一维离散映射的数学实验项目设计与实践

熊梅　李顺异　张大林

【摘 要】利用MATLAB软件，对一维离散映射的参数分支进行模拟，通过数值实验说明混沌对初值的敏感性。

【关键词】数学实验;倍周期;混沌

中图分类号： O172 文献标识码： A 文章编号： 2095-2457（2019）05-0220-003

1 背景简介

数学实验是以实际问题为载体，把数学知识、数学建模、数学软件和计算机有机结合起来，以数学理论知识作为原理，以软件编程、图形演示和数值计算等为实验内容，以实际生活问题和数学教材为实验对象，以计算机作为工具，以分析建模、模拟仿真、软件求解和总结推广为主要实验方法。强调学生的主体地位，在教师引导下查阅文献资料，引导学生将实际问题转化为数学模型与实践，再运用现代的计算机技术和数学专业软件来进行数学推演和数值计算，以求出实验结果。用所学的数学知识和计算机技术，借助适当的数学软件（如SPSS，Matlab，Lingo，Lindo）来分析解决实际问题，并撰写实验报告或论文，使学生得到全面锻炼，从而增强学生学习数学的兴趣，培养学生的主动探索精神、综合应用能力和创新意识。

“混沌”一词出现在生活的各个领域，不仅出现在数学、物理和生物等自然科学，而且出现在金融、经济和管理等社会科学，甚至出现在文学和艺术范畴：从宇宙起源到龙卷风的产生，从金融危机到侏罗纪公园中恐龙的重现。本文从一个一维离散映射开始，用MATLAB软件进行模拟研究，进而讨论了复杂而有趣的混沌现象.

2 实验目的

（1）复习函数的迭代，差分方程，不动点等基本知识;Matlab编程实践时间序列图，蛛网迭代图，参数分支图等的作图.

（2）使用数值迭代，蛛网迭代等方法来研究混沌的数值特征.

（3）了解浑沌的倍周期分叉，遍历性和某些普适结构，计算机和数学结合在科学研究中的重要性.

（1）在区间[6，18]所划分的各区域（I至V）内自行选择参数α的值，做出映射（1）迭代的时间序列图和蛛网迭代图，观察并比较图形特征.通过数值实验说明混沌对初值的敏感性.

由分支图（图1）可知，从区域I到V，映射（1）经历了典型的倍周期到混沌过程.通过作出迭代映射的时间序列图和蛛网迭代图，表征典型的周期解和混沌现象.如图2所示，分别取α=13，17作出图形，其很好的表征了映射的周期性和混沌特性，回顾了”迭代映射”的基本知识，考查了迭代映射的时间序列图和蛛网迭代图形的基本作图。

用数值试验说明混沌对初值的敏感性，即初值相差非常小，经过充分迭代之后结果相差也是非常大的.将对”混沌对初值的敏感性”转化为具体的数值试验的设计与实践，令初值x0=0.1，另一初值X0=x0+10-6，  |x0-X0|=10-6.取α=17，作出由初值x0，X0所确定的时间序列图和迭代绝对误差图.由图3可知，迭代次数n≤25时，由初值x0，X0出发所确定的迭代结果非常接近，而当迭代次数n>25时，迭代結果（绝对误差）相差就很大了.通过数值试验，形象的说明了混沌对初值的敏感性.

3.2 通过数值方法求取第一分叉值c1及第二分叉c2.

（1）利用Feigenbaum常数估计第三分叉值c3'.

（2）直接使用数值方法计算第三分叉值c3.

用估计方法和数值计算得到的结果有什么区别？

用数值方法计算分支值，要求学生给出分支点的估计值.如计算周期1周期2的分支值，可使用二分法，逐步搜索法等.在获得第一和第二分叉值后，由Feigenbaum常数的定义

由（2）式可以给出第三分叉值的估计值.注意到Feigenbaum常数是取极限以后的结果，所以估计值c3'与数值计算直接得到的c3有较大差异，引导学生探讨发生这种情形的根本原因.

3.3 作出映射（1）关于参数α在区间[6，40]上变化的参数分支图，阐述分支图的特征，比较它与Logistic映射分支图形的异同.

由分支图知道，映射（1）由倍周期分支到混沌，再经历周期窗口到混沌，中间又有倍周期分支到混沌.在每一个小的部分与整体是自相似的，迭代结果的范围逐步增大，而Logistic映射只在α∈[0，4]上存在.

4 实施数学实验教学，培养创新型人才

4.1 数学实验及其分类

数学实验是以实际问题为载体，把数学知识、数学建模、数学软件和计算机有机结合起来，以数学理论知识作为原理，以软件编程、图形演示和数值计算等为实验内容，以实际生活问题和数学教材为实验对象，以计算机作为工具，以分析建模、模拟仿真、软件求解和总结推广为主要实验方法.强调学生的主体地位，在教师引导下查阅文献资料，引导学生将实际问题转化为数学模型与实践，再运用现代的计算机技术和数学专业软件来进行数学推演和数值计算，以求出实验结果.用所学的数学知识和计算机技术，借助适当的数学软件（如SPSS，Matlab，Lingo，Lindo）来分析解决一些实际问题，并撰写实验报告或论文，使学生得到全面锻炼，从而增强学生学习数学的兴趣，培养学生的主动探索精神、综合应用能力和创新意识.

图3 时间序列图和绝对误差图，其中α=17，x0=0.1，X0=x0+10-6.

图4 映射（1）关于α∈[6，40]的分支图

按其实验内容和性质，常可分为以下六个层次的实验：（1）基础性数学实验.此类实验的目的是要求学生掌握一些常用数学软件包的基本命令，熟悉相关软件的图形绘制与数值计算等的基本技能.（2）验证性数学实验.要求学生通过对数学实验现象的观测，验证数学中的基本理论和经典的数学方法，以增强其对数学概念的认识，并揭示数学知识的内涵.（3）研究性数学实验.要求学生根据教师提出的实验课题设计相应的实验方案，运用数学理论相关知识和数学技巧，寻求解决实际问题的途径，得出研究性结论.（4）应用性数学实验.要求学生结合实际生活问题，如太阳能房屋的造型设计、股市行情走势分析、基金投资分配等，建立相关数学模型，并运用数学软件进行数值计算，从而指导实际问题.（5）拓展性数学实验.要求学生学会揭示数学理论之间的联系并从中拓展发现新的知识，或拓展到其他相关领域（如运筹与优化、数值方法计算、分形与混沌等科学领域）.（6）综合性数学实验.[5]