可靠度限制下相控阵雷达天线阵面T/R单元维修模型*

蒋 伟，盛 文，刘诗华，鲁 力

(空军预警学院 防空预警装备系， 湖北 武汉 430019)

据统计，近5年来美国用于军事装备的维修保障费用已经达到总军费开支的14.2%以上，如何在确保装备正常运行的前提下进一步削减维修保障费用已成为急需解决的关键问题[1]。因此，在大数据时代背景下，要求装备维修保障人员具有及时高效的精确保障理念，即能通过装备的大量运行历史数据，运用信息化手段对装备的维修策略进行精确决策，在保障费用限制的条件下，最大限度提高装备的保障效能。相控阵雷达作为弹道导弹预警和空间目标监视任务的主要装备[2-4]，其在出厂设计时具有以下特点：一是相控阵雷达T/R单元数量多达成千上万，单个T/R单元失效并不影响天线的性能；二是相控阵雷达系统中具有完善的机内检测 (Built In Test, BIT)能力，天线阵面故障T/R单元数量以及位置信息能够实时显示，供维修决策人员参考。

相控阵雷达系统的冗余设计以及机内自检能力为T/R单元的维修策略问题提供了有利条件[5-10]。许多学者对k/N系统的维修策略问题进行研究，文献[11-14]中k/N系统所采用的维修方式是，在任意一项部件失效后立即进行换件维修的方式，该方法只适合部件数量较少的情况；文献[15]中张涛等建立了(m,NG)维修策略下的使用可用度模型，并通过实际仿真分析了不同参数m和NG对系统使用可用度的影响；文献[16]对文献[15]的模型进行改进，建立了两级维修体制下的定数维修模型，并分别讨论了三种情况下系统参数m和r的取值。文献[17]中贾秀芹等利用定时定数混合截尾寿命原理，建立了k/N系统在采用(n,L,r,r)维修策略时的使用可用度模型。

本文主要针对大部分维修活动难以使部件真正地修复如新, 经过维修后的部件更多的处于一种介于“全新”和“如旧”之间的状态这一特点，突破已有模型中“修旧如新”的限制条件，引入失效率递增因子，首先对平面阵相控阵雷达T/R单元失效下的天线性能参数进行分析，根据指标确定系统不能正常工作的失效T/R单元阈值；其次在系统一定可靠度水平上，建立了T/R单元的维修模型。

1 雷达天线性能参数分析及阈值选取

1.1 雷达天线性能参数分析

已知某平面相控阵雷达的T/R单元数量为1600(40×40)，按矩形格排布方式均匀分布在天线阵面上，天线波束最大指向为θ=90°,φ=30°，且各T/R单元在横向和纵向上的间距分别为d1和d2，相邻T/R单元的间距为半波长，即d1=d2=d=0.5λ，坐标记为(i,z),其中i=0,1,…,39;z=0,1,…,39，具体排布方式如图1所示。

图1 T/R单元排布方式Fig.1 Molecular structure of T/R unit

根据图1所示的排布方式，平面相控阵雷达的方向图可以表示为[18]

(1)

式中：aiz表示坐标为(i,z)的T/R单元幅度值;S(i,z)表示坐标为(i,z) 的T/R单元示意值，当该T/R单元正常工作时，S(i,z)=1,相反失效时S(i,z)=0;相邻T/R单元之间沿y轴和z轴的阵内相位差分别为α,β。

根据方向图计算公式可以求得天线发射增益Gt、发射总功率P以及最大探测距离Rmax三个参数指标，则

(2)

式中：w2表示比例系数；Gr为接收天线功率增益；σ为目标有效反射面积；λ为雷达工作波长；T0为标准噪声温度；K为玻尔兹曼常数；Br为接收机带宽；Fr为接收机噪声系数；(S/N)min为最小可检测信噪比。

由于T/R单元总共有1600个，根据式(2)可以计算出增益下降率和最大作用距离下降率等参数，即

(3)

根据式(3)可以计算出不同失效T/R单元数量下的增益下降率、最大作用距离下降率。

1.2 阈值选取

维修阈值的选择取决于雷达的状态，即装备性能下降的程度，而大型相控阵雷达天线性能指标主要包括天线增益、最大作用距离、副瓣电平。根据该型雷达设计指标要求，当天线发射增益下降15%、接收增益下降15%、最大作用距离下降10%、副瓣电平大于-24 dB时，雷达不能正常工作。根据上述分析，可列出每种指标对应的损坏阈值，具体如表1所示。

表1 各指标对应的损坏阈值

根据上述分析，为满足所有参数指标要求，可以确定失效T/R单元数量阈值为210，即天线阵面可视为1390/1600的k/N系统。

2 问题描述及符号说明

2.1 问题描述

大型相控阵雷达天线阵面由N个同类型的T/R单元组成，且每个T/R单元由发射模块、限幅放大器开关以及数字通道三种车间可更换单元组成。假设备件库存有两种T/R单元，一种是新的T/R单元，另一种是修复过的T/R单元,失效率函数分别为f1(t)，f2(t)，且f2(t)=af1(t)。本文采用的维修策略为：系统开始运行时，N个T/R单元都正常，如若当运行时间为T时，系统仍然正常工作(T/R单元故障数量小于N-k+1)，则利用库存中修复过的T/R单元更换系统中所有的故障T/R单元；如若在运行时间为T1(T1

图2 雷达装备运行周期Fig.2 Operation cycle of radar equipment

2.2 符号说明

Ri(t):系统第i个小周期内的可靠度。

f1(t):新T/R单元失效率函数。

f2(t):修复过的T/R单元的失效率函数。

a:失效率递增因子，a>1。

E(tpi):第i个小周期运行后的预防性换件维修时间。

E(tfi):第i个小周期运行后的故障换件维修时间。

Cpi:第i个小周期运行后进行一次预防性换件维修费用。

Cfi:第i个小周期运行后进行一次故障换件维修费用。

r1(t):未经修复过T/R单元的可靠度。

r2(t):修复过T/R单元的可靠度。

E(mi):第i个小周期结束时天线阵面上修复过的T/R单元期望数量，且本文假设E(mi)

N:天线阵面T/R单元总数量。

k:系统正常工作所需的最小T/R单元数量。

A(T,r):系统的使用可用度。

M(T,r):系统单位时间内的维修费用。

3 天线阵面T/R单元维修模型

3.1 模型参数计算

本文选取系统的可靠度、使用可用度以及单位时间维修费用作为系统维修决策中的三个关键要素。T/R单元属于电子器件，因此本文假定T/R单元的失效率函数服从指数分布，即

(4)

则新T/R单元和修复过T/R单元的可靠度为

(5)

根据k/N系统的特点可知，当N个T/R单元中至少有k个单元正常工作时，系统才能工作，因此系统的初始可靠度可以表示为

(6)

第i个小周期结束时，天线阵面上修复过的T/R单元期望数量为

(7)

此时天线阵面的T/R单元由经过修复后的E(mi)个T/R单元和未经过修复的[N-E(mi)]个T/R单元这两部分组成，即这两部分k-p+j与p之和k+j中，必须确保至少有k个能够正常工作，则系统第i个小周期内的可靠度为

[1-r2(t)]E(mi)-p

(8)

第i个小周期内的平均不能工作时间可以表示为

MDT=E(tpi)·Ri(T)+[1-Ri(T)]·E(tfi)

(9)

假设有r个维修组进行换件维修，且当r小于需换件维修的T/R单元数量时，E(tpi)和E(tfi)可以表示为

(10)

式中，μ定义为单个T/R单元的换件维修率。

小周期T内的平均能工作时间为

(11)

一个大周期内系统的使用可用度为

(12)

同样地，单位时间的维修费用可以表示为

M(T,r)=

(13)

3.2 T/R单元维修模型

由前述分析可知，本文建立了以固定小周期时间T以及换件维修组数量r为决策变量，相控阵雷达系统的使用可用度以及可靠度为限制条件，维修费用率最小为优化目标的维修模型，如式(14)所示。

(14)

式中：A0为系统最小可接受的使用可用度；R0为系统最小可接受的可靠度。

3.3 维修模型求解算法

在上述所建立的模型中，小周期T及换件维修组数量r是影响系统可靠度、使用可用度以及维修保障费用的重要参数，为了求解模型中的T以及r，本文设计了一种适合求解该模型的边际效能算法，具体流程如图3所示。

图3 模型求解算法流程图Fig.3 Flow chart cycle of model algorithm

该边际效能算法的核心思想为：首先根据T/R单元的修复能力确定小周期个数n;其次根据式(7)计算出第i个小周期结束时的可靠度；最后在小周期个数以及小周期时间T的范围确定后，选取参数T=1,r=1作为算法的初始条件，分别对参数T和r加1，并计算其中一个参数加1时产生的边际效能(增加的使用可用度/增加的维修费用)，对边际效能大的参数加1，如此反复直至使用可用度的值达到A0。

4 实例仿真

根据前文分析可知，当T/R单元故障数量大于210时，无法正常完成规定预警探测任务，因此该天线阵面可以等效成一个1390/1600的k/N系统。已知T/R单元的失效率服从参数为λ=0.000 5的指数分布，Cfi=10 000元，Cpi=2000元，换件维修率μ=2个/h，故障率递增因子a=1.15，系统最小可接受的使用可用度A0=0.98，系统最小可接受的可靠度R0=0.9。

本文假定备件库存量充足，根据前面所建立的模型和求解算法，按步骤求解如下。

Step1：根据T/R单元的维修能力，本文取小周期数量为5，5个小周期为一个大周期，即前4个小周期天线阵面故障T/R单元用修复过的T/R单元更换，第5个小周期时将阵面上所有经标记为修复过的T/R单元和故障T/R单元用新T/R单元更换，第6个小周期开始重复上述运行方式。

Step2：根据某型相控阵雷达设计指标要求，其可靠度不低于0.9，根据式(7)～(11)可以计算出不同工作小周期T的可靠度，如表2所示。

表2 不同工作小周期T的可靠度

从表2可以看出，随着小周期T时间增长，系统的可靠度下降，当小周期T大于245时，不满足可靠度不低于0.9这一限制条件，因此必须满足小周期T≤245。

Step3：根据上述建立的模型，运用边际效能算法和Step 2中的T≤245这一限制条件可求出最佳维修小周期T=239 h，换件维修组数量r=2，维修费用率为8.534元/h，此时相控阵雷达系统的使用度为0.981 6>ASET=0.98。

当换件维修组数量r=2时，维修费用率以及使用可用度随不同维修小周期T的变化曲线如图4～5所示。

图4 维修费用率随不同维修小周期T的变化曲线Fig.4 Average cost per unit time in different minor operation cycle T

图5 使用可用度随不同维修小周期T的变化曲线Fig.5 Operational availability in different minor operation cycle T

5 结论

针对当前依据维修保障人员经验对相控阵雷达装备T/R单元进行换件维修可能产生误差的实际，本文首先对平面阵相控阵雷达天线性能进行分析，对不同失效数量下的天线增益、峰值副瓣电平进行计算，从而确定了天线阵面不能正常工作的T/R单元失效阈值。其次，针对大部分维修活动都难以使T/R单元修复如新的事实，引入故障率递增因子，在系统一定可靠度水平上，以相控阵雷达系统的使用可用度和维修费用率为联合优化决策参数，建立了T/R单元的定时维修模型。最后，对模型中的最佳维修小周期和换件维修组数量进行求解并进行了实例仿真验证，为实现对大型相控阵雷达装备进行及时、可靠、经济的维修保障提供理论依据。