从“学过”到“学会”——特级教师朱国荣《抽屉原理》教学片断与赏析

陈李勇

最近，笔者现场观摩了特级教师朱国荣的《抽屉原理》一课。朱老师教学设计精巧，贴合学生的认知特点，充分激发学生的思考，引领他们一步步走向对知识的深刻理解。

片断一：

师：今天我们学习《抽屉原理》。学过的同学请举手。（大部分学生都举手了）

师：请说说什么叫“抽屉原理”？

（无人举手。教师问了几位学生，大家都说不清）

【赏析：在几乎全班都学过的情况下，朱老师直面现实，请了几位学生让他们说说对“抽屉原理”的理解。实际情况如朱老师所设想的那样，学生难以用语言准确地叙述什么是“抽屉原理”。此时，本节课的价值就开始显现了。】

片断二：

师：今天我们的学习从一个三年级同学的问题开始。

师：“抽屉是敞开的”是什么意思？

生：小明能看见抽屉里铅笔的情况。

师：小明的数学知识还不够，面对这两种选择，他有点犯迷糊了：该选A 还是该选B 呢？

生：我选B。第一种最多能拿2 支，第二种是最少2 支。

生：选B。如果是从最少的情况来看，第二种每个抽屉放1 支笔，还剩1 支笔，老师不管放哪个抽屉，都有2 支笔，他是不亏的；如果老师在一个抽屉里放3 支笔，那他就赚了。

师：我们可以简单地跟小明说：“如果选A，铅笔数就不会变；如果选B，至少可以得2 支笔。”

师：谁来解释一下？还有可能几支笔？什么情况下有4 支笔？

出示：

师：我有个疑问，你们说至少2 支笔，这里（指上面第一种情况）不是有“0，0”吗，为什么说至少2 支笔？

生：至少2 支的意思是小明得到的笔最少有2 支。

生：因为抽屉是敞开的，所以小明可以自己选，他完全可以选那个4 支的。

师：至少2 支笔，是不是要求每个抽屉里都是2 支笔？

生：不是。只要有1 个抽屉就可以了。

【赏析：学生是数学学习的主人。学习的过程既是一个认知过程，又是一个探索的过程。朱老师在引导学生探究、感知规律的过程中，凸显了学生的主体地位。与教材处理方式——先直接告知学生结论，再让学生说理相比，朱老师这个情境的设置不可谓不巧妙——让学生替小明做出选择，他们必然要对两种情况（尤其是第二种）进行深入的分析，展开积极的思考。在对关键的“至少”“总有一个抽屉”的理解上，朱老师的每一个追问都引起了学生的认知冲突，激发他们的思维不断走向条理、深刻。教材上那个艰涩难懂的结论——“不管怎么放，总有一个抽屉里至少有2 支铅笔”被学生自然地习得；变与不变思想的渗透，让学生感受到了数学思想的魅力。】

片断三：

师：小玲的作业正确率高，老师也要奖励她，奖品是5 支铅笔。

师：四人小组讨论：1.老师一共有几种放法？2.根据这些放法，你们建议小玲选A 还是选B？

这次选A 的占大部分。

师：为什么这次选A？

生：如果老师用（2，2，1）的方法，小玲只能拿2 支，而第一种方法她能拿3 支。

生：我选B。最不利的情况，选中的几率只有20%，不亏不赚的几率有40%，有利的几率有40%，有利的比不利的多，所以我选方式B。

生：最不利的只有一种，其他四种都不会亏，所以我选B。

师：其他同学现在的想法呢？

生：我会选A。做最坏的打算，如果老师选2，2，1，那就对小玲很不利。

师：老师还没放之前，你能确定老师一定是按2，2，1 放的吗？

生：万一老师真的放2，2，1，那还不如拿3 支走。

师：选B 有风险，但也可能赚。这下小玲犯糊涂了。选A 给自己留了保险，选B 就有得更多笔的希望。

出示：

【赏析：情境没变，但是在经历前面的学习后，大部分学生第一次都选了B，这是学生思维的特点。部分学生意识到了数据变换带来的选择可能也会不同，纷纷拿起笔进行记录。经过讨论、交流后，学生展开了精彩的理由论述。正如朱老师总结的那样：选择A 的给自己留了保险，选B的就有得到更多笔的希望。这样的思考方式与实际生活中的很多情形（比如购股票）是极其相似的，体现了数学课的人文价值。】

片断四：

师：至少放了几个苹果？

师：明明最少放1 个，你怎么说2 个？

师：至少放2 个的这个“2”是和“1”比出来的吗？

生：不是。

师：观察最多的那个抽屉，还可以是几个？

生：3，4…10。

师：看来，这个2 是和3，4，5……10 比出来的，要看最多的那个抽屉。

【赏析：在这里，朱老师通过追问“明明最少放1 个，你怎么说2 个？”触发了学生思维的误区，给他们造成强烈的认知冲突，引发其深刻思考，使他们对“抽屉原理”的理解走向清晰。例子虽简单，但背后承载的数学思维却很厚重。】

片断五：

师：生活中有抽屉原理吗？

生：13 个人，有12 个生肖，至少有几个人在同一生肖。

（出示扑克牌。去掉大小王，还剩52 张，请5 位学生抽牌）

师：有抽屉原理吗？谁解释一下什么是抽屉？

生：至少有2 个人抽了一样花色的牌。4 种花色是抽屉。

师：有没有可能3 张重复？4张呢？5 张呢？

师：（呈现手机号码）有抽屉原理吗？有什么结论？（至少有2个数字相同）你能解释吗？

师：再接近生活一点，我看同学们就是一个个抽屉。任选3 位，能得出什么结论？

生：任选3 位同学，至少有2位同学的性别是相同的。

师：任选13 位同学，你能得出什么结论？

生：至少有2 位同学的生肖是相同的。

生：我不同意，我们同班同学怎么可能有12 个生肖啊！

师：对于你们班来说，至少有几个同学生肖相同？对你们班来说有几个抽屉？

……

【赏析：“抽屉原理”作为一种模型，最终还是要回到生活中去。在这一环节，朱老师安排了“扑克牌游戏”“手机号码问题”“生肖问题”三个内容。这三个素材的安排是极具深意的：一般情况下，它们都属于物体个数比抽屉数多1 的情况，学生都能比较容易得出正确结论。但是朱老师偏偏在最后一个“生肖问题”上设置了一个学生容易忽略的前提条件：同班同学。很多学生掉进了“陷阱”，给认知造成了强烈的冲突。通过全班交流，学生逐渐发现了其中的道理。这样的学习过程，让学生的思维充满张力，是一次惊险的追寻真理的“旅途”,也是从“学过”到“学会”的跨越。】

总之，朱老师直面学情，通过创设生动的现实情境，让学生充分经历思考、探究、讨论、交流的学习过程，使他们对“抽屉原理”有了深刻的认识，真正从“学过”走向了“学会”！