变时滞非线性微分方程零解的渐近稳定性

黄明辉

( 广州城建职业学院， 广东 广州 510925 )

0 引言

因时滞微分方程在物理学、生物学、系统工程等领域有着广泛的应用，因此一直以来受到广大研究者的关注，并取得了一系列研究成果[1-11].如作者在文献[1-3]中，利用Banach不动点方法研究了时滞线性微分的稳定性；A.Ardjouni在文献[4-5]中利用Banach不动点方法研究了时滞非线性微分方程的渐近稳定性.受文献[2]和文献[5]的启发，本文研究如下变时滞非线性微分方程

(1)

零解的渐近稳定性.其中bj∈C(R+,R)；cj∈C1(R+,R)；τj∈C(R+,R+)； 当t→∞时，t-τj(t)→∞，j=1,2,…,N.

1 主要结果及其证明

设C(S1,S2)表示所有连续函数φ∶S1→S2的集合，C1(S1,S2)表示所有连续可微函数φ∶S1→S2的集合，对任意t0≥0， 有mj(t0)=inf{t-τj(t),t≥t0}，m(t0)=min{mj(t0), 1≤j≤N}.

(H1)g,Q是局部的Lipschitz连续函数，即存在正数L1和L2， 若|x|,|y|

|Q(x)-Q(y)|≤L1‖x-y‖， |Q(0)|=0;

|g(x)-g(y)|≤L2‖x-y‖， |g(0)|=0.

(2)

证明对任意t0≥0， 设

(3)

对固定的ψ∈C([m(t0),t0],R)， 令

Sψ={x∈C([m(t0),∞),R)∶t→∞,x(t)→0且x(t)=ψ(t),t∈[m(t0),t0]},

2.通过各种渠道提高自身学历层次。学校应该为教师提供到其他高校或者到国外进修的机会。应用型本科院校的商务英语教师学历多为本科学历，无论从专业发展的角度还是从提升自身能力的角度，教师都应继续考取本专业的硕士和博士，扩大自己的视野，不仅要掌握扎实的语言知识，还应掌握较强的商务实践能力。只有这样才能有效保证教学质量，培养社会真正需要的应用型商务人才。应用型本科院校可以根据本学校实际，选拔优秀青年教师到全国一流特色大学进行进修；利用假期为教师提供短期的商务培训；为教师创造出国进修以及出国提高学历的机会，学习国外的先进教育经验和理念。

且其范数为‖x‖=max{|x(t)|:m(t0)≤t≤t0}， 则Sψ是一个完备度量空间.

对上式进行分部积分，得

(4)

将式(4)定义为算子P∶Sψ→Sψ.对任意t∈[m(t0),t0]， (Px)(t)=ψ(t)； 当t≥t0，

(5)

显然， (Px)∈C([m(t0),∞),R).以下证明当t→∞时， (Px)(t)→0.由于t→∞时，x(t)→0和t-τj(t)→∞.因此对任意ε>0， 存在T1>t0， 使得当s≥T1时有|x(s-τj(s))|<ε,j=1,2,…,N.由条件(H1)—(H3)和式(2)易证当t→∞时， |Ii|→0,i=1,2,3,4.此外，当t→∞， 有

由式(2)知，存在T2≥T1， 使得当t≥T2时有

由条件(H3)知， |I5|<ε+αε<2ε.I5→0.因此，当t→∞时， (Px)(t)→0， 所以有(Px)∈Sψ.以下证明P是压缩映射.由条件(H3)知，对任意x,y∈Sψ以及t≥t0， 有

下面证明对所有的t≥t0， |x(t)|<ε.显然，当s∈[m(t0),t0]时， 有|x(s)|<ε.如果存在t*>t0， 使得x(t*)=ε， 且当m(t0)≤s

以下考虑方程(1)的解x(t)=x(t,tm,ψ)满足ψ(tm)=δ0和当s≤tm时，ψ(s)≤δ0.对所有t≥tm， 有|x(t)|≤1.选取适当的ψ使得

由式(5)和x(t)=(Px)(t)知， 对所有的n≥m， 有

(6)

另外，若方程(1)的零解渐近稳定，则当t→∞时，x(t)=x(t,tm,ψ)→0.因为当n→∞，tn-τj(tn)→∞.由条件(H3)知，当n→∞时，有

该结果与式(6)相矛盾.所以式(2)是方程(1)零解渐近稳定的充要条件.证毕.

2 算例

例1考虑以下变时滞非线性微分方程:

(7)

因此，定理1中的α=0.002 3+0.081+0.081+0.835 4=0.999 7<1，进而由定理1知方程(7)的零解是渐近稳定的.