“等时圆”在高中物理解题中的妙用

李云帆

(天津市滨海新区大港油田实验中学高二6班 300280)

例如图1所示AB是一个倾角为α的光滑斜面，CD也是一个光滑斜面，与光滑斜面AB交于点D，一个质量为m的物体沿斜面CD由静止开始下滑，要使物体m从点C滑到点D所用时间最短，光滑斜面CD与竖直方向的夹角β应为多大？

解如图2所示，过点D做直线DF平行于水面方向，与竖直方向的直线CE交于点F，过点C做CG垂直于AB，与AB交于点G.

由此可得：∠CDF=90°-β,

∠DEF=90°-α

设物体m沿光滑斜面CD滑动时的加速度为a，则

a=gsin(90°-β) ①

由于物体m从静止开始沿光滑斜面CD下滑，则

∠CDG=180°-∠CDE=180°-(∠CDF+∠EDF)

=180°-(90°-β+α)

=90°+β-α

CG=CEsin∠DEF=CDsin∠CDG，

则CEsin(90°-α)=CDsin(90°+β-α)

①②③联立可得:

由④可知，当cosβcos (α-β)取最大值时，t取最小值，即物体m从点C滑到点D所用时间最短

cosβcos(α-β) = cosβ(cosαcosβ+sinαsinβ)

从上面的解题过程可以看出，过程繁琐，易于出错，是否有简单的方法来解答该类习题呢？我们可以应用“等时圆”来巧妙求解该类习题.

什么是“等时圆”？在竖直的圆上，物体由静止开始从圆最高点沿不同的光滑斜面下滑到圆上任意一点所用的时间相等；在竖直的圆上，物体由静止开始从圆上任意一点沿不同光滑斜面下滑到该圆最低点所用的时间相等，该竖直的圆叫做“等时圆”.

“等时性”的证明如下：

如图3所示，AB、AC为竖直平面内的两个光滑斜面，AB与AC的夹角为α,A、B、C位于同一圆上，点A是该圆的最高点，AB是该圆的直径，在A点由静止开始释放两个小滑块

(可以视为质点)，小滑块分别沿两个光滑斜面滑到B、C处，所用时间分别为tB、tC,试证明tB=tC

证明：在图3中，设圆的直径为d，小滑块由A沿AB滑到B处时，是一个自由落体运动

小滑块由圆的最高点A沿AC滑到C处时，斜面AC与AB的夹角为α，则小滑块沿AC滑下时的加速度a=gcosα,斜面AC的长度为dcosα

如图4所示，分别从点B和点C释放两个小滑块，小滑块沿BA、CA滑到圆的最低点A，所用时间分别为tB、tC.

同理可以证明

由上述证明过程可以得出运用“等时圆”解题要满足以下四个条件：

1.滑块一定是从圆的“最高点”滑到圆上任意一点，或者是从圆上任意一点

滑到圆的“最低点”

2.滑块一定是由“静止状态”开始下滑

3.斜面一定是“光滑”的

4.各点一定是位于“同一竖直平面内的圆上”

在满足上述四个条件的情况下，可以得出结论：

在竖直圆上，滑块从圆的最高点沿光滑斜面滑到圆上任意一点或从圆上任意一点沿光滑斜面滑到圆的最低点所用时间，与光滑斜面的倾角无关，均等于滑块沿过最高点(最低点)的直径自由落体的时间.

如何应用“等时圆”求解如图1所示的题目呢？

在直线CE上找一点O，以O为圆心做圆，使该圆与AB相切与点D，点C位于该圆的最高点，物体m从点C由静止开始沿光滑斜面CD下滑，到圆上任意一点所用的时间相等，此时的CD即为所求路径，此

时的夹角β就是所求.