数学思想方法系列讲座（2）

函数和方程是初等数学的主要内容，它们都可以用来描述现实世界的数量关系，而且它们之间有着密切的联系，是解决实际问题的重要工具。

从小学数学到中学数学，数与代数领域经历了从算术到方程再到函数的过程。算术主要研究具体的、确定的常数以及它们之间的数量关系，方程主要研究确定的常数和未知的常数之间的数量关系，函数主要研究变量之间的数量关系。方程是立足于“式”的相等关系，函数却是变量间的依赖关系。

函数是初等数学内容的主干，主要包括函数的概念、图像和性质，重点介绍了几类典型的函数。函数的思想是对函数内容在更高层次上的抽象、概括与提炼，是从函数各部分内容的内在联系和整体角度来考虑问题、研究问题和解决问题。具体来说，就是用运动和变化的观点，集合与对应的思想，即用函数的观点去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，它贯穿于小学、中学数学的全部内容，是在学习正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数以及三角函数的过程中逐渐形成，并为研究这些函数服务的。在研究方程、不等式、复数、数列、解析几何等内容时，函数思想也起著十分重要的作用。

方程是初中代数的主要内容。初中阶段主要学习几类方程和方程组的解法，但在初中阶段很难形成方程的思想。所谓方程的思想，就是分析、研究数学问题中变量间的关系，通过设未知数、列方程（不等式）或方程（不等式）组，解方程（不等式）或方程（不等式）组等步骤，达到求值目的的解题思路和策略，是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决，是对方程概念的本质认识。

函数和方程虽然都是表示数量关系的，但是它们之间有本质的区别。如二元一次不定方程中的未知数往往是常量，而一次函数中的自变量和因变量一定是变量，因此二者有本质的不同。方程必须有未知数，未知数往往是常量，而且一定用等式的形式呈现，二者缺一不可，如3x-5=7。函数至少要有两个变量，两个变量依据一定的法则相对应，呈现的形式可以是解析式、图像和表格等，如集合A为大于等于1、小于等于20的整数，集合B为小于等于40的正偶数，那么两个集合的数之间的对应关系可以用y=2x表示，也可以用图象表示，还可以用表格表示。

函数思想与方程思想是密切相关的。函数与方程、不等式是通过函数值等于零、大于零或小于零而相互关联的，它们之间既有区别又有联系。函数与方程的思想，既是函数思想与方程思想的体现，也是两种思想综合运用的体现，是研究变量与函数、相等与不等过程中的基本数学思想。

对于函数y=f（x），当y=0时，就转化为方程f（x）=0，也可以把函数式y=f（x）看作二元方程y-f（x）=0。函数问题（例如：求函数的值域等）可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f（x）=0，就是求函数y=f（x）的零点。

函数与不等式也可以相互转化，对于函数y=f（x），当y>0就化为不等式f（x）>0，借助于函数的图像与性质可解决相关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。

函数与方程思想在解决问题中的应用，一是借助有关初等函数的性质，解决有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的。

函数与方程的思想是数学的基本思想，也是数学教学的重点。教学中，我们可以使用选择题和填空题训练函数与方程思想的基本运用，而在解答题中，则从更深的层次，在知识网络的交汇处，从思想方法与相关能力的关系角度进行综合教学和训练。

函数思想主要用于求变量的取值范围、解不等式等。方程思想的应用可分为逐渐提高的四个层次：（1）解方程或不等式;（2）含参数的方程或不等式的讨论;（3）转化为对方程的研究，如曲线的位置关系、函数的性质、集合的关系;（4）构造方程或不等式求解。

我们来看看下面两个问题的教学：

问题1. 若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈（0，[12]]成立，则a的最小值是（ ）。

A. 0B. -2C. -[52]D. -3

教学中可这样引导学生分析和思考：

①分离变量，有a≥-（x+[1x]），x∈（0，[12]]恒成立，右端的最大值为-[52]，故选C。

②看成关于a的不等式，由f（0）≥0，且f（[12]）≥0可求得a的范围。

③设f（x）=x2+ax+1，结合二次函数图像，分对称轴在区间的内外三种情况进行讨论。

④f（x）=x2+1，g（x）=-ax，则结合图形（像）可知原问题等价于f（[12]）≥g（[12]），即a≥-[52]。

⑤利用选项，代入检验，D不成立，而C成立，故选C。

不难看出，思路①～④具有函数观点，可谓居高临下，而思路⑤又充分利用了题型特点。

问题2.若抛物线[y=-x2+nx-1]和两端点为A（0，3），B（3，0）的线段AB有两个不同的交点，求m的取值范围。

教学时先引导学生由方程思想将曲线的交点问题转化成方程的解的问题，再由方程有解转化为二次函数的实根分布问题，最后通过解不等式（组）得到所求范围。因此，在综合问题教学中，解决一个问题常常不止需要一种数学思想，而是两种数学思想方法的联用。例如，函数思想与方程思想的联用，它们间的相互转换一步步使问题获得解决，转换的途径为：函数→方程→函数，或方程→函数→方程。

实际上，函数与方程是相互联系的，在一定条件下，它们可以相互转化。函数思想在于揭示问题的数量关系的本质特征，运用函数思想解题，重在对问题中的变量的动态研究，从变量的运动、变化、联系和发展角度打开思路;而方程思想则是动中求静，研究运动中的等量关系。函数思想与方程思想常常是相辅相成的，函数的研究离不开方程。列方程（组）、解方程（组）和研究方程（组）的特性，都是应用函数与方程思想时需要重点考虑的问题。

在函数与方程思想教学中，应特别注意以下几点：（1）深刻理解一般函数的图像和性质，熟练掌握正比例函數、反比例函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等函数的具体特征，是应用函数思想的基础。（2）在解决非函数问题时，要仔细观察和分析问题中的各元素，产生由此及彼的思想，构造出相关的函数模型，使问题获得巧妙地解决。（3）许多数学问题中都含有多元参变量，根据题目需要变换“主元”往往能出奇制胜，但不要脱离题目本身的条件。（4）函数方程思想与其他几种思想融合使用，才能显示出其强大威力，不要脱离其他思想单独“钻题”，浪费时间。

函数思想，不只是利用函数的方法技巧来研究和解决有关函数自身的问题，更重要的是运用函数的观念去分析问题、解决问题，它的精髓是通过建立函数关系或构建函数，再利用函数的图像和性质去分析问题、转化问题、解决问题。实际应用时，主要体现在：构造函数，运用函数性质;选定主元，揭示函数关系;选取辅助变元，确定函数关系;利用二项式定理构造函数;用函数的思想解答数列、解析几何、立体几何等问题;建立函数关系解答应用问题;等等。

方程思想，说白了就是若变量之间的关系是通过解析式表示的，则可以把解析式看成一个等式，然后运用方程的理论就可以使问题得到解决。主要体现在：直接解方程、分析方程的解，通过换元构成新方程，直接构造方程求解。

由此可见，熟练掌握基本初等函数的图像和性质，是应用函数与方程思想解题的基础，善于根据题意构造、抽象出函数关系式是用函数思想解题的关键。

高慧明

北京市中学数学特级教师，现任教于北京市第十二中学;教育部课程改革“全国先进工作者”，教育部“国培计划”全国中小学教师培训、班主任培训、校长培训特邀主讲专家，受邀为教育部“国培计划”做有关数学课堂教学、班级管理、教师专业成长等专题报告多场;在《教育研究》《中国教育学刊》《数学教育学报》《数学通报》等学术期刊上发表论文500余篇，其中100余篇被中国人民大学复印报刊资料《中学数学教与学》《中小学教育》全文转载;已出版个人专著《高中数学思想方法及应用》《高考数学命题规律与教学策略》《让高中生学会学习》《高慧明数学教学实践与研究》（丛书）等多部，应邀主编、参编教材和教学著作30余部。