让实践教学使数学学习更有价值——以“探索图形”实践活动设计为例

湖北省武汉市硚口区崇仁路小学新时代校区(430000) 田陵桦

《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》提出：“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。”因此，教学时必须紧密联系生活实际，将静态知识动态化、可操作化，注重对数学事实的体验，让学生在生活中、实践中学习数学，从而体验学习数学的价值，感悟数学思想与方法。

“探索图形”一课是安排在认识长方体和正方体之后的一节综合与实践活动。虽然是5年级的课程，但大多数学生还是平面图形的思维方式，没有形成立体图形的概念，空间想象能力也比较欠缺。对于探究本课中表面涂色的大正方体切成若干小正方体后，各小正方体表面涂色的情况、位置特征等难以理解。因此，如何在教学中化繁为简，使抽象数学知识变得更具体，来增强学生学好数学的兴趣和信心，这是本节课实践活动设计的出发点和归宿点。

通过切、数、填、比、想、说等一系列教学活动，让学生在探索数学规律的同时，感受数学的结构美，获得成功发现数学规律的愉悦体验，激发学习数学的兴趣，发展数学思维能力和空间观念。

1 课前充分感知，确定探究的方向

课件展示动态三维立体图形，教师提问：你对正方体有哪些认识?这是1个棱长为10cm，表面涂上了蓝色油漆的大正方体。如果用刀将它如图1所示切割成一个个小正方体，你知道一共有多少个小正方体吗?是不是小正方体的每个面都涂上蓝色?

课件演示：顶点上的1块小正方体飞出去。教师提问：这块小正方体有几面是涂色的?它在大正方体的哪个位置上?

学生：在顶点处的这个小正方体，它露出了3个面，所以它有3面涂色的。

图1 切割正方体示意图

教师：小正方体涂色的面还有其他情况吗?有没有4个、5个或6个面涂色的?有没有未涂上颜色呢?说一说你的想法。如果根据涂色的情况给这些小正方体分类，你想怎样分类?

学生：可分为3面涂色、2面涂色、1面涂色和没有涂色的。

教师：要研究4类小正方体各有多少块，可以用什么方法进行研究呢?

学生：列表法。

教师：对，我们可以用列表法进行分类计数。

通过层层递进式教学，学生明确了学习实践任务，不断拓宽获取数学知识的渠道，学会了利用“列表法”进行分类计数，掌握了解决问题的方法，为后面开展自主合作实践学习奠定了基础，指明了方向。

2 创设认知冲突，感受探究的方法

教师：在这个大正方体中，每一类小正方体分别有多少个呢?如果请你来数一数，你有什么感觉?

学生：数量太多，数不清楚。

教师：这个图形比较复杂，我们数起来不方便。怎样才能解决这个问题呢?老师送给你们一个词语——知难而退。我们要研究大正方体平均分成若干个小正方体，其中3面涂色、2面涂色、1面涂色和没有涂色的小正方体各有多少块比较难，咱们就先退一步，比如先研究棱长是6cm的正方体平均分成若干个小正方体涂色的情况，还是比较难数，再退一步研究棱长是4cm的正方体平均分成若干个小正方体涂色的情况，然后再退一步，研究棱长是2cm的正方体平均分成若干个小正方体涂色的情况。还能不能再退了，为什么?

学生：不能。

教师：大家觉得我们从棱长为多少的正方体开始研究，便于我们找到答案、发现规律呢?像这样我们可以把复杂的问题，转化成简单的问题去研究，发现其中的规律后，再利用规律解决复杂的问题。这就是“化繁为简”的数学思想与方法。

3 实验操作量化，获取探究的数据

3.1 观察猜想

教师：大家先猜猜3面涂色、2面涂色、1面涂色和没有涂色的小正方体各有多少块与什么因素有关?

学生：3面涂色的正方体数量与顶点有关，2面涂色的正方体数量与棱长有关，1面涂色的正方体数量与面有关，没有涂色的的正方体数量与把大正方体表面的小正方体剥离后剩下的新正方体有关。

教师：这些涂色小正方体的位置不同，它们的数量是不是蕴含着什么规律呢?

3.2 实验验证

(1)提出实验要求：请4人小组合作，拿出每组准备的二阶、三阶、四阶魔方。

(2)这里可以将实验任务分解为3部分：感知学具魔方、完成表格、发现规律。

①摸一摸：魔方3面涂色的、2面涂色的、1面涂色的小正方体；②找一找：魔方3面涂色、2面涂色、1面涂色、没涂色的小正方体分别在原正方体的什么位置；③完成表1；④“想一想，说一说”发现规律，要求在数的过程中认真观察各类小正方体的位置特征。

表1 观察与发现

在“动手操作探索规律”的活动中通过任务的驱动和问题的引领，让学生动脑、动手、动口，多种感官协调活动，充分感悟。从观察魔方，到动画课件的演示，为学生的空间观念形成提供了有力的直观支撑。数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合的百般好，隔离分家万事休。”借助数形结合教学模式，有效地把数量规律与位置沟通起来，学生通过形的启迪，看到数的实质，实实在在的认识到规律的本质，进一步促进学生空间观念的发展，提高学生空间想象能力。

4 展示交流提升，发现探究的规律

4.1 展示交流，理清层次，为总结规律做好准备

4.1.1 探索：每类涂色小正方体位置特征

教师：我们先看3面涂色、2面涂色、1面涂色和没有涂色的小正方体有什么位置特征。

学生：3面涂色的小正方体都在大正方体的顶点上，2面涂色的小正方体在棱中间，1面涂色的小正方体在每个面的中间，没有涂色的小正方体在大正方体的中心，也就是把大正方体最外面1层的小正方体剥离后剩下的部分，它是1个新的正方体。

4.1.2 探索：每类涂色小正方体数量规律

教师：观察表1中的数据，发现其中的数据特点。根据刚才的研究经验，按这样的规律摆下去，棱长是5cm、6cm的正方体结果又会是怎样的，具体数据见表2。

表2 实验数据

4.1.3 归纳提升，揭示数学规律

教师：研究到这儿，同学们能不能发现正方体涂色问题有怎样的规律?

学生：3面涂色的小正方体位于顶点位置，因为正方体有8个顶点，所以无论是哪一种正方体3面涂色的小正方体都是8块。2面涂色的小正方体位于棱上除去两端的位置，因为正方体有12条棱，所以2面涂色的小正方体数量为：(棱长－2)×12(块)。1面涂色的小正方体位于每个面除去周边一圈的位置，因为正方体有6个面，所以1面涂色的小正方体数量为：(棱长－2)2×6(块)。没有涂色的小正方体位于大正方体除去表面一层的内部位置，剩下的每条棱上是：棱长－2(块)，所以没有涂色的小正方体数量为：(棱长－2)3(块)。

教师设疑：如果继续研究下去，大正方体棱长用字母n表示，你能找到4类小正方体的数量规律吗?

让学生先从棱长为2cm、3cm、4cm正方体中摸索4类小正方体的位置特征及块数规律。再给出新的任务：棱长为5cm、6cm的正方体结果如何，让学生加深对规律的认识。在此基础上让学生总结棱长为ncm的正方体的探究情况见表3。

表3 规律推理

通过对特殊实例的研究，把它提升到一般化的结论，让学生充分经历由简单到复杂，有具体到抽象的认知过程，丰富数学活动经验，初步体会建立数学模型的全过程。即从具体到抽象，从特殊到一般，逐步揭示图形之间的内在联系，并用数学语言和模型正确地表达发现的规律。这样使内化的理解外化表达，简约有序，提升概括的水平，从而把思维和推理提高到一个更高的层次。

5 回顾反思，体会数学价值

回顾上述的探索过程，教学中先从简单图形入手，在发现规律之后再用规律去解决复杂的问题，这种解决问题的常用方法叫做“以简驭繁”。在探索4类小正方体的数量规律时，运用了“数形结合”和“分类计数”的方法，这些数学研究中的常用方法让复杂的问题变得简洁清晰，有助于学生发现规律，体会学习数学的价值。总之，综合与实践可以理解为一种数学探究或数学建模活动，是学生综合运用所学的数学知识、思想、方法解决一些数学问题或现实问题的过程。思想感悟与经验积累决定了人的思维方式。学生只有对所经历的活动通过回顾、反思等内在的思考，才能将经历内化为能够理解的经验，才能让学生在活动中感受、体验，探索、发现，明理、提升。