回归教材习题 突破“感”“动”共存问题——以人教版教材3-2第四章第二节课后习题第7题为例

云南 李鑫磊 和永芳

泼墨三千烟火，突破“感”“动”共存。

根据引起磁通量变化的不同方式和不同机理，可以将感应电动势分为动生电动势和感生电动势。能够正确分析动生电动势和感生电动势是正确理解和应用电磁感应定律的重要基础。当动生电动势和感生电动势同时存在时，学生一般都不能够完全正确地解决问题。笔者根据多年的教学实践，以人教版3-2第四章(电磁感应)第二节(探究电磁感应的产生条件)的课后习题第7题(课本第9页)为例来探讨动生、感生电动势共存问题。同一道经典习题可以从多角度进行分析和讲解，有助于提高学生理解和解决问题的能力。从不同角度对经典习题深入挖掘来突破高考物理核心考点中的难点问题，从而提高高考复习备考效率。

一、回归教材习题

【教材课后习题原题】如图1所示，固定于水平面上的金属架CDEF处在竖直向下的匀强磁场中，金属棒MN沿框架以速度v向右做匀速运动。t=0时，磁感应强度为B0，此时MN到达的位置恰好使MDEN构成一个边长为L的正方形。为使MN棒中不产生感应电流，从t=0开始，磁感应强度B应怎样随时间t变化？请推导这种情况下B与t的关系式。

图1

【解析】要使回路中不产生感应电流，穿过回路的磁通量应保持不变，则有

ΔΦ=0，即Φ1=Φ2①

B0L2=BL(L+vt) ②

【点评】本习题出现在教材3-2第9页第四章第二节习题第7题，本习题是在探究电磁感应的条件下而设置的，习题中没有明显涉及感应电动势的相关问题，只需要根据磁通量的变化就可以解决问题。本题中磁场随时间在变化，导体棒也在切割磁感线。是很典型的“感生”“动生”电动势共存问题。在高考复习备考的时候，我们可以将此题作为感应电动势问题的母题进行适当的拓展和改编，突破电磁感应中“感生”“动生”共存问题，从而提高复习备考效率。

二、教材习题的拓展和改编

【拓展1】从t=0开始，磁感应强度B随时间t变化的示意图为

( )

A

B

C

D

【拓展立意】根据习题的分析解答式可知：B随t的增大而减小，且减小得越来越慢(斜率是负值，且数值逐渐减小)，可知C正确。目的是培养学生在正确分析物理情景后用数学解决实际物理问题的能力，从而提高学生的核心素养。

【拓展2】(1)若金属棒的电阻为r，金属架电阻忽略不计，从t=0时刻起，磁感应强度均匀增加，每秒增加K，同时保持金属棒静止，求金属棒中的感应电流大小和方向。

(2)在(1)情况中，始终保持金属棒静止，当t=t1时,需施加的水平方向上垂直于金属棒的外力F应该为多大？

(3)从t=0时刻起，磁感应强度均匀增加，每秒增加K，金属棒以速度v向右做匀速直线运动，求t时刻金属棒中的感应电动势。

【解析】(1)磁感应强度每秒增加K，则有

B=B0+Kt①

I的方向：N→M(或逆时针方向)。

(2)金属棒静止，合力为零。此时安培力等于外力。

F=F安=BIL①

B=B0+Kt1②

根据楞次定律和右手定则可知，磁场变化和金属棒切割磁感线产生的感应电流方向相同，都是逆时针方向，所以感应电动势应该是动生电动势和感生电动势相加。

=K(L+vt)L+Lv(B0+Kt)

=KL2+B0Lv+2KLvt②

由②可以知道，此时产生的感应电动势是瞬时感应电动势，与t时刻对应。

解法二：微元法(在Δt→0时磁通量的变化量ΔΦ=Φ2-Φ1来计算)

Φ1=BS=(B0+Kt)(L+vt)L=B0L2+(B0Lv+KL2)·t+KLvt2①

Φ2=B0L2+(B0Lv+KL2)(t+Δt)+KLv(t+Δt)2②

ΔΦ=Φ2-Φ1=B0L2+(B0Lv+KL2)(t+Δt)+KLv·(t+Δt)2-[B0L2+(B0Lv+KL2)t+KLvt2]=B0LvΔt+2KLvtΔt+KL2Δt+KLvΔt2③

因为Δt→0很小很小，所以可以将KLvΔt项去掉。

Φ=BS=B0L2+(B0Lv+KL2)t+KLvt2①

当时间间隔很短时，t1=t2=t，所以t1+t2=2t

E=B0Lv+KL2+2KLvt④

解法四：求导法(利用数学中的导数知识，磁通量Φ对t求导)

Φ=BS=(B0+Kt)(L+vt)L

【改编后例题】如图3所示，两根固定于水平桌面上的光滑平行金属导轨CD和EF处在竖直向下的匀强磁场中，导轨间距为L，每根导轨每米的电阻为r0，导轨左端用导线连接一阻值为R的电阻，导线部分电阻不计；开始时磁感应强度为B0，从t=0时刻起，磁感应强度均匀增加，每秒增加K。一电阻为r的金属杆可在导轨上无摩擦地滑动，在滑动的过程中始终保持与导轨垂直并接触良好，在t=0时刻金属棒MN的位置恰好使MDEN构成一个边长为L的正方形。在外力的作用下，金属杆以恒定的加速度a从静止开始向右滑动。求：

图3

(1)在t=t0时刻的感应电流以及此刻金属棒所受的安培力；

(2)在t=0到t=t0时间间隔内，流过电阻R的电荷量的绝对值。

【解析】(1)根据开始时磁感应强度为B0，从t=0时刻起，磁感应强度每秒均匀增加K。

B=B0+Kt①

t时刻回路中的总电阻为

感应电动势为

t=t0时刻，金属棒所受的安培力为

方向：垂直金属棒向左

从t=0到t=t0磁通量的变化量为

所以从t=0到t=t0通过R的电荷量为

【改编立意】本题是笔者根据2000年上海高考物理第18题，2003年江苏高考物理第18题，2016年高考新课标3卷第25题改编的。本题解题方法较多，拓展中已经举例了，在此不再赘述。本题难度比这三份试卷中的高考题要难，旨在让学生理解和运用规律的同时考查数学计算能力。会用规律的同时也要注意细节问题才能拿到高分，比如本题中的总电阻的求解，磁感应强度随时间的变化规律，安培力的方向等。本题以金属棒在变化磁场中的运动为背景，考查学生对法拉第电磁感应定律、楞次定律、右手定则、闭合电路欧姆定律等知识的理解和应用，将多个高考核心考点融合，考查学生理解推理、实际应用和用数学处理物理问题的综合能力。培养学生建立和应用模型、科学推理和数学应用的科学思维素养。

三、结语