x2+6x+9+16=x2+6x+25，x2=0，x=0

设计意图：引例暗示方程+=2a的化简方法（利用有理化因式组合化简），易得：-）==，两式相加，得：2=2a+，即=a+，两边平方，易得+=1。

这里的引例是体现了：退后一步天地宽，退而求其宝。退到学生可操作，可经历与体验，在经历与体验中发现并掌握推导方法。

总之，数学核心素养的内化需要教师创造性地设计并实施有效的课堂教学，使学生建立起数学思维，并以此正确的分析问题、解决问题。