结合马氏距离与隶属度函数的轴承性能退化研究∗

周建民 张臣臣 王发令 李 鹏 张 龙

(华东交通大学载运工具与装备教育部重点实验室，江西南昌330013)

在大型旋转机械中，轴承与齿轮起着不可替代的作用，但也是旋转机械中最容易损坏的器件之一。在众多机械故障中，因轴承损坏而导致事故发生的占约30%[1］。因此对轴承进行故障诊断，及早发现故障做出应对决策能避免不必要的损失。

AR模型因其参数可以反映系统状态变化重要信息而被广泛应用[2］。H Albugharbee等人研究了AR建模过程以及各参数与轴承振动特性及其状态的关系，并对AR模型提取的特征向量进行模式识别，来区分故障的大小与类别[3］。程卫东等人使用AR模型对齿轮角域信号进行滤波，用包络阶比分析完成故障判断[4］。文中用AR模型提取对振动信号变化较敏感的残差与自回归系数作为特征向量，能有效提取振动特征。

马氏距离因其具有不受量纲的影响，能排除样本间的干扰等优点，近年在故障诊断与性能退化评估方面得到广泛应用。张红飞等人用空压机的额定参数替换马氏距离中的均值，用改进后的马氏距离时间序列来评估空压机的健康状态，具有鲁棒性强的优点[5］。黄亮等人用层次聚类结合马氏距离的方法对模拟电路进行故障诊断，实现故障的正确分类[6］。林彬等人用马氏距离结合直方图的方法消除单点误差，用信号贡献值评估复杂系统的健康状态[7］。

贾艳辉等人利用模糊统计中的三分法原理建立隶属度函数，为评价汽车转向组合开关的力特性建立理论依据[8］。肖满生等人提出一种带有修正值的FCM聚类隶属度函数确定方法。通过减少隶属度约束，解决了聚类时样本分布不均匀以及含有大量干扰噪声的问题，也避免了孤立样本自成一类的情况，提高了聚类的有效性[9］。在性能退化中，支持向量机、隐马尔科夫、神经网络等模型及其改进算法被学者广泛应用。

本文提出一种用马氏距离与隶属度函数相结合的性能退化评估方法，应用于轴承的退化状态识别中。用AR模型提取其残差与自回归系数作为特征向量，经过归一化处理后，利用无故障样本的特征和全寿命周期信号的特征建立马氏距离模型，得到正常样本特征的马氏距离，采用相同的做法，得到故障样本的马氏距离，然后输入隶属度函数中计算轴承的退化指标，判断轴承失效状态。结合用时域特征指标与小波包分解特征得到的退化指标，进行实验分析。

1 AR特征提取

AR模型是在线性回归的基础上发展起来的一种时序模型，它描述的是一个平稳随机过程，满足均值为零并且是正态分布的，最小二乘建模法作为最基本的建模方法，因其具有较高的精度最常应用。AR模型的数学公式表示如下[10］:

其中:y(t)表示系统的输出；e(t)表示白噪声输入信号，q为平移算子，用模型的自回归系数A(q)表示:A(q)＝1＋a1q-1＋a2q-2＋…＋anq-na，A(q)。

研究显示，AR模型的自回归参数与残差对状态变化的规律较敏感。将AR模型自回归系数与残差作为滚动轴承状态识别的输入特征向量可以反映系统状态变化的重要信息。

2 退化评估模型

2.1 马氏距离

马氏距离是1936年由印度统计学家P.C.Mahalanobis提出的，一种能够有效计算两个未知样本集的相似度的方法[11-12］。马氏距离的特别之处在于它能够考虑到样本中各种特性之间的信息联系，并且不依赖样本变量间的量纲，在处理振动信号时，能够排除样本变量之间的相关性的干扰，对处理一些噪声的干扰有一定的作用。

假设有一组振动信号，m表示这组数据的维数，n表示这组数据中每一维数据的列数，其马氏距离可由以下公式表示:

其中:i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，m；μ和Σ用来表示样本总体的均值和协方差矩阵。

在性能退化评估模型中，常使用的模型可分为距离统计模型和概率相似度模型。距离统计模型中一般都是基于欧氏距离的。欧氏距离虽然计算比较简单，但是它很依赖样本变量间的量纲。而马氏距离则不考虑量纲，可以排除各样本间的干扰问题。

2.2 隶属度函数

隶属度函数是属于模糊集中的概念，它表示一个样本x隶属于某个集合A的程度的函数[13］，可记为μA(x)，x的取值为A集合中的所有点，但是其取值范围为[0，1］，即 0≤μA(x)≤1。

本文采用的隶属度函数公式为:

它是模糊C均值(FCM)聚类中的隶属度函数，使得FCM的目标函数达到最小值的必要条件。其中q为FCM中的模糊加权指数，取值范围为q∈[1，＋∞)，d1、d2为聚类中心与样本点间的欧式距离。本文用马氏距离计算隶属度，替代FCM中的欧氏距离来计算隶属度函数，用每个样本点在(0，1)间的隶属度来表示其隶属于正常样本还是故障样本的程度，将其作为退化指标描绘退化曲线。

2.3 模型建立与指标提取

对滚动轴承全寿命周期的数据进行AR特征提取其系数及残差，将系数与残差作为特征进行归一化处理，然后用特征样本的前100组无故障数据结合轴承的全寿命周期数据的984个特征样本的前8 192组特征建立MD模型，得到无故障样本与全寿命周期振动信号的马氏距离dist1。采用同样的做法，结合特征样本的后20组故障样本输入马氏距离公式中，得到指标dist2。将dist1，dist2输入隶属度函数计算得到退化指标DI(degradation index)，描绘轴承性能退化曲线。

3 实验及结果分析

3.1 数据来源

轴承全寿命周期实验数据由美国辛辛那提大学的智能维护中心(intelligent maintenance systems，IMS)提供[14］。滚动轴承的全寿命周期试验台示意图如图3所示，双列球轴承使用型号为Rexnord ZA-2115，在其水平和垂直方向各安装一个加速度传感器，型号为PCB 353B33，4个轴承安装在同一连接轴的不同位置，通过交流电动机带动连接轴旋转，转速恒为2 000 r/min，轴承上施加的径向载荷大小为6 000磅(2 722 kg)。实验的数据通过NI DAQ的数据采集卡6062E进行数据采集，采样频率设置为12 kHz，每次采样的时间为1 s，间隔为10 min。实验采集3个数据包，本次试验采用第二个数据包的轴承数据进行实验，详细情况如表1所示。

3.2 AR-MD结合隶属度函数的评估结果

读取数据包2nd_test的轴承全寿命周期数据，使用984组样本的前8 192个样本点用AR进行特征提取，采用AIC准则定阶14，提取AR模型的系数与残差作为特征向量，得到984×15的特征矩阵，由于第一组的特征为无效值，故删除第一组特征，得到984×14的特征向量组，然后进行归一化处理。常用的归一化方法有z-score标准化、最大-最小值的归一化、函数转化等。本文采用最大-最小值的归一化方法对提取的特征进行处理。用归一化处理后的前100组无故障的样本特征结合全寿命周期信号的提取特征计算马氏距离，得到dist1，然后用后20组的故障样本特征计算故障样本的马氏距离dist2，取模糊加权指数q为2.5，将dist1、dist2作为d1、d2替代隶属度函数式(5)中的欧式距离，计算得到隶属失效程度，计算得到的μ值作为轴承的退化指标DI，描绘曲线，评估轴承的性能退化结果。

图3为经过前面的处理后，未输入到隶属度函数中得到的轴承性能退化曲线图，前期与后期的退化指标DI的值相差太大，图3中表现出与报警阈值线的交点在534个样本点，但是整个曲线的前中期在横坐标看上去是一条直线，不能很好地区分轴承退化的各个阶段。造成的可能原因是计算马氏距离时，只用前期无故障的样本特征结合全寿命周期的特征计算，后期故障样本与无故障样本间的马氏距离较大，与前期相比差值太大，出现图3中的结果。

图4是前期处理后结合隶属度函数进行再次计算隶属度作为新的退化指标DI，然后描绘退化结果。从图4中可以看出，轴承在533个样本点出现故障，在533至700个样本点间，轴承故障程度成缓慢加剧的方式，在700至961个样本点间，轴承处于严重损坏阶段，在961个样本点之后，退化曲线直线上升，轴承完全失效。

3.3 时域特征结合MD与隶属度函数评估结果

常用的振动信号的时域指标有均方根值、方根幅值、峭度、歪度、波形指标、裕度指标、峭度指标等。峭度与歪度对振动信号的冲击很敏感，均方根值能反映信号的总体能量大小，可以反映故障的程度，而无量纲因子指标具有不受轴承的转速、尺寸、负荷等影响的优点。

文章取滚动轴承的全寿命周期数据中每组数据的前8 192个样本进行时域指标的提取，对提取的特征进行归一化处理，采用与AR-MD相同的做法，取前100组无故障样本计算其与全寿命周期数据的马氏距离，取后20组故障样本计算马氏距离，再使用隶属度函数计算其隶属程度，得出退化指标。描绘退化曲线，如图5所示。

从图5中可以看出，虽然退化指标在533处出现突然上升的趋势，但是在533个样本点之后退化曲线呈直线上升趋势，与滚动轴承的趋势不相符，相比于AR-MD结合隶属度函数的曲线，并不能判断轴承后期的退化阶段，没有得到很好的效果。

3.4 小波包分解结合MD与隶属度函数评估结果

小波包分解是在小波分解的基础上提出的一种更为精细的信号处理方法。小波分解只对信号低频部分进行分解，小波包分解解决了其在信号高频分段中的存在问题。本文采用小波基函数Daubechies，用db5函数对信号进行分解与重构，采用4层小波包分解提取得到信号中的16个特征，然后采用与前两种评估模型相同的做法，计算得到退化指标DI，然后描绘轴承退化曲线如图6所示。

从图6中可以看出，滚动轴承在第535个样本点处出现初始故障，而后信号DI值出现上下波动并不断上升的趋势，表明轴承故障程度不断加深，直到最后轴承失效。相比于AR-MD结合隶属度函数的评估结果，小波包分解结果之后两个样本点，即相比之下，在时间上比AR-MD结合隶属度函数晚发现故障。在工程应用中，提前发现故障对设备进行检修或预防事故发生具有重大意义。

4 包络谱分析

采用包络谱分析对轴承的初始故障点进行验证，用经验模态分解(empirical mode decomposition，EMD)对轴承振动信号进行分解，得到有限个IMF分量，对多个IMF能量分析，第一个IMF分量中包含更多的振动信息，故对IMF1进行包络解调。图7a为轴承振动信号的第532个样本点的包络频谱图，图7b为第533个样本点的包络频谱图。

从图7中可以看出，信号经过EMD分解后，再进行希尔伯特包络解调，得到的图7a中第532个样本的包络解调图特征不明显，在图7b中，第533个样本点在230.3 Hz的地方有明显的谱峰值，其对应的二倍频、三倍频也有明显对应的谱峰值，与使用轴承的外圈球通频率(BPFO)236.4 Hz很接近，由此可以推断，在533个样本点时，轴承开始出现外圈故障。

5 结语

结合马氏距离与模糊函数中的隶属度函数对滚动轴承进行性能退化评估。

(1)将AR模型应用于滚动轴承的特征提取，提取其系数与残差作为特征向量。实验表明，与常用的时域特征和小波包提取特征方法相比，该方法能有效凸显轴承故障特征。

(2)针对马氏距离模型在轴承性能退化评估方面的不足，提出一种结合模糊函数中的隶属度概念的方法，用马氏距离代替隶属度中的欧氏距离计算函数，结果表明，用改进后的隶属程度可以及早发现轴承初始故障点，评价轴承退化性能。