一种应用于空间碎片演化模型的碰撞概率算法

王晓伟，刘 静，崔双星

(1. 中国科学院国家天文台，北京 100101；2. 国家航天局空间碎片监测与应用中心，北京 100101； 3. 中国科学院大学，北京 100049)

0 引 言

近年来，空间碎片数量激增使得在轨航天器的运行安全受到极大威胁，Kessler雪崩效应再次被提及[1]。空间碎片数量不断增长引发了国际上关于空间碎片环境长期稳定性的研究，空间碎片环境长期演化模型成为该领域的国际研究热点之一[2-9]。

空间碎片环境长期演化模型可以预测未来几十年至上百年的空间碎片环境演化，为调整太空发展战略或制定相关空间政策提供技术支持，以保证未来太空活动可持续发展。空间碎片演化模型能够模拟空间碎片的主要增长机制和减少机制，例如未来的航天器发射、在轨碰撞或爆炸解体、自然陨落、任务后处置等，通常由轨道预报模型、未来发射模型、碰撞概率评估模型、解体模型、任务后处置模型等几个子模型组成。由于在轨碰撞解体是空间碎片在未来演化中的重要增长来源，对碰撞概率的评估会影响空间碎片在轨碰撞事件的预测，因此碰撞概率评估模型是空间碎片演化模型中较为关键的环节之一。

传统的瞬时碰撞概率计算方法多是基于空间物体的位置椭球误差[10-11]，然而空间碎片演化模型预测的时间较长(几十年甚至几百年)，空间物体轨道预报的精度有限，且高精度的位置误差对于长期演化并不具有实际意义，因此传统的瞬时碰撞概率计算方法并不适用。要预测空间碎片在未来长期演化中发生碰撞解体事件的可能性，需要一种适用于长期轨道演化系统的碰撞概率估计方法。

Cube模型是由美国国家宇航局(National aeronautics and space administration, NASA)提出的一种快速成对算法，适用于任何轨道演化系统。Cube算法通过对整个演化系统进行时间均匀采样，能够利用演化过程中不断更新的轨道根数来评估空间物体之间的碰撞概率[12-13]。Cube模型算法具有原理简单、配对快速的优点。Cube模型算法提出后，被多个国家的空间碎片环境长期演化模型所采纳。但在2014年第32届机构间空间碎片协调委员会(Inter-agency space debris coordination committee, IADC)全体会议上，法国宇航局(Centre national d’etudes spatiales, CNES)指出，利用其演化模型MEDEE模拟低地球轨道(Low earth orbit, LEO)空间环境的未来演化，当Cube模型的立方体尺寸取值不同时，空间环境演化结果会有较大差异，如图1所示，图中粗线表示40次蒙特卡洛运行的平均结果，细线表示1σ的标准差。表1为MEDEE模型预测的200年后的LEO空间碎片数量相比于初始碎片数量的变化百分比，及其1σ标准差[14-15]。但从物理规律而言，空间碎片在演化过程中的碰撞概率不会因碰撞概率评估算法不同而改变，因此若Cube模型因其参数设置不同而对未来空间环境演化结果带来显著影响，将直接导致空间碎片演化模型的可信度降低。

图1 立方体大小不同时MEDEE模型的运行结果Fig.1 Evolution results of MEDEE with different cube sizes

立方体尺寸/km200年后碎片数量相比于初始碎片数量的百分比[平均值+/-1σ标准差]h=5-13%+/-12%h=102%+/-16%h=15-5.3%+/-14%

本文对此问题进行了深入分析，研究了Cube模型算法及其在空间碎片演化模型中的应用问题，并在Cube模型算法的基础上做了改进，提出了I-Cube模型。经过多次蒙特卡洛模拟运行验证，使用改进后的I-Cube算法，空间碎片演化模型的演化结果不再受碰撞概率算法参数的影响，显著提高了演化模型的稳定性与可信度。

本文所使用的SOLEM模型(Space objects long-term evolution model)是我国自主建立的空间碎片长期演化模型[16-17]。SOLEM模型作为中国国家航天局(China national space administration, CNSA)的代表参与了IADC组织的多项国际联合研究，并取得了与国际上其他演化模型较为一致的结果[18]。

本文第1部分对Cube模型算法及其在空间碎片演化模型中的应用做了进一步说明与分析，第2部分介绍改进的碰撞概率模型I-Cube，第3部分对比分析了采用Cube模型算法与I-Cube算法的演化结果，第4部分进行了总结。

1 碰撞概率模型及其对演化的影响

碰撞概率的计算直接影响空间碎片碰撞解体次数的预测。碰撞解体是未来空间碎片数量增长的重要来源，因而对空间碎片间的碰撞概率估计成为影响未来空间环境演化仿真结果的关键环节之一。

1.1 碰撞概率算法Cube模型

Cube模型是由NASA提出的适用于任何轨道演化系统的碰撞概率评估算法[12-13]。Cube算法通过对整个演化系统进行时间均匀采样的方法来计算空间碎片的碰撞概率。数学上，物体i和j之间在很长一段时间内(从tbegin到tend)的总碰撞次数可表达为：

(1)

式中：Pi,j是碰撞率;L是tbegin和tend之间的时间间隔数;ts和ts+1代表第s个时间间隔的起止时刻。如果时间间隔ts+1-ts足够短，两个空间碎片之间的碰撞特征变化不大，那么可认为Pi,j在这段时间内是常数，则上述积分表达式可写为

(2)

在每次采样时刻，建立地心笛卡尔坐标系，将三维近地空间划分成多个边长为h的小立方体，每个空间物体的位置、速度根据该时刻的轨道根数计算。当两个空间物体处于同一个立方体时，碰撞率Pij由下式计算

Pij=sisjAcVimpdU

(3)

式中：si和sj表示目标i和j在该立方体内的空间密度;Ac表示两目标的碰撞截面;Vimp表示两个目标的碰撞速度;dU表示该立方体的体积。对Pij进行时间积分后得到碰撞概率

pij=Pij·[ts+1-ts]=sisjAcVimpdUdt

(4)

计算出pij后，应用蒙特卡罗方法生成一个随机数Ri与pij进行比较，以此来确定一次碰撞是否发生。若一个立方体内同时有两个或多个物体，计算其两两之间的碰撞概率，并确定碰撞是否发生；而若一个立方体内只有一个空间物体，则不再考虑该物体与其他物体的碰撞可能性。对于N体系统，该方法能够快速有效地找出碰撞配对物体，计算时间与N成正比，而非N2。

根据标准统计采样方法，采样次数越多，即采样时间间隔越短越好，但在空间碎片长期演化模型中，需要考虑整个模型的运行速度，不能在碰撞概率计算上花费过多的时间。在美国的空间碎片长期演化模型LEGEND中，dt默认值为5天[13]。

而关于采样时刻所划分的立方体大小，Cube模型认为在平均轨道半长轴的1%及以内都是合理的[13]。将其应用在空间碎片演化模型中时，主要研究对象是LEO轨道的碎片，轨道半长轴在6578～8578 km之间，故依据Cube模型，其所划分的立方体尺寸在65 km及以下时都是合理的。美国空间碎片长期演化模型LEGEND中，h取值为10 km[13]。

1.2 Cube算法存在的问题

依据Cube模型，上述碰撞概率算法式(4)相当于在一个微观尺度上(一个立方体内)应用气体动力学理论。然而，根据式(4)计算出的pij并非真正的碰撞概率，而是两个物体在所划分的立方体dU内在积分时间dt内的平均碰撞次数。在积分时间并非趋于0的情况下，对于个别截面积超大的碎片，用该式计算出的碰撞概率存在pij>1的情况。实际上，在pij≤0.2的情况下，可将其近似看作碰撞概率，其误差小于10%，而当pij>0.2时，该近似不再成立，必须使用碰撞概率的严格表达式(见式(5))[19]。

图2 立方体大小h对空间碎片演化预测结果的影响Fig.2 Evolution results of SOLEM model with the cube size h

2 改进的碰撞概率算法I-Cube模型

图3 考虑相邻立方体中两个物体的碰撞概率的二维示意图Fig.3 Two-dimensional representation for considering possible collisions between debris residing in neighbouring cubes

I-Cube算法的具体实现步骤如下：

1)确定对演化系统进行时间均匀采样的间隔dt。在SOLEM模型中，时间采样间隔dt为5天。

2)对近地空间划分立方体。在采样时刻，建立地心笛卡尔坐标系，将地球周围的近地空间划分为一个个边长为h的立方体，并对每个立方体按h的倍数进行编号。

3)计算空间物体所在的位置。在采样时刻，根据每个空间物体(序号为i)更新后的轨道根数计算其所在的位置，并记录其所处的立方体编号。

5)计算配对目标之间的碰撞概率pij。

6)利用蒙特卡罗方法判断碰撞是否实际发生。生成0～1之间的随机数Ri，若Ri

步骤5)中碰撞概率pij的具体算法如下：

根据气体动力学，在体元dU内，在dt时间内，空间物体i和j的平均碰撞数为

c=SiSjVimpAcdUdt

(5)

pij=1-exp(-c)

(6)

与Cube算法相比，I-Cube算法采用了严格表达式来计算碰撞概率pij，此外增加了处于相邻立方体内的空间物体间碰撞可能性的计算，寻找碰撞配对物体的复杂度增加，因而计算所用的时间也相应增加，基本相当于原Cube算法计算时间的3倍。但从整个演化模型运行上看，这个计算速度仍在可接受范围内。

3 仿真分析

据目前公开的文献看，只有CNES利用其MEDEE模型对原Cube算法参数的影响做过相关研究[14-15]，此外，UKSA的DAMAGE模型采用Cube算法并对其做了部分改进[20]。但由于各国的空间碎片长期演化模型在各个模块算法的具体技术实现方式并未公开，MEDEE模型、DAMAGE模型以及国际上其他长期演化模型在Cube算法的应用或改进方面，以及太阳活动、大气模型等关键影响因素的假设与参数设置方面均与SOLEM模型不尽相同，且在已公开的文献中，MEDEE和DAMAGE模型与SOLEM模型所使用的初始空间碎片数据也不同，故无法就Cube算法改进前后其参数对空间环境演化仿真的影响与SOLEM模型形成横向对比。鉴于SOLEM模型在国际联合研究中的出色表现，并出于避免不同演化模型因模型本身差异带来影响的考虑，本文仅利用SOLEM模型在保证其他关键影响因素保持不变的前提下，对Cube算法改进前后改变参数h对演化结果的影响进行研究。

SOLEM演化模型中将太阳辐射流量和地磁活动设为平均值，即F10.7=130 sfu，Ap=9。轨道预报算法为简化的半分析法，考虑地心引力、地球非球形引力摄动、大气阻力摄动、第三体引力摄动和光压摄动，大气密度模型采用NRLMSIS00模型。碰撞解体模型采用NASA标准解体模型。以2017年9月1日的空间碎片环境数据作为初始输入，预报200年至2217年9月1日。以2009.09.01至2017.08.31之间8年的发射情况作为发射模型在未来200年内不断循环，航天器任务寿命假设为8年，不考虑轨道维持和人工避碰措施，任务后轨道处置率假设为30%。

SOLEM模型在上述假设条件均不变的情况下，碰撞概率评估模型分别采用Cube算法和I-Cube算法，仅改变参数h的大小，研究其对未来200年空间碎片环境演化的影响。本文算例中参数h取值分别为5 km、8 km、10 km、30 km、50 km。每个算例均运行50次蒙特卡洛模拟并求平均。仿真结果如图4～图7所示，其结果量化如表2所示。

图4 采用Cube算法，未来空间碎片数量的演化Fig.4 Predictions of future space environment evolution using Cube method

图5 采用I-Cube算法，未来空间碎片数量的演化Fig.5 Predictions of future space environment evolution using I-Cube method

图6 采用Cube算法，未来200年空间碎片碰撞次数的预测Fig.6 Predictions of cumulative number of space debris collisions in future 200 years using Cube method

图4～图7以及表2所示的仿真结果表明，演化模型在其他如太阳辐射等关键影响因素保持不变的情况下，采用原Cube算法，改变所划分立方体的大小h会严重影响未来空间碎片环境的演化结果。就算例中h的取值范围(5～50 km)，不同的取值造成200年后空间碎片数量演化的预测值相差约17500个，为2017年初始碎片数量的134%；200年累计灾难性碰撞次数预测相差23次，非灾难性碰撞次数预测相差约27次。由于h的取值皆在“平均轨道半长轴的1%及以内”的合理范围，因而无法判断哪种演化结果可信。

而采用I-Cube算法后，改变参数h大小，未来空间碎片环境的演化结果不再受其显著影响。就算例中h的取值范围(5～50 km)，不同的取值造成200年后空间碎片数量演化的预测值相差仅为2017年初始碎片数量的18%，200年累计灾难性碰撞次数预测相差不到4次，非灾难性碰撞次数预测相差约6次。

图7 采用I-Cube算法，未来200年空间碎片碰撞次数的预测Fig.7 Predictions of cumulative numbers of space debris collisions in future 200 years using I-Cube method

由此可见，采用I-Cube算法后，未来空间碎片的演化结果高度一致，碰撞解体事件的预测不再受参数h的显著影响。相比于采用Cube算法，I-Cube算法对碰撞概率的计算更为准确合理，进而使空间碎片演化模型的稳定性与可信度显著提升。

4 结 论

I-Cube算法采用了严格表达式来计算空间物体间的碰撞概率，排除了原Cube算法中可能出现“碰撞概率”大于1的隐患。

I-Cube算法与Cube算法的模型假设不同。I-Cube算法假设只要两个物体间的距离在给定阈值范围内都存在碰撞可能性，而Cube算法假设只有位于同一个立方体内的物体之间存在碰撞可能性。相比之下，I-Cube算法的模型假设更符合物理真实。

I-Cube算法保留原Cube算法寻找碰撞配对物体的思路，仍通过在采样时刻对近地空间划分立方体的方法来快速寻找潜在的碰撞对，但寻找潜在碰撞对的范围由原来的同一立方体扩展至相邻的立方体。由于增加了寻找碰撞配对物体的复杂度，I-Cube算法牺牲了一部分计算时间，但从空间碎片演化模型的整体运行上看，计算速度仍可接受。

表2 采用Cube算法与I-Cube算法，改变参数h对未来空间环境演化的影响对比Table 2 Impacts of varying parameter values of h on the predictions of future space debris environment evolution using Cube algorithm compared with those using I-Cube algorithm

相比于Cube算法，I-Cube算法提升了碰撞概率计算方法的准确度与合理性，使空间碎片环境长期演化模型的演化结果不再受自身碰撞概率算法参数的影响，从而提高了空间碎片长期演化模型的稳定性与可信度。