客货共线无砟轨道平顺状态预测模型

马 帅,高 亮,刘秀波，蔡小培

(1.北京交通大学 土木建筑工程学院，北京 100044；2.中国铁道科学研究院集团有限公司 基础设施检测研究所，北京 100081)

我国客货共线铁路正线一般采用有砟轨道、长大隧道一般采用无砟轨道。对于客货共线无砟轨道，由于开行货运列车，运营条件和环境比客运专线无砟轨道或有砟轨道差，而在结构和力学性能上与客货共线有砟轨道也存在显著差异；即使在相同的外界环境下，4种不同条件下轨道结构的平顺状态也将呈现不同的发展规律。因此，有必要针对客货共线无砟轨道建立轨道平顺状态预测模型，为制定合理维修计划奠定基础。

国内外学者在轨道平顺状态预测方面取得了许多研究成果。早期学者通过试验和轨检车实测数据归纳分析建立了多个预测模型，如日本学者的预测公式[1-3]，国际铁路联盟ORE的轨道不平顺恶化率线性模型[4]，加拿大PWMIS系统的线性预测模型[5]。此外，相关学者还将多种数据分析方法用于轨道平顺状态预测，如基于卡尔曼滤波的轨检车数据预测分析方法[6]、基于轨道不平顺概率分布的特性矩阵法[7]、考虑轨道状态恶化众多影响因素的综合因子法[8]、改进型指数平滑预测模型[9]、基于平均劣化率的轨道质量短期预测模型[10]、基于灰色系统理论的非等时距GM(1,1)预测模型[11]及其修正模型[12]、灰色GM(1,1)与AR模型的组合模型[13]、灰色模型与神经网络的组合模型[14]等。这些预测模型主要针对有砟轨道，有砟轨道平顺状态发展规律通常满足分段线性、多项式或指数等具有明显趋势的形式。而研究发现，客货共线无砟轨道的轨道质量指数TQI在相当长的时间内并无明显恶化趋势，通常呈长期趋势缓慢变化并伴随平稳波动，因此以往的预测模型难以分析这种变化特征。

基于客货共线无砟轨道TQI的时间序列变化特征，结合小波分析和时间序列分析预测方法，本文提出将ARMA-BP神经网络和ARMA-SVR模型用于无砟轨道平顺状态预测。首先对TQI原始序列进行小波分解，将ARMA模型用于预测TQI序列平稳波动成分，同时利用BP神经网络和支持向量回归SVR对TQI序列的慢变趋势成分进行建模与预测，最后综合2种成分的预测值获得最终预测结果。

1 TQI时间序列特征

TQI是我国工务部门评价轨道质量和指导线路养护维修的重要参数，由200 m区段内左右高低、左右轨向、轨距、水平和三角坑共7项轨道不平顺的标准差求和得到，能够有效反映轨道平顺性。

本文数据来自包西线庆兴隧道和太中线吴堡隧道的轨检车检测数据，2条线路的设计速度均为160 km·h-1，隧道内分别铺设Ⅰ型和Ⅱ型双块式无砟轨道。轨道不平顺动态检测每月1次，数据检测时间为2014年1月至2016年12月，对每次的检测数据，每200 m区段计算1个TQI值，每个区段的连续多次TQI数据作为1个时间序列样本。对2个隧道各随机选取5个无砟轨道区段作为研究对象，TQI时间序列样本如图1所示，其中庆兴隧道样本的里程为K770+600—K770+800，吴堡隧道样本的里程为K1 192+600—K1 192+800。

图1 无砟轨道区段TQI时间序列样本

由图1可以看出：无砟轨道区段3年的TQI数值并未发生明显的趋势性变化，TQI值变化并不能用多项式或指数表示。这是因为，相比于有砟轨道，无砟轨道结构稳定，具有较好的轨道质量保持能力；处于隧道内，温度、湿度也相对稳定，不受雨雪等外界环境影响。此外，2个隧道自建成至今未进行过换轨等大修，主要的扣件维护和钢轨打磨作业对TQI影响较小，TQI值并未发生明显变化。

为了深入分析TQI时间序列是否含有趋势性成分，采用小波分解方法，利用bior4.4小波基将图1中庆兴隧道的TQI样本进行1级分解，得到低频成分和高频成分，如图2所示。由图2可以看出：低频成分具有幅值变化相对平缓的趋势项，而高频成分围绕0值均匀波动，近似满足平稳性。

图2 庆兴隧道TQI样本小波分解

经过反复试算，db6，db8，sym6，sym8和bior4.4等小波基均适用于TQI时间序列，分解结果相近，考虑双正交小波兼顾了线性相位和正交性，故选取bior4.4小波基。

对TQI时间序列高频成分是否满足平稳性需要验证时，ADF检验[15]是常用的时间序列平稳性检验方法。它以随机游走模型为检验依据，并在实际检验过程中推广为以下3个模型。

(1)

(2)

(3)

其中，

ΔXt=Xt-Xt-1

式中：Xt为时间序列；εt为白噪声；I为差分项数目；γ，β和δ为常数。

式(2)和式(3)分别考虑了常数和趋势项，每个模型的原假设都是δ=0，即不满足平稳性。检验过程从式(3)开始，然后式(2)、式(1)，何时拒绝原假设何时停止检验，否则直到检验完式(1)为止。表1为对图2中高频成分在显著性水平为0.05时的平稳性检验结果。

当3个公式中差分项数I取不同值时，高频成分均拒绝原假设，这表明高频成分满足平稳性；进一步分析得知，绝大多数TQI样本的高频成分均满足平稳性。可以认为，客货共线无砟轨道TQI的时间序列包含平稳的高频成分。

表1 庆兴隧道TQI样本平稳性检验结果

2 轨道质量指数TQI预测模型

由于客货共线无砟轨道TQI时间序列的不同频率成分具有不同特性，在进行预测时应该采用不同模型分别建模。考虑到TQI高频成分满足平稳性，本文采用适用于平稳时间序列建模的ARMA模型；TQI低频成分是慢变的非线性趋势项，可以采用BP神经网络和支持向量回归SVR建模。最后将ARMA子模型的预测结果分别和BP神经网络、SVR子模型的预测结果求和，得到2种轨道质量指数TQI预测模型：ARMA-BP神经网络和ARMA-SVR预测模型的建模流程如图3所示。

图3 建模流程

下文建模采用图1中庆兴隧道的TQI样本。

2.1 ARMA子模型

ARMA模型是时间序列分析中具有代表性的一类有限参数线性模型，能描述平稳时间序列内部的相关关系，适合平稳时间序列建模。ARMA模型建模过程如下。

(1)TQI时间序列高频成分的平稳性检验。ARMA模型要求时间序列满足平稳性，可以利用ADF检验方法进行检验。如果TQI时间序列高频成分不满足平稳性，可以进行差分处理使其满足平稳性，最后对预测结果进行积分处理。

(2)模型阶数选取。自回归阶数n与滑动平均阶数m一般根据贝叶斯信息准则(BIC)[16]确定。BIC准则在模型复杂度与模型对数据描述能力之间寻求最佳平衡，通过加入模型复杂度的惩罚项避免过拟合问题，是衡量模型拟合优良性的一种标准。BIC统计量为

BIC=klnM-2lnL

(4)

式中：k为模型参数个数；L为模型极大似然函数值；M为样本容量。

本文分别对n和m取不同的值，当BIC统计量最小时将对应的n和m作为模型阶数。图4为n和m取不同值时庆兴隧道TQI样本的BIC统计量的柱状分布图。由图4可知对于庆兴隧道的TQI样本应取n=2，m=3。

图4 不同自回归阶数、滑动平均阶数时庆兴隧道TQI样本的BIC统计量

(3)采用最小二乘法进行模型参数估计，得到模型参数。

2.2 BP神经网络子模型

BP神经网络是一种常用的前馈型神经网络，具有较强的非线性建模能力。理论上，1个3层神经网络能够逼近任一复杂的非线性系统。利用BP神经网络进行TQI时间序列低频成分建模过程如下。

(1)网络结构设计，确定各层节点数目。将神经网络层数选定为3。为了保证输入信息充足，选取输入层节点数为5，输出层节点数为1。对于关键的隐含层节点数目，分别选取节点数2～10(数目过大容易产生过拟合，降低模型泛化能力)，然后随机选取不同的模型初始值，对每个隐含层节点数目的神经网络均训练100次，计算模型预测均方根误差的平均值，结果如图5所示。选取使误差最小的值作为隐含层节点数，由图5可知隐含层节点数应取9。

图5 模型误差与隐含层节点数目关系曲线

输入输出矩阵的每一行是1组输入输出数据。

(3)数据规范化。采用最小—最大规范化方法，对输入输出矩阵的每一列进行规范化，计算式为

(5)

(4)确定神经网络训练参数。神经网络隐含层和输出层的激活函数分别取Log-sigmoid函数和Purelin函数，模型训练方法为自适应学习率梯度下降算法，学习率为0.01，目标误差精度0.01，最大迭代次数105次。

(5)模型训练与预测。

2.3 支持向量回归SVR子模型

支持向量回归SVR是支持向量机SVM进行回归和数值预测时的变体，具有较强的非线性建模能力。SVR基于结构风险最小化策略训练模型，不太容易过分拟合，因此具有较好的泛化能力；采用核函数代替复杂的高维空间内积运算，能够有效克服维数灾难和局部极小问题。SVR试图找到1个决策函数f(x)=ωTx+b， 其中ω和b为待定系数，使得函数值f(x)与真实值y尽可能接近。一般认为当y-f(x)=0时模型的损失才为0，而支持向量回归SVR允许y与f(x)之间存在最大偏差θ，即引进损失函数lθ(x)。

(6)

SVR的结构风险函数为

(7)

式中：‖ω‖2为模型参数绝对值的平方，描述模型的复杂程度；C为惩罚系数。

i=1, 2, …,M

(8)

s.t.

ηi≥0

式中：M为数据样本容量。

利用SVR对TQI低频成分建模的过程如下。

1)训练数据集选取与整理

选定训练数据集{(x1,y1), (x2,y2), …, (xN-p,yN-p)}∈Rp×R， 其中xi=(xi,xi+1, …,xi+p-1)，yi=xi+p， 1≤i≤N-p。并采用与神经网络同样的方法整理输入输出数据的格式。

2)构造最优化问题

建立对偶形式SVR结构风险函数。

(9)

s.t.

ai≤C

式(9)的详细推导参见文献[17]。

基于大量分析对比，本文选择径向基函数作为核函数，即

K(x,y)=exp(-r|x-y|2)

(10)

式中：r为径向基核函数的参数。

3)模型参数确定

在r，C和θ这3个参数中，θ是决定模型精度的最关键参数。令θ在0.01～0.5范围内以0.01的间隔依次递增，对于每个不同的θ值，同时允许r和C在合理范围内取值，并对r和C优化使得SVR对TQI低频序列的拟合和预测均方根误差最小。图6为r和C取最优值时，θ在0.10～0.30范围内的均方根误差变化曲线。结果表明，当θ取0.23时预测误差最小，但拟合误差略大；均衡考虑拟合和预测误差，θ取0.20。

图6 SVR均方根误差与θ的关系曲线

经过初步试算，r和C相对合理的取值范围log2C为[5,15]，log2r为[-15,-5]。当θ=0.20时，计算不同r和C情况下的SVR预测均方根误差，如图7所示。当预测误差最小时，r≈0.001，C≈16 000。

图7θ=0.20时，SVR均方根误差与惩罚系数C、核函数参数r的关系曲面

4)求解最优化问题

(11)

式中：φ(xi)为第i个数据样本的映射函数值。

选择1个正值拉格朗日乘子0

(12)

5)构造决策函数

(13)

3 模型预测效果

为了验证模型对已知数据的拟合效果和对未知数据的预测能力，利用ARMA-BP神经网络和ARMA-SVR预测模型对图1中的样本进行拟合和预测，并与单一非线性预测模型的预测结果进行对比，其中2014年1月—2016年7月(前31个)的TQI值用于模型训练，2016年8月—2016年12月(后5个)的值用于模型预测。此外，还分别计算了2个隧道中10个无砟轨道区段的模型的准确度指标，以对比2个组合模型之间的优劣。

图8为本文预测模型和单一模型(BP神经网络和SVR)对庆兴隧道K770+600—K770+800里程区段TQI样本的拟合和预测结果。图9为吴堡隧道K1 192+600—K1 192+800里程区段TQI样本的拟合和预测结果。表2统计了各模型的拟合与预测的均方根误差。由于神经网络的输入层确定为5层，为了便于对比，SVR的输入向量维数取5维。此时，前5次数据(2014年1月—5月数据)只能作为模型的输入值，无法进行预测，故图8与图9中没有对应数据。

表2 各模型的拟合和预测均方根误差

由图8和图9可以看出：相比于本文提出的预测模型(ARMA-BP神经网络和ARMA-SVR)，单一预测模型(BP神经网络和SVR)的拟合精度较高，但预测精度明显降低。这是因为，TQI时间序列不同频率成分的特性存在差异，单一非线性模型难以对具有多种成分、不同特性的复杂时间序列进行有效模拟，往往对训练数据过拟合，导致模型复杂度偏高，从而降低了泛化能力，预测误差偏高。因此，单一模型不适合TQI预测。

图8 庆兴隧道TQI样本模型预测效果对比

图9 吴堡隧道TQI样本模型预测效果对比

利用ARMA-BP神经网络和ARMA-SVR这2个模型分别对庆兴隧道和吴堡隧道共10个无砟轨道区段的TQI样本进行建模与预测，并与文献[11]中的GM(1,1)修正模型进行对比。根据文献[14]中的模型精度指标，计算3个模型的平均相对误差、均方根误差、模型精度及后验差4个指标在10个区段的平均值，结果见表3。

表3 各模型精度指标平均值

结果表明：本文提出的2个模型的预测精度等级均为1级，均可对客货共线无砟轨道TQI时间序列进行有效预测；ARMA-BP神经网络的拟合精度高于ARMA-SVR，但预测精度低于ARMA-SVR，可以认为ARMA-SVR以牺牲拟合精度获得较高的预测精度，具有更强的泛化能力。对于客货共线无砟轨道得TQI时间序列，其低频趋势成分变化缓慢，不符合分段线性或指数等形式，具有指数函数形式的GM(1,1)模型将难以适用，而BP神经网络、SVR对此依然具有较强的建模和预测能力。

4 结 论

(1)客货共线隧道内无砟轨道TQI时间序列特征明显，包含了缓慢变化的低频成分和平稳波动的高频成分。

(2)ARMA-BP神经网络和ARMA-SVR模型可以对具有不同特性多种成分的复杂TQI时间序列进行综合建模，预测精度明显高于BP神经网络和SVR预测模型。ARMA-BP神经网络和ARMA-SVR模型的预测精度等级均为1级，能够有效预测客货共运线路无砟轨道TQI时间序列发展。

(3)本文提出的预测模型没有考虑客货共线无砟轨道大修情况的影响。大修作业对无砟轨道TQI变化规律的影响及预测方法需要进一步研究。