关于一类多目标半无限规划的最优性条件

严建军，李 钰，杨 帆，郝 娜，张 杰

(1. 延安职业技术学院 农林建筑工程系, 陕西 延安 716000; 2. 延安大学 数学与计算机科学学院, 陕西 延安 716000)

随着多目标最优化和半无限规划的研究发展，凸性理论逐步被广泛地应用到各个研究范畴中，且取得了许多有意义的重要成果。文献[1]引入了(F,α,ρ,d)-凸函数，文献[2]对其进一步推广，得到了(C,α,ρ,d)-凸函数，并研究了涉及这类凸性的最优性条件和对偶结果。文献[3-7]对于涉及(C,α,ρ,d)-凸性的多目标规划、多目标分式规划等问题的最优性和对偶理论进行了研究。作者在此基础上，结合局部渐近锥、K-方向导数[8]和K-次微分[9]，提出广义(C,α,ρ,d)K,θ-凸函数，并在新的广义凸性下，研究了一类多目标半无限规划的最优性条件。

文中均假设X⊂Rn且非空, 记:

定义1.1[10]称函数f:X→R是局部Lipschitz的, 若∀z∈Rn, ∃k>0与U(z),对∀x,y∈U(z)，有

定义1.2[2]称函数C:X×X×Rn→R在Rn上关于第三个变元是凸的, 若∀(x,x0)∈X×X, ∀y1,y2∈Rn, 有

C(x,x0)(λy1+(1-λ)y2)

≤λC(x,x0)(y1)+(1-λ)C(x,x0)(y2), ∀λ∈(0,1)。

在文中, 均假设∀(x,x0)∈X×X, 有C(x,x0)(0)=0。

定义1.3[2]设函数f:X→R是局部Lipschitz函数, 若∃α:X×X→R+{0},ρ∈R,d:X×X→R+, 如果对∀x∈X, 有

[f(x)-f(x0)]/α(x,x0)

≥C(x,x0)(ξ)+ρd(x,x0)/α(x,x0), ∀ξ∈∂f(x0),

则称函数f在x0处是(C,α,ρ,d)-凸函数。

bi(x,x0)φ[fi(x)-fi(x0)]

≥αi(x,x0)C(x,x0)(ξi)+ρid2(θi(x,x0)),∀ξi∈∂Kfi(x0),

则称函数f=(f1,…,fp)在x0∈X处是广义(C,α,ρ,d)K,θ-凸函数。

如果函数f在X上每一点处为广义(C,α,ρ,d)K,θ-凸函数, 则称f在X上是广义(C,α,ρ,d)K,θ-凸函数。

注1.1若K取正切锥, 设C(x,x0)(ξ)=N(η(x,x0),ξ),b(x,x0)=1,φ(a)=a,α(x,x0)=1,ρ=0, 则在本文中提出的广义(C,α,ρ,d)K,θ-凸函数即为文献[11]中的η-(A,N)-凸函数。

注1.2若K取Clarke切锥, 设C(x,x0)(ξ)=F(x,x0;ξ),α(x,x0)=1,ρ=0, 则在本文中提出的广义(C,α,ρ,d)K,θ-凸函数即为文献[12]中的一致Fb-凸函数。

注1.3若K-次微分取通常意义下梯度, 设d2(θ(x,x0))=d(x,x0),φ(a)=a,b(x,x0)=1, 则在本文中提出的广义(C,α,ρ,d)K,θ-凸函数即为定义1.3。

2 主要结果

多目标半无限规划:

s.t.hj(x)≤0,j∈J,

首先考虑单目标规划问题

(P) mint(x)

s.t.hj(x)≤0,j∈J,

引理2.1[13]若x0是(P)的局部最小点且(P)在x0处的约束满足约束品性C0,则存在数(σj)j∈J, 使得

σjhj(x0)=0,j∈J,

σj≥0,j∈J。

引理2.2[10]x0是(MSFP)的有效解的充要条件是x0是p个规划问题(MSFPk)(k=1,…,p)的最优解, 其中(MSFPk)为

hj(x)≤0,j∈J。

对于与(MSFPk)有密切关系的规划(EMSFPk):

(EMSFPk) min(fk(x)-vkgk(x))

s.t.fi(x)-vigi(x)≤0,i=1,…,p,i≠k,

hj(x)≤0,j∈J,

注显然(MSFPk)与(EMSFPk)的可行集相同, 都记为E。

引理2.3x0是(MSFPk)的最优解的充要条件是x0是(EMSFPk)的最优解。

引理2.4若x0是(MSFPk)的最优解且(EMSFPk)在x0处满足约束品性C0, 则存在非负数τi(i=1,…,p,i≠k), (σj)j∈J, 使下面各式成立

σjhj(x0)=0,j∈J,

定理2.1设x0是(MSFP)的有效解, 在x0处(EMSFPk)(k=1,…,p)的约束满足约束品性C0,则∃λ=(λ1,…,λp)∈Rp,v=(v1,…,vp)∈Rp和σ∈R(J), 使得

σjhj(x0)=0,j∈J,

λ∈Λ++,v≥0,

证明已知x0是(MSFP)的有效解, 则根据引理2.2和引理2.3可知x0是(EMSFPk)(k=1,…,p)的最优解。

由K-次微分, 上式可化为

其中

定理2.2设x0是(MSFP)的有效解, 在x0处(EMSFPk)(k=1,…,p)的约束满足约束品性C0, 则∃λ=(λ1,…,λp)∈Rp和(σj)j∈J∈R(J), 使得

σjhj(x0)=0,j∈J,

λ∈Λ++,(σj)j∈J≥0。

(1)

(2)

(3)

(i)f(x), -g(x)在x0处分别是广义(C,α,ρ1,d)K,θ-凸函数、广义(C,β,ρ2,d)K,θ-凸函数;

(ii)h(x)在x0处是广义(C,γ,ρ3,d)K,θ-凸函数;

(iii)α1=…=αp=β1=…=βp=γ1=…=γ(J)=δ;

(iv)b1(x,x0)>0,b2(x,x0)>0;

若a≤0, 则线性函数φ1(a)≤0;

若a≤0, 则φ2(a)≤0;

则x0是(MSFP)的有效解。

至少存在k, 1≤k≤p, 有

将式(2)代入上式, 有

-gi(x))-(-gi(x0))]}<0,

由此可得

由条件(i) , 知

x0)),∀ξi∈∂Kfi(x0),∀ηi∈∂Kgi(x0),

结合函数C的凸性和条件(iii), 上式可化为

∀ξi∈∂Kfi(x0), ∀ηi∈∂Kgi(x0),

(4)

因hj(x)≤0,j∈J, 由式(3), 得

则由条件(ii) , 知

∀ζj∈∂Khj(x0),

由条件(iv)知

(5)

式(4)与式(5)相加, 并利用函数C的凸性和条件(iii), 可得

根据条件(v), 得

与式(1)产生矛盾！x0是(MSFP)的有效解。

(6)

(7)

其中函数C:X×X×Rn→R, 此外, 若下列条件成立

(i)f(x),-g(x)在x0处分别是广义(C,α,ρ1,d)K,θ-凸函数、广义(C,β,ρ2,d)K,θ-凸函数;

(ii)h(x)在x0处是广义(C,γ,ρ3,d)K,θ-凸函数;

(iii)α1=…=αp=β1=…=βp=γ1=…=γ(J)=δ;

(iv)b1(x,x0)>0,b2(x,x0)>0;

若a≤0, 则线性函数φ1(a)≤0;

若a≤0, 则φ2(a)≤0;

则x0是(MSFP)的有效解。

证明设x0不是(MSFP)的有效解, 则存在x∈X, 使得

至少∃k, 1≤k≤p, 有

因而, 有

gi(x0)fi(x)-fi(x0)gi(x)≤0,

即有

gi(x0)(fi(x)-fi(x0))+fi(x0)(gi(x0)-gi(x))≤0,因λ0∈Λ++, 则由条件(iv), 知

((-gi(x))-(-gi(x0)))]≤0,

对上式从i=1,…,p求和, 得

[(-gi(x))-(-gi(x0))]}<0,

由条件(i), 对∀ξi∈∂Kfi(x0), ∀ηi∈∂Kgi(x0), 知

[(-gi(x))-(-gi(x0))]}

由函数C的凸性和条件(iii), 上式可化为

(8)

则由条件(ii), 知

∀ζj∈∂Khj(x0),

上式求和, 并应用条件(iv)知

(9)

式(8)与式(9)相加, 并利用函数C的凸性和条件(iii), 可得

根据条件(v), 得

与式(6)产生矛盾！故x0是(MSFP)的有效解。

3 结语

本文定义了广义(C,α,ρ,d)K,θ-凸函数，讨论了涉及新广义凸性的一类多目标半无限规划的最优性条件，所得结果从理论上对已有凸性进行了有益推广，充实了广义凸性和数学规划的相关理论。还可进一步深入研究这类新广义凸性及其相关的对偶性、鞍点[14]和算法设计与稳定性分析等内容。