求解非线性方程的三种新的迭代法

黄芳芳 汤玉荣

摘 要：如何构造合适的迭代法求解非线性方程是数值计算中的一个基本问题。本文对解非线性方程的迭代法进行分析与拓展，以经典的牛顿迭代法和弦截法为基础，构造了三种新的迭代法。通过数值例子表明，这三种迭代法在一定程度上加快了收敛速度。

关键词：非线性方程；迭代法；数值模拟

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2019.12.203

众所周知，现实生活中的许多问题都可以转化为非线性方程解的问题。但是，由于方程求解问题的复杂性以及直接求解问题的多变性，使得非线性方程的求解绝非易事，一般不能直接对其求解。因此，迭代法[1-3]是非线性方程求根中最基本、最常用的方法，其思想是寻找一个精确度较高的近似解来代替无法得到的精确解，而不同的迭代格式具有不同的逼近速度与准确度。

近年来，很多学者在牛顿迭代方法的基础上提出了许多改进的迭代法。张旭[4]构造了一种三阶含牛顿迭代法；单吉宁等[5]对解非线性方程的牛顿法进行了改进；张辉等[6]基于四点牛顿-柯特斯求积公式提出了六阶迭代方法；黄娜等[7]提出一种新的三阶迭代法；王小瑞等[8]构造了条件最优两步迭代法；高建强等[9]探究了牛顿迭代对收敛速度的影响；王尧等[10]提出求解非线性方程的三步六阶迭代法。为此，本文在上述工作基础上提出了一些新的迭代格式用于求解非线性方程，通过数值例子来检验迭代法的有效性与实用性。

1 三种新的迭代格式

1.1 迭代格式一

设非线性方程，在方程的解区间之内有一个近似解为，将在近似解点处依泰勒公式对其作展开处理：

在牛顿迭代格式中取前两项近似的表示原方程，即：

类似地，取前三项近似表示原方程，可以得到：

设方程的解为且则有如下：

经处理得到新的迭代格式如下：

迭代格式（1）式中的右边存在了这一项，将其记作加以区分，将迭代格式更改为：

同时对于这一项的计算利用牛顿迭代格式来计算，即，则可得新的迭代格式一：

设可控制误差为，则在进行次迭代之后的近似值为。那么只需时，迭代终止。

1.2 迭代格式二

牛顿迭代格式中用差商替换得到了割线法的迭代格式。一般来说，在迭代的过程中迭代次数的增多意味着所得到的近似解越接近于方程的解，因此可用后一次的差商来近似的替代，将替换过的式子带入割线法的迭代格式：

得到：

通过整理得到迭代格式：

将等式右边的记作加以区分。即迭代格式应写为：

同样利用牛顿迭代格式来计算，再将计算得到的带入（3）式。推出新的迭代格式二：

只需将迭代一直进行到迭代得到的近似值誤差在可控制的范围之内。设可控制误差为，则在进行次迭代之后的近似值为。则只需即可。

1.3 迭代格式三

割线法和上面的新型迭代格式二均为利用差商替代而得到。以这种思想也可以用新的一种差商形式来近似的替代。这里，用来近似的替换就可以得到：

将替换的结果整理后得到新型迭代格式三的迭代过程如下：

同样地，将等式右边的记为。带进去之后得到：

在上述的迭代格式中同样需利用牛顿迭代格式先计算。因此，得到新型的迭代格式三：

只需将迭代一直进行到迭代得到的近似值误差在可控范围内。假若，可控制误差为，则在进行次迭代之后的近似值为。则只需即可。

2 数值模拟

定理2.4：设在上满足下列条件：

（1）；

（2）；

（3）存在且不变号；

则在内任取一点，只要，由牛顿迭代格式产生的数列一定收敛于在上唯一的根 [1]。

下面，利用具体的方程数值计算与牛顿经典迭代格式的计算结果来验证所提出的新型迭代格式与解非线性方程的有效性。

例：求方程在解区间之中根的近似值，精确到即，初始值。

解：由

且在解区间上，根据定理2.4可以知道牛顿迭代格式收敛。

分别用牛顿法与三种新型迭代格式对方程进行迭代，得到其迭代结果即表1。

观察数值结果，当每一种迭代法的，即可结束该迭代过程。表2的迭代次数说明迭代式的收敛速度的快慢且牛顿迭代法和三种新型迭代格式的近似值误差在可控制的范围之内，迭代结果均有效。

3 小结

现实中对于有些事实情况的要求经典迭代法并非实用，因此需研究新型迭代法来替代它。在表1和表2中，文中构造的三种新型迭代式和牛顿迭代法运算结果相比较可以看出，新型迭代格式一、二提高了迭代效率。但在实际的数值计算中新型迭代式一计算量较大，而新型迭代格式二、三由于利用了差商来替换的原因，使其计算复杂度要低于牛顿迭代法，加之它们每一次计算都是以为结果在所得解的基础上对进行新一轮的迭代，保证了最终解出的根的有效性。也许还可以用以上的思想将新型的迭代格式推广到非线性方程组上进行探索与验证。

参考文献：

[1]石瑞民，许志刚，孙靖.数值计算[B].北京：高等教育出版社，2004

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[2]白峰彬.数值计算引论[B].北京：高等教育出版社，2004（01）130-145.

[3]李庆杨，关治，白峰彬.数值计算原理[B].北京：清华大学出版社号，2000，9（01）：242-299.

[4]张旭.求解非线性方程组的几种迭代方法[D].合肥工业大学，2014.

[5]单吉宁，蔡静.解非线性方程的一类改进型牛顿法[J].湖州师范学院学报，2015，37（02）：9-13+34.

[6]张辉，陈豫眉，周琴.构造一种六阶牛顿迭代法解非线性方程组[J].山东师范大学学报（自然科学版），2017，32（04）：37-44.

[7]黄娜，马昌凤.求解非线性方程的一个新的三阶迭代算法[J].山西大学学报（自然科学版），2012，35（03）：460-464.

[8]王小瑞，刘喜兰.条件最优的两步迭代法及Jarratt变形方法[J].延边大学学报（自然科学版），2017，43（04）：314-320+349.

[9]高建强，薛薇.牛顿迭代法收敛速度分析[J].郑州轻工业学院学报，2005（04）：100-102.

[10]王尧，陈豫眉.求解非线性方程的三步六阶迭代法[J].滨州学院学报，2014（06）：21-25.

基金项目：甘肃省自然科学基金项目（17JR5RA284）

作者简介：黄芳芳（1995-），女，壮族，广西南宁人，本科在读，研究方向：数值计算。