一类三阶矩阵微分方程的通解

吴幼明，林晓莹，吴文峰

（1．佛山科学技术学院 数学系，广东 佛山 528000；2．代顿大学 数学系，俄亥俄 代顿 45469）

现实生活中大多数问题的数学模型都是以高阶矩阵微分方程［1］的形式出现的，求矩阵微分方程的通解公式［2-7］是矩阵微分方程方法论的一个重要组成部分.针对高阶矩阵微分方程来讲，可用降阶和欧拉方法［4-7］求出其通解.文献［2-3］分别采用了初等变换解法和消去法对一阶矩阵微分方程进行了求解，文献［4-7］采用降阶法和欧拉方法求出了几类二阶矩阵微分方程组的通解公式，文献［8］给出了一类不含有一阶和二阶导数项的三阶常系数矩阵微分方程的通解.本文在文献［4-8］研究的基础上，采用降阶和欧拉方法，导出了矩阵微分方程组Af‴-aAf′-Bf=0的通解公式，并用具体算例验证所推导的通解公式的正确性，为今后高阶矩阵微分方程的研究提供参考.

1 符号

给出矩阵微分方程：

其中，fi=fi(x)，（i=1,2）是关于 x 的函数，a，aij，bij（i,j=1,2）是常数．

2 方程的通解

2.1 降阶

作变换 f1′=f3，f2′=f4，f1″=f3′=f5，f2″=f4′=f6，代入方程（2）后整理得：

2.2 求矩阵D的6个特征根

矩阵D的特征方程为：

其中，E=-（c11+c22），F=|C|，E6是 6 阶单位矩阵．对式（4）作变换 λ3-aλ=λ 得：

解式（5）得 2 个根 λ1，λ4；再根据卡尔丹公式得矩阵 D 的 6 个特征根 λi（i=1,2,…,6）．其中 λi（i=1,2,3）从 λ3-aλ=λ1得到，λi（i=4,5,6）从 λ3-aλ=λ4得到.

2.3 求6个特征根各自对应的特征向量

当 λ=λ1时，解方程（λ1E6-D）ξ=0，求出特征根 λ1对应的特征向量 ξ1，即：

对式（6）的系数矩阵作初等变换，解得 ξ31=λ1ξ11，ξ41=λ1ξ21，ξ51=λ12ξ11，ξ61=λ12ξ21．而 ξ11,ξ21，则由下面的方程解出：

解方程（7），得对应 λ=λ1时的特征向量为：ξ1=［ξ11,ξ21,λ1ξ11,λ1ξ21,λ12ξ11,λ12ξ21］T.

同理可求出特征根 λ2，λ3，λ4，λ5，λ6对应的特征向量 ξ2，ξ3，ξ4，ξ5，ξ6如下：

2.4 通解公式

对于矩阵微分方程（3），上面已经用欧拉方法求出它的6个特征根λi=（i=1,2,3,4,5,6），以及它所对应的 6 个线性无关的特征向量 ξi=［ξ1i,ξ2i,ξ3i,ξ4i,ξ5i,ξ6i］T（i=1,2,3,4,5,6），方程（3）的解为：

取式（8）的前两项，再利用特征向量之间的关系，可得矩阵微分方程（2）的通解：

其中，Λi=diag（λi,λi+3）,（i=1,2,3）；λi（i=1,2,3）,从 λ3-aλ=λ1得到，λi（i=4,5,6）从得到 λ3-aλ=λ4；这里 λ1,λ4是矩阵 C 的二个特征根，V 是矩阵 C 对应 λ1,λ4的列特征向量的矩阵，ci（i=1,2,…,6）是常数，C1′,C2′,C3′是常数向量.

3 算例

求矩阵微分方程的通解：

求得矩阵C的2个特征根为λ1=0，λ2=2，对应2个特征根的2个线性无关的特征向量为所以特征矩阵为：．由卡尔丹公式求得：λ1=1，λ2=0，λ3=-1，λ4=μ+θ，λ5=

所以矩阵微分方程（10）的通解为：

经检验，式（11）确是方程组（10）的通解.