云南省北辰高级中学 王国海
在高中数学教学过程中,笔者认知了一个又一个不等式。但不等式ex≥1+x与众不同,堪称经典,让我对它情有独钟。现在小结一下经典不等式及其变式在导数大题解答中的重大作用,以供大家借鉴。
图1
图2
1.几何法
由图1可知,ex≥x+1(x∈R)。
2.代数法
证明:设 f(x)=ex-x-1(x∈ R),则f '(x)=ex-1。令ex-1=0,得x=0。
当x<0时,f '(x)<0,此时f(x)单调递减;当x>0时,f '(x)> 0,此时 f(x)单调递增。∴ f(x)min= f(0)=0,∴ f(x)≥0,即ex-x-1≥0,∴ex≥x+1(x∈R)。
1.证明:若ex≥x+1(x>-1),则两边取自然对数得lnex≥ln(x+1),即x≥ln(x+1),∴ln(x+1)≤x(x>-1)。
2.母式变形:
(1)对于ln(x+1)≤x(x>-1),用x-1代替x得lnx≤x-1(x>0),其几何意义见图2(函数y=lnx的图像不高于函数y=x-1的图像),进而用代替x得
(2)拓展变形:xlnx≥x-1(x>0)。
【证明】设 f(x)=xlnx-x+1(x> 0),则 f '(x)=lnx。令lnx =0,得 x=1。当x∈(0,1)时,f '(x)< 0;当 x∈(1,+ ∞)时,f '(x)> 0。∴ f(x)min= f(1)=0,∴ f(x)≥ 0,即xlnx-x+1≥0,∴xlnx≥x-1。
【备注】对于xlnx≥x-1(x>0),两边同时除以x得lnx≥
【应用举例】(2013全国卷Ⅱ,21)已知函数f(x)=ex-ln(x+m),当m≤2时,证明f(x)>0。
常规解析:当m≤2时,ln(x+m)≤ln(x+2),故要证f(x)>0,即ex>ln(x+m),只需证ex>ln(x+2)即可。
设g(x)=ex-ln(x+2)(x> -2),则在(-2,+∞)上单调递增,考虑到g '(-1)<0,g '(0)>0,故g '(x)在(-2,+∞)上存在唯一实根x0∈(-1,0)。
当x∈(-2,x0)时,g '(x)<0;当x∈(x0,+∞)时,g '(x)>0。∴当x=x0时,g(x)min= g(x0),故g(x)≥g(x0)。
由 g '(x0)=0 得, 即 ln(x+2)=-x, ∴ g(x)000,即ex>ln(x+2),∴ex>ln(x+m)。∴当m≤2时,f(x)>0。
利用不等式ln(x+1)≤x(x>-1)可以得到以下解析:
∵ln(x+1)≤x(x>-1),∴ln(x+m)≤x+m-1①。当m≤2时,x+m-1≤x+1,∴ln(x+m)≤x+1。又ex≥x+1②,并且①式取等号条件为x=1-m,与②式取等号条件为x=0不尽相同,∴ex>ln(x+m),即f(x)>0。故当m≤2时,f(x)>0。
【证明】∵ex≥x+1,∴lnex≥ln(x+1),即x≥ln(x+1)(x>-1)。令,得。∵x>-1,∴t>-1。用代替x得,即再用x代替t,便得
【应用举例】(2006全国卷Ⅱ,20)设函数(fx)=(1+x)ln(1+x),若对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立,求实数a的取值范围。
常规解析:设g(x)=(1+x)ln(1+x)-ax(x≥ 0),则 g'(x)=ln(1+x)+1- a。当a≤1时,对所有的x≥0恒有g'(x)≥0成立,此时g(x)在[0, +∞)上单调递增。∴g(x)≥g(0)=0,即f(x)≥ax。故a≤1符合题意。
当a>1时,令g'(x)=0,得x=ea-1-1。当x∈(0,ea-1-1)时,g'(x)<0,此时g(x)在[0,ea-1-1)上单调递减,∴g(x)<g(0)=0,即f(x)<ax。故a<1不合题意。
综上得,a的取值范围是(-∞,1]。
经验证知,当x=0时,a≤1能使不等式f(x)≥ax恒成立。
综上得,a的取值范围是(-∞,1]。
据此不难看出,经典不等式在解题中具有重大作用。以上内容希望对读者有所帮助,同时希望大家都能成功!