经典不等式在解题中的重大作用

云南省北辰高级中学 王国海

在高中数学教学过程中，笔者认知了一个又一个不等式。但不等式ex≥1+x与众不同，堪称经典，让我对它情有独钟。现在小结一下经典不等式及其变式在导数大题解答中的重大作用，以供大家借鉴。

一、经典不等式（ex≥x+1，x∈R）的证明

图1

图2

1.几何法

由图1可知，ex≥x+1（x∈R）。

2.代数法

证明：设 f（x）=ex-x-1（x∈ R），则f '（x）=ex-1。令ex-1=0，得x=0。

当x＜0时，f '（x）＜0，此时f（x）单调递减；当x＞0时，f '（x）＞ 0，此时 f（x）单调递增。∴ f（x）min= f（0）=0，∴ f（x）≥0，即ex-x-1≥0，∴ex≥x+1（x∈R）。

二、变式（ln（x+1）≤x，x＞-1）的证明及运用

1.证明：若ex≥x+1（x＞-1），则两边取自然对数得lnex≥ln（x+1），即x≥ln（x+1），∴ln（x+1）≤x（x＞-1）。

2.母式变形：

（1）对于ln（x+1）≤x（x＞-1），用x-1代替x得lnx≤x-1（x＞0），其几何意义见图2（函数y=lnx的图像不高于函数y=x-1的图像），进而用代替x得

（2）拓展变形：xlnx≥x-1（x＞0）。

【证明】设 f（x）=xlnx-x+1（x＞ 0），则 f '（x）=lnx。令lnx =0，得 x=1。当x∈（0，1）时，f '（x）＜ 0；当 x∈（1，+ ∞）时，f '（x）＞ 0。∴ f（x）min= f（1）=0，∴ f（x）≥ 0，即xlnx-x+1≥0，∴xlnx≥x-1。

【备注】对于xlnx≥x-1（x＞0），两边同时除以x得lnx≥

【应用举例】（2013全国卷Ⅱ，21）已知函数f（x）=ex-ln（x+m），当m≤2时，证明f（x）＞0。

常规解析：当m≤2时，ln（x+m）≤ln（x+2），故要证f（x）＞0，即ex＞ln（x+m），只需证ex＞ln（x+2）即可。

设g（x）=ex-ln（x+2）（x＞ -2），则在（-2，+∞）上单调递增，考虑到g '（-1）＜0，g '（0）＞0，故g '（x）在（-2，+∞）上存在唯一实根x0∈（-1，0）。

当x∈（-2，x0）时，g '（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，g '（x）＞0。∴当x=x0时，g（x）min= g（x0），故g（x）≥g（x0）。

由 g '（x0）=0 得， 即 ln（x+2）=-x， ∴ g（x）000，即ex＞ln（x+2），∴ex＞ln（x+m）。∴当m≤2时，f（x）＞0。

利用不等式ln（x+1）≤x（x＞-1）可以得到以下解析：

∵ln（x+1）≤x（x＞-1），∴ln（x+m）≤x+m-1①。当m≤2时，x+m-1≤x+1，∴ln（x+m）≤x+1。又ex≥x+1②，并且①式取等号条件为x=1-m，与②式取等号条件为x=0不尽相同，∴ex＞ln（x+m），即f（x）＞0。故当m≤2时，f（x）＞0。

三、变式（ln（x+1）≥，x＞-1）的证明及运用

【证明】∵ex≥x+1，∴lnex≥ln（x+1），即x≥ln（x+1）（x＞-1）。令，得。∵x＞-1，∴t＞-1。用代替x得，即再用x代替t，便得

【应用举例】（2006全国卷Ⅱ，20）设函数（fx）=（1+x）ln（1+x），若对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围。

常规解析：设g（x）=（1+x）ln（1+x）-ax（x≥ 0），则 g'（x）=ln（1+x）+1- a。当a≤1时，对所有的x≥0恒有g'（x）≥0成立，此时g（x）在[0， +∞）上单调递增。∴g（x）≥g（0）=0，即f（x）≥ax。故a≤1符合题意。

当a＞1时，令g'（x）=0，得x=ea-1-1。当x∈（0，ea-1-1）时，g'（x）＜0，此时g（x）在[0，ea-1-1）上单调递减，∴g（x）＜g（0）=0，即f（x）＜ax。故a＜1不合题意。

综上得，a的取值范围是（-∞，1]。

经验证知，当x=0时，a≤1能使不等式f（x）≥ax恒成立。

综上得，a的取值范围是（-∞，1]。

据此不难看出，经典不等式在解题中具有重大作用。以上内容希望对读者有所帮助，同时希望大家都能成功！