关于Smarandache方程的可解性研究

杨 明 顺

(渭南师范学院 数理学院，陕西 渭南714099)

0 引言

1 几个引理

引理1[9]若函数y=f(x)满足：

(1)在闭区间[a,b]上连续；

(2)在开区间(a,b)内可导；

(3)f(a)=f(b),则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f′(ξ)=0。

引理3[11]设函数z=f(x1,x2,…,xn)在点(x1,x2,…,xn)具有偏导数且取得极值，则它在该点的偏导数必为0，即

2 结论及证明

证明 现将a分成3种情况：a>1，0

(1)先证在a>1的情况下，结论成立。

(2)再证在0

(3)最后证在a<0且a≠-1的情况下结论成立。

则由前面的结论可知在a<0且a≠-1的情况下结论依然成立。

有且仅有一组非负实数解x1=x2=…=xn-1=1。

证明 现将a分成3种情况：a>1,0

(1)当a>1时，由引理2可得

于是有

上式成立当且仅当

或x1=x2=…=xn-1=1。

即当a>1时，方程

仅有一组正实数解x1=x2=…=xn-1=1。

因为函数f(x1，x2,…,xn-1)关于x1,x2,…，xn-1偏导数存在，故对f(x1,x2,…,xn-1)分别求关于x1，x2，…，xn-1的偏导数，可得

…

…

故u(x)在(0,+)上是单调函数，所以对应于同一个函数值u(x0)，有且仅有一个x0成立。所以由

可得出x1=x2=…=xn=q,则(q,q,…,q)为原函数f(x1，x2,…,xn-1)可能的极值点，且仅有这一个极值点,由qn=1可得q=1,故(1,1,…,1)为原函数的极值点，此时极值为0。

事实上，假设函数f(x1，x2,…,xn-1)还有其他的极值点，设为x1′,x2′,…，xn-1′,则由引理3可知，在这一点必有x1′=x2′=…=xn-1′=1成立，与之前单调函数同一函数值对应唯一自变量矛盾,故函数只有点(1,1,…，1)这一个极值点。即此时函数

取得唯一极值，且极值为0。即当且仅当x1=x2=…=xn-1=1，方程

有且仅有一组非负实数解x1=x2=…=xn-1=1。

可化为

此时，则由前面讨论的情况可知，方程

的解依然是x1=x2=…=xn-1=1。