探析磁场中的“八求”

成金德

带电粒子在磁场中运动的问题是一类典型的力电综合问题，它具有综合性强、能力要求高、解题难度大等特点。要掌握解决此类问题的方法，必须先熟练把握以下具有奠基性的“八求”。

1. 求时间.

求带电粒子在磁场中的运动时间，关键在于确定运动时间t与带电粒子做匀速圆周运动的周期T间的关系。一般情况下，它们的关系为t=T，θ指t时间内带电粒子运动经过的轨迹圆弧所对应的圆心角。

【例1】如图1所示，在半径为R的圆内，有方向垂直纸面向里的匀强磁场，一带电粒子以初速度v沿半径ao方向从a点射入磁场，又从c点飞出磁场，测出∠aoc=120°，则粒子在匀强磁场中运动的时间为多大？

分析：带电粒子在匀强磁场中仅受洛仑兹力作用而做匀速圆周运动，如图2所示。过a、c两点分别作速度的垂线ab和bc，则它们的交点b即为粒子做圆周运动的圆心，由几何关系知：

∠abo=30°

粒子做圆周运动的半径为：

r=Rcot30°=R

因为T=，而t=T。解得t=。

2. 求半径.

半径有轨道半径和区域半径之分。轨道半径指带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的圆周半径，而区域半径是指某一特定圆区域的圆周半径。求轨道半径有二条途径：其一，由带电粒子受到的洛仑兹力提供向心力，即qvB=m得r=;其二，根据题设条件，利用几何关系求轨道半径r。求区域半径时，可依据题设条件分析求解。

【例2】一带电质点，质量为m，电量为q，以平行于ox轴的速度v从y轴上的a点射入如图3中第一象限的区域。为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形匀强磁场区域的最小半径。重力忽略不计。

分析：为使带电质点偏转90°角，质点在磁场中必须运动过个圆周，即从图4中的c点运动到d点。作c、d两点速度的垂线交于o点，o点为质点做匀速圆周运动的圆心，即oc 等于轨道半径r，由洛仑兹力提供向心力得：

qvB=m……①

为确保质点能在cd段做圆周运动，则cd段所在处必须存在磁场，显然，以cd连线的中点o′为圆心、以o′c 的长度为半径R的磁场区域是面积最小的，所以有：

R=r……②

利用①②两式解得：R=。

3. 求速度.

带电粒子在磁场中做匀速圆周运动时，洛仑兹力提供向心力，即qvB=m，得r=，从式中看出，粒子的速度制约粒子在磁场中的运动轨迹。因此，求带电粒子在磁场中的运动速度时，一方面要注意利用qvB=m，另一方面还须兼顾题设条件。

【例3】如图5所示，在POQ区域内分布有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，有一束负离子流沿纸面垂直于磁场边界OQ方向从A点射入磁场，已知OA=s，∠POQ=45°，负离子的质量为m，带电量为-q，要使负离子不从OP边射出，负离子进入磁场时的速度最大不超过多少？

分析：要使负离子不从OP边射出，则离子做圆周运动的圆弧曲线不能越过OP边界线，当负离子进入磁场的速度达到最大时，负离子做圆周运动时的圆弧曲线将恰好与直线OP相切，如图6所示。则△OBC是直角三角形，有：OB=r

因为：OA=s，AB=r

所以：AB=OB-OA 即：r=r-s

整理后得：r==（+1）s

因为：qvB=m，解得：v==（+1）s。

4. 求偏角.

求带电粒子在磁场中的偏转角时，注意从以下二个方面入手。其一，过粒子在磁场中的始末位置作速度的垂线，交点即为粒子做圆周运动的圆心;其二，利用几何关系求出偏角θ。

【例4】电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术实现的。电子束经过电压为U的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图7所示。磁场方向垂直于圆面，磁场区的中心为O，半径为R。当不加磁场时，电子束将通过O点将打到屏幕的中心M点，若所加磁场的磁感应强度为B，求电子射出磁场时的偏转角θ。

分析：电子在电场中做加速运动，由动能定理得：eU=mv2……①

电子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得：evB=m……②

过电子射入点a和射出点b作速度的垂线o′a和o′b，交点o′即是电子做圆周运动的圆心，如图8所示。由几何关系得：

tan=……③

解以上三式得：θ=2arc tan（BR）

5. 求路程

带电粒子在磁场中做匀速圆周运动时，它在一个周期内经过的路程等于圆周的周长，故可用s=n×2？仔r求路程（n为运动的周期数，r为轨道半径）。

【例5】一个电子（质量为m，电量为e）以初速度v从x轴上某点垂直x轴进入匀强磁场区域，如图9所示，已知x轴上方磁感应强度为B，x轴下方磁感应强度为2B。求电子在二个周期内通过的路程是多少？电子运动二个周期通过的位移是多少？

分析：先分析电子在磁场中的运动情况，并画出它的运动轨迹，如图10所示。由图可知电子在二个周期内通过的路程为：s=2？仔r1+2？仔r2

而：qvB=m，qvB=m，

所以：s=

而電子在二个周期内的位移大小等于始末位置间的距离，即：s位=ab=2r1=。

6. 求螺距.

当带电粒子的速度方向与匀强磁场方向不垂直时，如图11所示。该粒子将做螺旋线运动。它的轨迹半径r=（v⊥指与磁场方向垂直的分速度），螺距为s=v|| T（v|| 指与磁场方向平行的分速度，T为周期）。

【例6】如图11所示为沿水平方向的匀强磁场，磁感应强度为B，一质量为m、带电量为-q的粒子以初速度v沿磁感应强度B方向成θ角射入磁场，粒子的重力不计。求带电粒子的运动周期和螺距。

分析：将v分解为沿B方向的v|| 和垂直于B方向的v⊥兩个分速度，即：

v|| =vcosθ，v⊥=vsinθ

沿B方向，带电粒子做匀速运动;在垂直于B方向，带电粒子做匀速圆周运动，带电粒子的合运动即为螺旋线运动。如图12所示。

在B方向，螺距为：s=v|| T

在垂直于B方向有：qvB=m，

而：T==，解得：s=vcosθ×=。

7. 求轨迹.

确定带电粒子在磁场中的运动轨迹，一般用r=进行分析判断，从式中看到，带电粒子的轨道半径随v和B的变化而变化。

【例7】一带电粒子沿垂直于磁场方向射入一匀强磁场，粒子的一段径迹如图13所示，径迹上每一小段都可以看成圆弧，由于带电粒子使沿途空气电离，粒子的能量逐渐减小，但电量保持不变。则可判断（     ）

A. 粒子从a点向b点运动，粒子带正电

B. 粒子从a点向b点运动，粒子带负电

C. 粒子从b点向a点运动，粒子带正电

D. 粒子从b点向a点运动，粒子带负电

分析：带电粒子在匀强磁场中运动时，有qvB=m，即粒子的轨道半径为r=。由于带电粒子使沿途空气电离，粒子的动能减小，即速度变小，从r=中看出，轨道半径将变小，可见粒子是从b点向a点运动。再运用左手定则可判定该粒子带正电。所以正确选项为C。

8. 求范围.

带电粒子在有界的磁场中运动时，求解带电粒子从什么范围内射出磁场或粒子将到达边界上的哪些区域的问题，关键在于带电粒子能到达的边界位置，即两个特殊端点，解题中要充分利用粒子做圆周运动的圆弧（或轨道半径）与边界约束条件之间的关系。

【例8】如图14所示为一足够长但宽度d=8.0×10-2 m的匀强磁场，磁感应强度B=0.33T，方向如图14所示，在磁场边界MN上有一放射源S，从S上可发射出沿纸面向各个方向的α粒子，初速度为v0=3.2×106 m/s。已知α粒子的的质量m=6.6×10-27 kg，电量q=3.2×10-19 C。试求α粒子从磁场的另一边界PQ射出的长度范围。

分析：α粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为：

qvB=m，

则有：r===0.20m

对所有从S射出的α粒子在磁场中的运动轨迹进行分析可知，从S射出沿边界MN向下运动的α粒子将到达边界PQ的最下端a处，如图15所示，该粒子做圆周运动的圆心o1，由几何关系得：

y1===0.16m

从S射出，到达边界PQ时速度方向正好沿边界向上运动的α粒子将到达边界PQ的最上端位置b，如图15所示。由几何关系知：y2==0.16m，

可见，α粒子射出的长度范围为：ab=y1+y2=0.32m。

总之，熟练掌握“八求”，认真打好基础，以求有效解答带电粒子在磁场中的运动问题。

责任编辑 李平安