冯丹丹, 吴洪博
(陕西师范大学 数学与信息科学学院,陕西 西安 710062)
Heyting代数是作为直觉主义命题逻辑的代数模型引进的,使得逻辑排中律一般不再成立.事实上,Heyting代数是通过蕴涵运算对应的伴随关系而提出的一个数学结构.王国俊利用反蕴涵运算对应的伴随关系提出了一个数学结构,称为反Heyting代数,并指出反Heyting代数和Heyting代数不是自对偶的[1].目前,对Heyting代数的研究比较深入[2-9],其中吴洪博等利用对偶范畴的思想方法和MP滤子的特征,在BR0代数和正则FI代数中提出了MT理想的概念[8-9].本文首先将MT理想的概念引入到反Heyting代数中,讨论了MT理想的等价条件和他的基本性质;然后给出了反Heyting代数的MT理想的几种生成方法;最后,在反Heyting代数中提出了素MT理想、极大MT理想以及次极大MT理想的概念,并且讨论了这些特殊理想的性质以及相互关系.
定义1.1[1]设D是格,若对于D的任意元a与b,存在D的元a←b满足:∀c∈D有c≥a←b当且仅当c∨a≥b,则称D为反Heyting代数.
事实上,设D是反Heyting代数,因为D是格,故D非空,因此,∃a∈D,又因为∀c∈D,有c∨a≥a,所以c≥a←a,因此a←a为D中最小元,将a←a记作0.
命题1.1[1]设D是反Heyting代数,∀a,b,c∈D有:
1a←a=0;
2a∨a←b=a∨b;
3b∨a←b=b;
4a←b∨c=a←b∨a←c.
命题1.2[10]设D是反Heyting代数,∀a,b,c∈D有:
1a←b←c=a∨b←c;
2a←b←c=b←a←c;
3a←0=0;
4a≥b当且仅当a←b=0;
5a←b←b←c←a←c=0;
6a∧b←c=a←c∨b←c;
7a←b←c≥a←b←a←c.
命题1.3[1]若D是反Heyting代数,则D为分配格.
命题1.4[1]若D是只含有限个元的分配格,则D是反Heyting代数.
命题1.5[1]若D是反Heyting代数,则∀a,b∈D,a←b=minx∈D:x∨a≥b.
Zorn引理[11]设P是非空偏序集,若P的每个全序子集在P中有上界,则P必有极大元.
定义2.1设D是反Heyting代数,∀I⊆D,
1若I满足以下条件:
i0∈I;
ii∀a,b∈D,若a,a←b∈I,则b∈I,
则称I为D的MT理想.
2设I是D的MT理想,若∃a∈D,且a∉I,则称I为D的真MT理想.
本文用ID表示反Heyting代数D中全体MT理想构成的集族,即
I(D)={I⊆D:I是D的MT理想}
命题2.1设D是反Heyting代数,I是D的非空子集,则I是D的MT理想当且仅当I满足:∀a,b∈D,1I是下集;2当a,b∈I时,有a∨b∈I.
证明:(充分性)i因为I是非空,所以∃a∈D,因为0是D的最小元,因此0≤a,结合I是下集可知:0∈I;
ii当a,a←b∈I时,由2知a∨a←b∈I,又由命题1.12知a∨a←b=a∨b,因此b≤a∨a←b,由I是下集可知b∈I;
综上,I是D的MT理想.
(必要性)i若a∈I,∀b≤a,由命题1.24知a←b=0,故a←b∈I.又I是D的MT理想,结合定义2.1知b∈I,因此I是下集;
ii∀a,b∈I,由命题1.14知a←a∨b=a←a∨a←b=a←b.由命题1.13知b∨a←b=b,所以a←b≤b,因此a←a∨b≤b,由于I是下集,所以a←a∨b∈I,再由I是D的MT理想知a∨b∈I.
命题2.2 设D是反Heyting代数,∀a∈D,令↓a=b∈D:b≤a,则↓a是D的MT理想.
证明:1因为0≤a,所以0∈↓a;
2∀x,x←y∈↓a,即x≤a,x←y≤a,又因为x∨x←y=x∨y,故
y≤x∨y=x∨x←y≤a∨a=a
即y≤a,所以y∈↓a.
综上,↓a是D的MT理想.
证明:∀Ij:j∈J⊆ID,
定义3.1设D是反Heyting代数,S是D的非空子集,如果D中包含S的最小的MT理想存在,则称这个最小的MT理想是由S生成的MT理想,记作S.
命题3.1设D是反Heyting代数,S是D的任意非空子集,则由S生成的MT理想必定存在,并且S=∩I:I∈I(D),S⊆I.
证明:1D⊆D且D是D的MT理想,所以I:I∈I(D),S⊆I≠φ;
2i由命题2.4知∩I:I∈I(D),S⊆I是D的MT理想;
iiS⊆∩I:I∈I(D),S⊆I;
iii∀J∈I(D),S⊆J,有∩I:I∈I(D),S⊆I⊆J;
故∩I:I∈I(D),S⊆I是D中包含S的最小的MT理想,即
S=∩I:I∈I(D),S⊆I
命题3.2设D是反Heyting代数,S是D的非空子集,则S={x∈D:∃s1,s2,…,sn∈S,使得s1∨s2∨…∨sn≥x}.
证明:1令B=x∈D:∃s1,s2,…,sn∈S,使得s1∨s2∨…∨sn≥x,
i因为S非空,故∃s∈S,又0≤s,故0∈B;
ii∀x,y∈D,若x,x←y∈B,由B的定义知,存在a1,a2,…,an,b1,b2,…,bm∈S,使得
a1∨a2∨…∨an≥x,b1∨b2∨…∨bm≥x←y
所以a1∨a2∨…∨an∨b1∨b2∨…∨bm≥x∨x←y=x∨y≥y,因此根据B的定义知y∈B.
综上,B是D的MT理想.
2∀s∈S,有s≥s,故s∈B,因此S⊆B,因此B是D中包含S的MT理想.
3设I1是D的任意MT理想且S⊆I1,∀c∈B,由B的定义知∃c1,c2,…,cn∈S,使得c1∨c2∨…∨cn≥c,又S⊆I1,所以c1,c2,…,cn∈I1,又I1是D的MT理想,由命题2.1知c1∨c2∨…∨cn∈I1且I1是下集,故c∈I1,因此B⊆I1.
综上,B是包含S的最小MT理想,即S=B.
命题3.3设D是反Heyting代数,S是D的非空子集,则S={x∈D:∃s1,s2,…,sn∈S,使得s1←(s2←…(sn←x)…)=0}.
证明:利用命题1.21、4可直接证明.
定义4.1设D是反Heyting代数,∀I⊆D,
1设I是D的MT理想,如果I满足:∀a,b∈D,a←b∈I或b←a∈I,则称I为D的素MT理想;
2设I是D的MT理想,如果对于D的任意MT理想J,当I⊆J时,有I=J或J=D,则称I为D的极大MT理想;
3设I是D的MT理想,a∈D,如果I在不包含a的MT理想中极大,即a∉I,且若M∈I(D),I⊆M,则I=M或a∈M,则称I为关于a的次极大MT理想.
命题4.1设D是反Heyting代数,若I是D的素MT理想,则∀a,b∈D,当a∧b∈I时,有a∈I或b∈I.
证明:∀a,b∈D,当a∧b∈I时,由I是D的素MT理想知a←b∈I或b←a∈I,再由命题1.26知:
(a∧b)←a=(a←a)∨(b←a)=b←a,(a∧b)←b=(a←b)∨(b←b)=a←b
因此(a∧b)←a∈I或(a∧b)←b∈I,又因为I是D的MT理想,所以有a∈I或b∈I.
命题4.2设D是反Heyting代数,并且满足条件∀a,b∈D,有a←b∧b←a=0.则D的MT理想I是素MT理想当且仅当∀a,b∈D,当a∧b∈I时,有a∈I或b∈I.
证明:(必要性)命题4.1已证.
(充分性)∀a,b∈D,由于a←b∧b←a=0,又I是D的MT理想,所以a←b∧b←a∈I,故a←b∈I或b←a∈I,因此I是D的素MT理想.
命题4.3设D是反Heyting代数,若I是D的极大MT理想,则I是D的素MT理想.
证明:下面用反证法予以证明.
假设存在D的极大MT理想I不是D的素MT理想,由定义4.1(1)知:∃a,b∈D,有a←b∉I且b←a∉I,令GI,a=x∈D:∃c∈I,使得c←a←x=0.
1下证GI,a是D的MT理想.
i因为I是D的极大MT理想,故0∈I,且0←a←0=0←0=0,所以0∈GI,a;
ii∀x,x←y∈GI,a,∃c1,c2∈I,使得:
c1←a←x=0,c2←a←x←y=0
由命题1.2(1)知
c1∨a←x=c1←a←x=0
c2∨a∨x←y=c2∨a←x←y=c2←a←x←y=0
再由命题1.24知c1∨a≥x,c2∨a∨x≥y,所以
y≤c2∨a∨x≤c2∨a∨c1∨a=a∨c1∨c2
即a∨c1∨c2≥y,因此c1∨c2≥a←y,故c1∨c2←a←y=0,因为I是D的MT理想,由命题2.1知c1∨c2∈I,再根据GI,a的定义知,y∈GI,a,故GI,a是D的MT理想.
2下证b←a∈GI,a.
因a∨b←a=a,所以b←a≤a,由命题1.24知a←b←a=0,又0∈I,且0←(a←(b←a))=0←0=0,再由GI,a的定义知b←a∈GI,a;
3下证I⊆GI,a.
∀m∈I,有a∨m≥m,所以m≥a←m,故m←(a←m)=0,由GI,a的定义知m∈GI,a,因此I⊆GI,a;
4下证a←b∉GI,a.
假设a←b∈GI,a,则∃c3∈I,使得c3←(a←(a←b))=0,又因为
a←(a←b)=(a∨a)←b=a←b
因此c3←(a←b)=0,由命题1.2(4)知c3≥a←b,又因为I是D的MT理想,由命题2.1知I是下集,故a←b∈I,这与原假设a←b∉I矛盾,所以a←b∉GI,a.
结合1、2、3知GI,a是真包含I的MT理想,并且由4知GI,a≠D,这与I是极大MT理想矛盾,因此原假设不成立.
综上∀c,d∈D,有c←d∈I或d←c∈I,即I是D的素MT理想.
命题4.4设D是反Heyting代数,则∀a∈D-{0},存在关于a的次极大MT理想.
证明:表示D中全体不含a的MT理想构成的集族.因为0是D的MT理想,故0∈,所以≠∅,按集合的包含关系构成偏序集.设{Ij:j∈J}是中的非空全序子集.
命题4.5设D是反Heyting代数,且满足条件:∀a1,b1∈D,有(a1←b1)∧(b1←a1)=0,则∀a∈D-{0},存在不包含a的素MT理想.
证明:∀a∈D-{0},由命题4.4知D中存在关于a的次极大MT理想I,下面用反证法证I是D的素MT理想.
假设I不是D的素MT理想,由定义4.11知:∃b,c∈D,使得b←c∉I且c←b∉I.令:
I1={m∈D:∃n∈I,使得n←((b←c)←m)=0}
I2={m∈D:∃n∈I,使得n←((c←b)←m)=0}
1下证I1,I2是D的MT理想.
i因为I是D的MT理想,故0∈I,又因为0←((b←c)←0)=0←0=0,所以0∈I1;
ii∀x,x←y∈I1,由I1的定义知∃y1,y2∈I,使得:
y1←((b←c)←x)=0,y2←((b←c)←(x←y))=0
由命题1.21知
(y1∨(b←c))←x=y1←((b←c)←x)=0
(y2∨(b←c))←(x←y)=y2←((b←c)←(x←y))=0
由命题1.24知y1∨(b←c)≥x,y2∨(b←c)≥x←y,所以有
y≤x∨y=x∨(x←y)≤(y1∨(b←c))∨(y2∨(b←c))=y1∨y2∨(b←c)
所以(y1∨y2)←((b←c)←y)=(y1∨y2∨(b←c))←y=0,又因为y1,y2∈I,且I是D的MT理想,故由命题2.1知y1∨y2∈I,所以由I1的定义知y∈I1.
综上知I1是D的MT理想,同样的方法可以证明I2是D的MT理想.
2下证c←b∉I1且b←c∉I2.
若c←b∈I1,则∃y1∈I,使得y1←((b←c)←(c←b))=0,又因为
(b←c)←(c←b)=(c∨(b←c))←b=c←b
所以y1←((b←c)←(c←b))=y1←(c←b)=0,因此y1≥c←b,又I是D的MT理想且y1∈I,由命题2.1知I是下集,所以c←b∈I,与原假设c←b∉I矛盾,因此c←b∉I1,同理b←c∉I2,所以I1≠D且I2≠D.
3下证c←b∈I2,b←c∈I1.
因为∀y∈I,y←((b←c)←(b←c))=y←0=0,由I1的定义知b←c∈I1,又由于∀y∈I,y←((c←b)←(c←b))=y←0=0,由I2的定义知c←b∈I2,所以b←c∈I1且b←c∉I,c←b∈I2且c←b∉I.
4下证I⊆I1且I⊆I2.
∀y∈I,因为y∨((b←c)←y)=y,故(b←c)←y≤y,因此y←((b←c)←y)=0,由I1的定义知y∈I1,即I⊆I1,同理I⊆I2.
5下证a∉I1或a∉I2.
若a∈I1且a∈I2,则存在y1,y2∈I,使得
y1←((b←c)←a)=0,y2←((c←b)←a)=0
由命题1.2(1)知
(y1∨(b←c))←a=y1←((b←c)←a)=0
(y2∨(c←b))←a=y2←((c←b)←a)=0
由命题1.24知y1∨(b←c)≥a,y2∨(c←b)≥a,再由命题1.3知D是分配格,所以有
a≤(y1∨(b←c))∧(y2∨(c←b))≤((y1∨y2)∨(b←c))∧((y1∨y2)∨(c←b))=
(y1∨y2)∨((b←c)∧(c←b))=(y1∨y2)∨0=y1∨y2
又y1,y2∈I且I是D的MT理想,由命题2.1知y1∨y2∈I且I是下集,所以a∈I,这与a∉I矛盾,所以a∉I1或a∉I2.
结合1、2、3、4和5知I1和I2是真包含I的MT理想,且a∉I1或a∉I2,这与I是关于a的次极大MT理想矛盾,所以原假设错误,因此I是D的素MT理想.
命题4.6设D是反Heyting代数,并且满足条件:∀a,b∈D,有a←b∧b←a=0,∀I∈ID,则下列条件等价:
1I是D的素MT理想;
2若I=A∩B,其中A,B∈ID,则I=A或I=B;
3∀I1,I2∈ID,若I1∩I2⊆I,则I1⊆I或I2⊆I.
证明:1⟹2 若I=A∩B,其中A,B∈ID,假设I≠A且I≠B,又由于I⊆A且I⊆B,故∃a∈A且a∉I,∃b∈B且b∉I.下证a←b∉I且b←a∉I.
若a←b∈I,则a,a←b∈A,又A是D的MT理想,由MT理想的定义知b∈A,又b∈B,故b∈A∩B=I,这与b∉I矛盾,所以a←b∉I;
若b←a∈I,则b,b←a∈B,又B是D的MT理想,由MT理想的定义知a∈B,又a∈A,故a∈A∩B=I,这与a∉I矛盾,所以b←a∉I;
综上,a←b∉I且b←a∉I,这与I是D的素MT理想矛盾,所以原假设错误,因此I=A或I=B.
2⟹3∀I1,I2∈ID,若I1∩I2⊆I,令I3=I1∩I2,则I3⊆I,又由2知I3=I1或I3=I2,所以I1⊆I或I2⊆I.
3⟹1∀a,b∈D,∀x∈↓a←b∩↓b←a,则x∈↓a←b且x∈↓b←a,即x≤a←b且x≤b←a,所以x≤a←b∧b←a=0,因此x=0,所以↓a←b∩↓b←a=0,由I∈ID知0∈I,因此↓a←b∩↓b←a⊆I,又由3知↓a←b⊆I或↓b←a⊆I,所以a←b∈I或b←a∈I,故I是D的素MT理想.