寻找知识链接 形成知识网络——小学数学“整数乘法”教学探讨

周 云

（平潭城东小学，福建 平潭 350400）

“整数乘法”是小学数学教材“数与代数”领域里的重要组成部分，也是学习小数、分数乘法的基础，它在数的运算中起着举足轻重的作用。纵观小学数学教材编排体系，整数乘法的内容共分为四个阶段，分别是二年级上册的“乘法初步认识”、三年级上册的“多位数乘一位数”、三年级下册的“两位数乘两位数”、四年级上册的“三位数乘两位数”。这些学习内容呈现出螺旋上升的编排方式，构成了完整的整数乘法的知识学习体系。

一、学情分析，引发数学思考

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。”可见，运算中对法则的理解和应用至关重要，而在研读四年级上册“三位数乘两位数”的教材时，却发现没有再出现所谓拐杖式的法则，这是否意味着“法则”无用呢？试想，如果我们还没进行教学，学生能顺利地进行“三位数乘两位数”的正确计算吗？带着这些问题，我们对四年级的学生进行教学前测，其内容如下：

本题是考查学生能否运用已学的知识进行正迁移，理解算理，自主运用算法正确运算。

通过对两个该学段教学班共 120人进行测试，监测的结果如下：1.出现第①种正确计算的有74人，占监测人数的61.7%。正确计算的学生中出现第②种情况的有3名，用第一个因数的每一位乘第二个因数的每一位；出现第③种的有2名，先用第二个因数的十位去乘第一个因数的每一位，再用个位上的数去乘。在访谈中发现学生知道计算的步骤，但对法则的口头言语表述不清。

2.错误率达38.3%的学生大部分出现以下几种错误：如第④⑤种的错误是学生用十位上的1去乘三位数，结果只乘两位数，思维仍然停留在两位数乘法阶段，第⑥种的错误是用123乘10，结果算成123乘1，学生对算理还理解不清。

针对以上的学情分析，不难发现三分之二的学生未教会算，算理也很明确，但对法则的理解却停留在机械的记忆中。显然，这样的学情告诉我们：在学生原有的认知结构中，“整数乘法”的知识结构具有一定的后续学习基础，同时也存有一定的干扰区，面对这样的最近发展区、干扰区，我们该如何进行“三位数乘两位数”的新教学？这必须追溯到四年级之前学了哪些有关整数乘法的知识，学生已经积累了哪些知识经验，这些知识彼此之间又存在着怎样的联系？

二、追根溯源，寻找知识链接

其实以上的“三位数乘两位数”与三年级下册学习的“两位数乘两位数”的算理算法是相同的，但一个因数的位数不止一个。回顾“两位数乘两位数”的教学重点是十位上的数相乘，所得的积的末位数要和十位上的数对齐，它的计算法则是：先用一个乘数个位上的数去乘另一个乘数，得数的末位与乘数的个位对齐，再用乘数十位上的数去乘另一个乘数，得数的末位与乘数的十位对齐，该法则的拓展基于三年级上册的“多位数乘一位数”的算理算法基础。前后两个阶段的法则归纳串成了笔算乘法的知识链接，将算理、算法有机联合，就为学习“三位数乘两位数”作孕伏。此时，我们对问题解决的症结有了清醒的认识，整数乘法的本质就是计数单位相乘，只要将三年级学习的整数乘法进行拓展、再认识，就能形成正确的多位数乘法的思维。细细琢磨，笔算乘法的原型是什么？再次通过探究教材，发现三年级两个阶段的笔算前都先进行口算教学，这是为什么？原来笔算是建立在口算的基础上，口算教学利用拆与合的方法，借助直观把多位数写成不同计数单位的数的和的形式，如：12×2=（1个十+2）×2，然后根据运算律进行计算，这就是笔算乘法操作程序的原型，通过口算帮助学生理解算理。学生理解算理的原认知又是什么？我们继续追寻二年级的“乘法初步认识”，体会“几个几”的含义，理解乘法的意义。乘法意义的引入又建立在一年级加法的基础上，加数相同的加法可以用乘法表示，沟通了相同数相加与乘法之间的关系。加法又在认数中学习，它是计算的前提，计算又加深了对数的认识。由此看来，从简单的数数、认数开始，到加法、乘法，又从口算乘法到笔算乘法，它们之间保持着相互关联、相互依存的数链数群的密切关系，这种关系充分体现了学习的循序性、渐进性的过程，教学必然要立足于对这一特性的认识。

三、整体把握，形成知识网络

纵观整个“整数乘法”的知识链，小学数学是逐级递进的知识体系，需要教师站在更高层面审视和剖析教材，关注相同的知识在不同年级的目标定位，从整体上把握知识间的内在联系，这样才能有的放矢地设计教学目标和教学活动，帮助学生形成融会贯通的知识网络。

一年级教材在加法计算的教学中，利用学生已有的知识经验，通过数数和数的组成，帮助学生在认数中建立数的概念，为计算教学打下基础，培养学生的数感，理解加法的含义。二年级上册的“乘法初步认识”，为了找到新旧知识的“连接点”，呈现加法时，遇到相同加数相加，设计了这样的题目：每排有2台电脑，5排一共有几台？10排、20排呢？这时学生感到10个2、20个2相加很麻烦，产生了认知冲突，促使学生主动探究新的算法，引出乘法的初步认识。教学中，通过“比较”的策略，让学生找准乘法与加法的内在联系和区别，理解乘法的含义，并利用我国汉代遗留下来的“九九表”直接计算两个一位数相乘的结果。

随着学生认知水平的发展，数的运算在不断地推进，教师要搭建“脚手架”，帮助学生将乘法的初步认识推向更高层面的笔算乘法阶段。正如前苏联教育家维果茨基提出的“最近发展区”理论中指出学习与发展是一种社会和合作活动，它适于学生在自己的头脑中构筑自己的理解，这一过程，教师扮演着“促进者”“帮助者”的角色，指导、激励学生全面发展。三年级，在笔算乘法的第一阶段：多位数乘一位数，教师设计摆小棒的活动，让学生经历“分解与组合”的过程，在头脑中建立了计数单位的直观表象，最后构建两位数乘一位数的竖式计算的数学模型，从而理解算理、算法，归纳总结出计算法则。在此基础上，运用知识的迁移，进入笔算乘法的第二阶段：两位数乘两位数，通过“点子图”重点理解第二层计算过程的含义，以形助数，把复杂的运算变得形象、直观。这一阶段是进入笔算乘法的高潮，为“三位数乘两位数”做铺垫，因此教师要引导学生与两位数乘一位数的乘法进行比较，沟通前后知识的内在联系，总结出两位数乘两位数的计算法则，发展学生的运算能力。到了第三阶段的“三位数乘两位数”就没有必要花时间探究计算法则，而是将新知纳入旧知识体系中，调动学习已有的知识储备，把原有笔算乘法的计算法则进行拓展。三年级教材出现不完整的法则文本，这种形式的留白就为学生的自主归纳及知识的延伸提供机会。

教学中，我们要关注教材衔接，从宏观上领略教材，找到知识的“生长点”和“延伸点”，这样才能准确把握课程内容，体系清楚，上下贯通。同时这种教学理念，我们应该而且必须将其拓展到其他的数学教学体系中去梳理研究，做到教不越位，学要到位。

数学教学也和任何文化传承一样，它是一种旅行观景的过程，“俯瞰好拾级，登阶只为峰”，只要我们心有游览图，以俯瞰全貌的视角，择其拾级登阶的恰当线路，牢牢把握目标与行为的密切关系，稳健攀行，就一定能顺利登顶，尽览风景，师生共享文化之美。