亚纯函数及其微分多项式IM分担小函数

王汉杰，王新利

（上海理工大学 理学院，上海 200093）

1 问题的提出

使用Nevanlinna值分布理论中的标准记号[1-3]，如表示型的量，其中，为上的一个线性测度有穷的集合。记亚纯函数的微分多项式为：其中，为f的小函数，满足

1995年，方明亮[4]引入了几乎分担的概念。

定义1[4]和为2个非常数的亚纯函数，其中，。表示相应的幂指量。记

1977年，仪洪勋等[1]证明了定理1。

定理1[5]设是非常数整函数，如果和分担2个判别的有穷复数，那么，。

1996年，Brück[6]提出了著名的猜想定理2。

1998 年 ， Gundersen 等[7]研究了有穷级的情况，改进了定理 2，证明了定理 3。

由此考虑：一方面，将有穷级的限制条件去掉，是否有类似结论；另一方面，将分担有限值推广到分担小函数，定理3的结论是否成立。

2003年，Yu[8]回答这一问题，证明了定理4和定理5。

2006年，刘礼培等[9]将定理4和定理5中的推广为，将定理4中的“和没 有公共极点”这个条件去掉，并减弱了亏量条件，进一步改进了定理4和定理5，证明了定理6和定理7。

在此基础上，本文考虑将定理6和定理7中的CM分担弱化为IM分担，将定理7中的“和没 有同级的极点”去掉，从而得到了定理8和定理9。

2 一些引理

3 定理8的证明

现证明定理8。

现分2种情形讨论。

由第二基本定理、引理2和引理3可得，

由式（2）和式（3）可得，

将引理2代入式（6）可得，

再区分3种情况。

矛盾。因此，假设不成立，即 f≡L(f) 。定理8证毕。

4 定理9的证明

当 f (z)为非常数整函数，显然， Θ (∞,f)=1，由定理8的证明可得，若 f -a 和 L (f)-a分担0 IM，δ(0,f)＞ 9， f ≡L(f)。定理9证毕。