退无可退，方是进矣

张凌云

背景

一所农村学校，初中三个年级共6个班，每个年级2个班。因为师资缺乏，任教数学学科的三位教师均非数学专业科班出身。该校初二年级的数学期考平均分低于同区同年级平均分20分左右。此次笔者任教的就是初二年级其中的一个班，原本是应该班数学教师的要求上一节“平面直角坐标系”的概念课，结果所发生的事情有点超乎想象。

教学过程还原

环节一：

问题引入：请同学们回忆一下我们学过的数轴。可以用自己的语言描述。

因为引入的问题简单，认为应该是信心满满的运筹帷幄，学生却给了我一个下马威！没一个学生举手回答问题，甚至于竖着耳朵想“捕风捉影”，结果连学生小声议论的声音都没抓到。学生面面相觑，有欲言又止的，叫起来回答，却说不出话。说不出来严谨概念没关系，让学生用自己的语言表达，也没有，那让学生画图，竟也没人动手与附和。一点想法都没有？确实尴尬！僵持了一阵，头脑里一直在转悠，怎么办，如何处理？（说实话，挺尴尬的，后面老师在听课，自己都怀疑该如何下台了。）

不得已，改变策略，问：数轴，先是“数”，用“数”字组词？你能够组出哪些词语？

于是学生开始陆陆续续回答：数字，整数，分数，正数，负数，小数，自然数，代数，有理数，无理数，……（好，一一肯定，正中下怀了，学生基本把数轴上的点能表示的数都说出来了！）

继续问：那么“轴”呢，怎么理解？

學生：一条线，一条直线，一条水平的线……（不错！）

这时，终于有一个学生举手了：想起来了，我可以画。于是请他上讲台，其他的学生结合“数”“轴”二字的含义，画出印象中的数轴。（一直在想，如何让学生从文字中就能大致看懂数学概念，从文字中读懂数学题目隐含的信息，于是在教学中偶尔也会有意识的教学生“咬文嚼字”，从字面上先去感悟，再回到严谨的数学表达。）

学生画得不错，图形上面明确标出数轴的原点、正方向和表示单位长度的数字。

就着学生的图，我讲解数轴的三要素，数轴上的点的表示，以及数轴的特点，原点分界，从左到右逐渐增大。连带相反数，绝对值（代数和几何意义）都给学生讲了一遍。想法也就是让学生通过回忆能在后续的平面直角坐标系的学习中进行关联：原点分界对应平面直角坐标系中的轴分界，相反数则对应于平面直角坐标系的对称性，绝对值则对应平面直角坐标系中点到各坐标轴的距离。

终于可以从数轴上的点引入到平面上的点了！

环节二：

让学生观察生活中的实例，如座位的排列，围棋的棋谱记录，以及地理位置的经纬度表示等。

提问：如果点不在数轴上，而是在平面上，那该怎么表示？我特意在数轴上的数字1下方点了一个点（如下图）。

生：还是1。

真是难不倒你们？！如果我继续打点，学生难道会一直说1吗？终于有学生说不行，可以再画一条直线，那么怎么画？

请学生在提供的方格纸上尝试表达平面上的点的方法，也就是加一条垂直的轴进去。另请一主动举手的学生上黑板在已有的数轴上画图。

只是令自己没想到的是，加一条纵轴，学生竟直接在数轴的最左边画上去（如下图），在学案上画图的学生大部分只画出了第一象限。又怎么办？（黑板上的错误不能一擦了之啊！自己是一个头两个大了。）

让学生先行观察上图。

接着问：两条轴的交点怎么标数？

生：-4。

师：那往左边走，怎么标，往上走呢，又怎么标数字？

学生停顿了，看着黑板，看表情应该是觉得有点不对劲的感觉，也就是说往上总不至于标“-5”吧，于是提出要进行调整。

师：那你觉得应该怎么调？

生：把竖的那条线移到原点的位置。

师：你们同意吗？

学生都没有再提出异议，于是此时移动竖直方向数轴到原点处。

师：这时竖直方向数轴上的点又如何标数呢？

故意从上往下标1，2，3，学生纷纷喊不行，要从下往上标，自然确定了纵轴的正方向。那么下方的点怎么办呢？又自然将纵轴向下延伸，标上-1，-2，-3…。

平面直角坐标系完整建立，随后的象限，象限内点的坐标符号特征都水到渠成了。