转盘上物块摩擦力的分析及变式训练

广东 古焕标

转盘模型问题是高中物理中学习“向心力”后的习题内容，是对摩擦力概念的深入理解，也是高考常考内容之一。按照转盘所处的平面和物块有无细绳牵连，转盘模型可分为水平转盘物体无绳牵连、倾斜转盘物体无绳牵连、单物体有绳牵连、多物体同侧或异侧有绳牵连等。解决转盘模型问题时，不少学生由于对静摩擦力大小和方向的不确定性把握不准，对不同条件下物块的受力分析存在较大困难，为此本文从教材入手，通过举一反三的变式训练让学生掌握此类模型的解题方法。

一、回归教材─问题源于课本

【教材】问题与练习(人教版物理·必修2，P25)

【题目】一个圆盘在水平面内匀速转动，角速度是 4 rad/s。盘面上距圆盘中心0.10 m的位置有一个质量为0.10 kg的小物体在随圆盘一起做匀速圆周运动，如 图5.6 - 7。

(1)求小物体所受向心力的大小。

(2)关于小物体所受的向心力，甲、乙两人有不同意见：甲认为这个向心力等于圆盘对小物体的静摩擦力，指向圆心；乙认为小物体有向前运动的趋势，静摩擦力方向和相对运动趋势方向相反，即向后，而不是与运动方向垂直，因此向心力不可能是静摩擦力。你的意见是什么？说明理由。

图5.6 - 7 求盘上小物体随盘做匀速圆周运动的向心力

【解析】(1)根据牛顿第二定律得

F=mω2r=0.1×42×0.1 N=0.16 N

(2)甲的意见是正确的。

静摩擦力的方向与物体相对接触面运动的趋势方向相反。小物体在随转盘匀速转动的过程中，相对转盘有沿半径向外运动的趋势。

【感悟】本题的目的是让学生综合分析做匀速圆周运动的物体所受的静摩擦力和运动之间的关系。

二、变式训练─问题举一反三

1.水平转盘物体无绳牵连

【解题策略】物体随水平方向上的转盘转动时，物体与转盘间无绳牵连的情况，物体做圆周运动所需的向心力由转盘对物体的静摩擦力来提供，若F需≤F摩m，物体做圆周运动；若F需>F摩m，由于物体无绳牵连，物体将做离心运动。

【变式1】如图1所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l。木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度。下列说法正确的是

( )

图1

A.b一定比a先开始滑动

B.a、b所受的摩擦力始终相等

【答案】AC

【感悟】本题中小木块a、b随着圆盘一起做圆周运动的向心力来自圆盘对小木块a、b的静摩擦力，随着转速的增加，静摩擦力逐渐增大。解决本题的关键是分析小木块a、b所受的静摩擦力谁先达到最大静摩擦力，最大静摩擦力对判断物体的临界状态起着关键性的作用。

2.倾斜转盘物体无绳牵连

【解题策略】物体随倾斜转盘转动时，物体与转盘间无绳牵连的情况，物体转到倾斜转盘上的最高点或最低点做圆周运动所需的向心力由物体本身的重力沿斜面方向的分力和转盘对物体的静摩擦力来提供，若F需≤F摩m，物体做圆周运动；若F需>F摩m，由于物体无绳牵连，物体将做离心运动。

( )

图2

C.1.0 rad/s D.0.5 rad/s

图3

【答案】C

【感悟】解答本题的关键是要分析小物体转到倾斜圆盘上最高点时和最低点时的受力情况，只要小物体转到最低点时不发生相对滑动就能始终不发生相对滑动，当小物体转到圆盘的最低点恰好不滑动时所需的向心力由物体本身的重力沿斜面方向的分力和转盘对物体的最大静摩擦力来提供。

3.单物体有绳牵连

【解题策略】物体随转盘转动时，物体与转盘间有绳牵连的情况，物体做圆周运动所需的向心力要注意临界问题，若F需≤F摩m，绳子无张力，物体做圆周运动；若F需>F摩m，由于物体与转盘间的最大静摩擦力不足以提供物体做圆周运动所需的向心力，绳子此时有张力，物体做圆周运动所需的向心力由最大静摩擦力和绳子张力的合力来提供。

【变式3】如图4所示，水平转盘上放有质量为m的物体(可视为质点)，连接物体和转轴的绳子长为r，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的μ倍，转盘的角速度由零逐渐增大，求：

图4

(1)绳子对物体的拉力为零时的最大角速度；

【解析】(1)当恰由最大静摩擦力提供向心力时，绳子拉力为零且转速达到最大，设转盘转动的角速度为ω0，则：

μmg=mω02r

F+μmg=mω2r

【感悟】本题涉及物体有细绳牵连，解决此类问题的关键是要考虑达到临界条件时物体所处的状态，只有当物体所受的静摩擦力达到了最大静摩擦力后，再增大转速，拴住物体的细线才有张力作用，分析该状态下物体的受力特点，结合圆周运动知识，列出相应的动力学方程综合求解。

4.多物体同侧有绳牵连

【解题策略】两个物体与转盘间有绳牵连、同侧放置的情况，物体做圆周运动所需的向心力要注意临界问题，分析各个物体的受力特点，若两个物体所需的向心力都小于或等于最大静摩擦力，即F需≤F摩m，此时绳子无张力，物体做圆周运动；若其中一个物体所需的向心力大于最大静摩擦力，即F需>F摩m，此时绳子有张力，物体靠细线的张力与圆盘的静摩擦力的合力提供向心力做匀速圆周运动，列出相应的动力学方程来求解。

【变式4】如图5所示，一圆转盘可在水平面内匀速转动，沿半径方向有两个物体用轻绳连接，两物体质量相等，且与转盘间的动摩擦因数相同，当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，某一时刻剪断绳子，则两物体的运动情况是

( )

A.两物体均沿切线方向滑出转盘

B.两物体均沿半径方向滑出转盘

C.两物体仍随转盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动

D.A仍随转盘一起做匀速圆周运动，B发生滑动

图5

【解析】当圆盘转速加快到两物体刚要发生滑动时，B物体靠细线的拉力与圆盘的最大静摩擦力的合力提供向心力做匀速圆周运动，A靠指向圆心的静摩擦力和拉力的合力提供向心力，所以剪断细线后，B所受最大静摩擦力不足以提供其做圆周运动所需要的向心力，B要发生相对滑动，离圆盘圆心越来越远，但是A所需要的向心力小于它的最大静摩擦力，所以A仍保持相对圆盘静止状态，做匀速圆周运动.故D正确，A、B、C错误。

【答案】D

【感悟】本题中要关注临界状态，即静摩擦力达到最大值后，绳子才开始有张力。解决本题的关键是对A、B两个物体进行受力分析，找出向心力的来源，知道A、B两物体是由摩擦力和绳子的拉力提供向心力。

5.多物体异侧有绳牵连

【解题策略】两个物体与转盘间有绳牵连、异侧放置的情况，物体做圆周运动所需的向心力要注意临界问题和静摩擦力方向发生改变的问题，分析各个物体随转速增大的动态受力特点，若两个物体所需的向心力都小于或等于最大静摩擦力，即F需≤F摩m，此时绳子无张力，物体做圆周运动；若其中一个物体所需的向心力大于最大静摩擦力，即F需>F摩m，此时绳子有张力，而且随着转盘转速的增大，静摩擦力的方向可能会发生改变，物体靠细线的张力与圆盘的静摩擦力的合力提供向心力做匀速圆周运动，列出相应的动力学方程来求解。

【变式5】如图6所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量均为A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为RA=r,RB=2r，与圆盘间的动摩擦因数μ相同，当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是

( )

图6

A.此时绳子张力为3μmg

C.此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆外

D.此时烧断绳子，A仍相对圆盘静止，B将做离心运动

【解析】两物体刚好未发生滑动时，A受背离圆心的静摩擦力，B受指向圆心的静摩擦力，其大小均为μmg，则有：

FT-μmg=mω2r

FT+μmg=mω2·2r

故选项A、B、C正确；

当烧断绳子时，A所需向心力为：

F=mω2r=2μmg>Ffm

所以A将发生滑动，选项D错误。

【答案】ABC

【感悟】本题注意分析物体A和B所受静摩擦力的大小和方向随圆盘转速的变化而发生变化，解决本题的关键是要知道角速度达到最大时，A和B的静摩擦力都达到最大静摩擦力，但方向相反，分析向心力来源，运用牛顿第二定律求解。