MIMO雷达空时编码和接收权联合稳健设计

王洪雁，乔恵娇，裴炳南

(1. 大连大学 辽宁省北斗高精度位置服务技术工程实验室，辽宁 大连 116622；2．大连大学 大连市环境感知与智能控制重点实验室，辽宁 大连 116622)

近年来，随着多进多出(Multiple-Input Multiple-Output, MIMO)通信的蓬勃发展，以及雷达为突破自身限制而产生对新理论的需求，多进多出雷达概念应运而生[1]。与只能发射相干波形的相控阵雷达相比，多进多出雷达可发射几乎任意波形。按照相邻阵元间距的不同，多进多出雷达可分为分布式及集中式[2]。前者相邻阵元间距较大，可从不同角度检测目标，从而可利用空间分集提高检测性能。而后者相邻接收阵元间距较近，只能从某个角度观测目标，从而可获得更多的系统自由度，进而提高参数辨识能力以及干扰抑制性能。

众所周知，空时自适应处理(Space-Time Adaptive Processing, STAP)技术具有同时抑制杂波和干扰的特性，可显著改善系统的性能[3]。为提高多进多出雷达的检测性能，众多基于空时自适应处理的检测算法相继被提出[4]。其中，Bliss等首次将空时自适应处理引入多进多出雷达[5]。Wang等深入研究了MIMO-STAP杂波秩与波形的关系[6]。此外，Wang等通过设计发射波形以改善MIMO-STAP检测性能[7]。随后，Tang等提出一种发射波形及接收权联合优化的迭代方法以改善MIMO-STAP检测性能[8]。需要注意，上述优化问题的求解是基于环境及目标的先验信息。在实际应用中，这些先验信息只能通过估计得到，因而不可避免地存在估计误差，进而依赖于估计值所得优化波形必然受到影响，导致系统性能下降[9]。此外，上述文献并未考虑旁瓣及杂波抑制问题，而抑制旁瓣可减少干扰以提高检测性能[10]。

针对上述问题，笔者考虑目标先验信息未确知情况下收发联合优化方法以改善MIMO-STAP检测概率的稳健性。根据最大化输出信干噪比(Signal-Inference-Noise Ratio, SINR)[10]准则，基于波形恒模特性、旁瓣及杂波抑制等约束，在目标空时频导向矢量不确定凸集上构建收发联合稳健优化问题以最大化最差情况下输出信干噪比，进而改善系统检测概率的稳健性。为求解复杂的非线性问题，笔者提出一种迭代算法，其中每步都可转化为半定规划问题[11]，从而可高效地求解难题。

1 MIMO-STAP模型

MIMO-STAP模型：收发阵列为平行放置的均匀线阵，接收及发射阵元数分别为N和M，收发间距分别为dR和dT，且平行分布。雷达平台沿收发阵列方向匀速直线飞行，脉冲间隔为T。在此场景下，首先分别对目标、杂波及噪声进行建模。

记发射信号矩阵为S=[s1,s2,…，sM]T，其中sm∈CK×1,为第m个发射单元的波形采样，K为样本数，则第l个脉冲下目标接收信号可表示为

Y1=αtej2πfDlabTS，

(1)

其中，fD=2(vsinθt+vt)T/λ,为目标多普勒频率；v和vt分别为雷达及目标速度；λ为载波波长；αt和θt分别为目标复振幅和方向;a=[1,ej2πfs,…,ej2π(N-1)fs]T，b=[1,ej2πγfs,…,ej2π(M-1)γfs]T，分别为目标接收、发射导向矢量；fs=dRsinθt/λ，为目标空间频率，γ=dT/dR。

设相干脉冲处理周期脉冲数为L，则某相干脉冲处理周期中接收的目标信号χt=[vecT(Y1),vecT(Y2),…,vecT(YL)]T。根据矩阵矢量化性质，由式(1)可得

χt=αtd⊗(ST⊗IN)(b⊗a)=αt(IL⊗ST⊗IN)(d⊗b⊗a)=αtXut(θt) ，

(2)

其中，X=IL⊗ST⊗IN,ut(θt)=(d⊗b⊗a),为空时频导向矢量；d=[1,ej2πfD,…,ej2π(L-1)fD]T，为多普勒矢量；vec(·)为矢量化算子;⊗表示克罗内克积；IN为N×N单位矩阵。

接收端需要对接收信号进行滤波处理,以得到目标检测充分统计量。因此，目标信号输出功率可表示为

(3)

式中，w∈CNKL×1,为滤波系数。

杂波可建模为NC个杂波块的叠加，则L个相干脉冲处理周期脉冲条件下杂波可表示为[12]

(4)

其中，αc为位于方向θc的杂波块的复振幅；Γ()∈CLKN×LKN，为杂波延迟矩阵[12]；uc(θc)=dc⊗bc⊗ac，为杂波空时频导向矢量；ac=[1,ej2πfs,c,…，ej2π(N-1)fs,c]T，bc=[1,ej2πγfs,c,…,ej2π(M-1)γfs,c]T，分别为杂波接收和发射的导向矢量；fs,c=dRsinθc/λ，dc=[1,ej2πfD,c,…，ej2π(L-1)fD,c]T，fD,c=2vTsinθc/λ，分别为杂波空间频率、多普勒导向矢量及多普勒频率。类似地，接收端对杂波滤波处理，可得

(5)

由文献[9]可知，雷达接收机中噪声可建模为高斯白噪声，则相干脉冲处理周期内噪声可表示为

z=[vecT(Z1),vecT(Z2),…,vecT(ZL)]T，

(6)

2 问题提出

此外，为改善检测性能，不仅要考虑抑制杂波，还需考虑旁瓣抑制。若旁瓣较高，则会掩盖弱小目标，从而造成检测概率下降[10]。因此，需通过收发联合设计将旁瓣与杂波均限定在给定阈值内[14]。

基于以上所述，在恒模约束、旁瓣及杂波抑制条件下，最大化输出信干噪比以提高MIMO-STAP检测概率的收发联合优化问题可表示如下：

(7)

其中，Θc表示杂波范围；Θs为旁瓣范围；us(θs)=(d⊗b⊗a)，为位于θs∈Θs的空时频导向矢量；μ和σ分别为旁瓣水平和杂波水平阈值。

需要注意的是，求解式依赖于某些参数确切值，比如导向矢量等。然而，实际中这些参数只能通过估计得到，因而不可避免地存在估计误差，从而导致系统性能下降。针对此问题，笔者仅考虑目标导向矢量未确知情况下改善系统检测稳健性的收发联合稳健优化问题。此外，求解问题(7)还需杂波块的复振幅αc的确切值。在实际应用中，此值可以通过文献[15]所提幅相估计(Amplitude and Phase EStimation, APES)或CAPES(Capon and APES)方法估计得到。

根据文献[9]，真实的目标发射和接收导向矢量以及多普勒导向矢量可建模为

(8)

其中，b，a和d分别为假设发射、接收及多普勒导向矢量，归一化得bHb=M，aHa=N，dHd=L。Δu1，Δu2，Δu3分别为发射、接收及多普勒导向矢量的估计误差，且此估计误差分别属于如下不确定集合：

(9)

其中，‖·‖为欧氏范数。由式(8)和(9)可知，真实目标空时频导向矢量不确定集可表示为

(10)

其中，Δu为目标空时频导向矢量估计误差，ε为误差上确界。ε可表示为

ε=(M)1/2ε2ε3+(N)1/2ε1ε3+(L)1/2ε1ε2+(MN)1/2ε3+(M)1/2ε2ε3+(LM)1/2ε2+(LN)1/2ε1+ε1ε2ε3。

(11)

综上所述，在恒模约束、旁瓣及杂波抑制条件下，最大化目标空时频导向矢量不确定凸集上的输出信干噪比，以提高最差条件下MIMO-STAP检测概率的收发联合稳健优化问题，可表示如下：

(12)

由于S的恒模特性，问题(12)中的第3项约束为非凸约束，亦即上述优化问题为NP问题[11]。考虑存在非凸约束，且由于其是极大极小问题，因而此问题难以利用诸如凸优化等传统优化方法求解[8]。如若采用基于梯度的方法，则收敛性难以保证。

3 所提迭代算法

为求解复杂非线性联合稳健优化问题，将交替求解内外子优化问题。首先考虑内部优化。在波形S和权w已知的条件下，内部优化问题可表示为

(13)

由矩阵迹性质知，式(13)中目标函数可改写为wHX(ut(θt)+Δu)(ut(θt)+Δu)HXHw，且由特征值理论得[16]，最优值为(ut(θt)+Δu)(ut(θt)+Δu)H最小特征值。根据舒尔补定理[16]，式(13)可重新表示为

(14)

其中，t为辅助变量；A≤B，表示B-A为半正定矩阵。将式(14)所得Δu代入式(12)，考虑外部优化，得

(15)

式(15)为关于波形与接收权的联合优化，且存在恒模约束，须迭代求解。考虑已知S求解w，由tr(AB)=tr(BA)及舒尔补定理[16]，可得

(16)

将式(16)所得最优w代入式(15)，基于tr(ABCD)=vecT(DT)(CT⊗A)vec(B)，考虑关于S的优化问题。由A∈Cp×m，B∈Cn×q，Kqp为置换矩阵，vec(A⊗B)=(Im⊗Kqp⊗In)(vec(A)⊗vec(B)),得

(17)

由文献[8]及半正定松弛方法[17]可知，恒模约束可松弛为diag(Ξ)=I，Ξ±0，其中Ξ=vec(ST)vecH(ST)，则基于tr(AB)=tr(BA)及(A⊗B)(C⊗D)=(AC)⊗(BD)，式(17)可表示为

(18)

其中Λ=vec(IN)vecH(IN)。半定规划问题(14)、(16)、(18)可通过凸优化工具包CVX实现高效求解。

由上述可知，式(18)只能得到波形相关矩阵而非最终可发射波形。为得到S，可利用随机化方法[18]，即生成一组独立同分布高斯向量ξk，其中ξk～N(0,Z0)，k=1,…,Q，Z0=Ξ⊙(ppH)，⊙为哈达玛积，p=1/(MK)1/21T。假设sk(i)=p*ζ(ξk(i))，ζ(ξk(i))=ejarg(ξk(i))，则最优发射波形ST矢量化形式为

(19)

由以上讨论可知，收发联合稳健优化问题的迭代求解算法具体步骤可描述如下：

(1)求解式(14)以得到最优矢量误差Δu。

(2)求解式(16)以获得最优接收权w；

(3)求解式(18)及式(19)，以得到最优发射波形S；

4 实验仿真及分析

设目标角度误差Δθ=[-2°,2°]，多普勒估计误差ΔfD=[-0.02,0.02]，经计算，对于多进多出雷达(0.5,0.5)，ε=2.468 5；而对于多进多出雷达(1.5,0.5)，ε=3.546 9。

图1为rSNR=10dB，rCNR=20dB条件下所提算法的最优发射方向图。由图1知，所提算法在θt=0°附近出现一个尖峰，表明所提算法可将发射功率集中于目标估计误差区域内，从而可提高最差条件下目标检测概率。此外，图1(b)中有栅瓣出现，这是由于多进多出雷达(1.5,0.5)发射阵元稀疏布置引起的。

图1 rSNR=10 dB、rCNR=20 dB，所提算法所得最优发射方向图

为验证最差情况下输出信干噪比的性能提升，在rSNR∈[10 dB,50 dB]，rCNR∈[10 dB,50 dB]条件下，图2示出所提算法、文献[8]的先验信息确知条件下非稳健算法、文献[9]的稳健算法、文献[10]的非稳健算法及不相关波形法所得最差条件下输出信干噪比随信噪比或杂噪比的变化曲线。由图2知，5种方法所得输出信干噪比均随信噪比增加而增加，随杂噪比增加而降低。此外，所提方法所得信干噪比优于文献[9]中的稳健算法、文献[10]中的非稳健算法及不相关波形法，其可归因于所提算法在低旁瓣约束下联合优化发射波形及接收权，而文献[9]中的稳健算法仅考虑发射波形设计，文献[10]中的非稳健算法仅考虑低旁瓣约束，且所提算法通过优化波形将发射功率集中于不确定凸集而不相关波形法则全向发射。需要说明的是，所提算法与文献[8]中在先验信息确知条件下收发联合优化非稳健算法所得信干噪比之间差距较小，意味着所提算法可显著提高最差情况下输出信干噪比。再者，比较图2(a)和(b)或图2(c)和(d)可知，多进多出雷达(1.5,0.5)输出信干噪比略大于多进多出雷达(0.5,0.5),这是由于前者所形成虚拟孔径大于后者，因此可获得更大的分集增益。

为验证笔者所提方法的稳健性，在rSNR∈[10 dB,50 dB]、rCNR∈[10 dB,50 dB]条件下，图3刻画了所提算法、文献[8]中在先验信息确知条件下非稳健算法、文献[9]中的稳健算法、文献[10]中的非稳健算法及不相关波形法所得最差情况下平均输出信干噪比随信噪比或者杂噪比的变化曲线(蒙特卡罗法仿真50次后平均)。由图3可知，所提方法及文献[9]中的稳健算法所得最差条件下平均输出信干噪比随信噪比或者杂噪比变化较平稳，而文献[8，10]中的非稳健算法所得平均输出信干噪比随信噪比或者杂噪比变化波动较大。此外，由图3还可知，在给定条件下，所提方法所得最差条件下平均输出信干噪比皆优于文献[9]中的稳健算法。由此可得，所提方法具有较好的稳健性。

图2 笔者所提算法与非稳健算法及发射不相关波形得到的最差条件下输出SINR随输入信噪比或者杂噪比的变化曲线

图3 笔者所提算法与非稳健算法、发射不相关波形及目标先验信息确知得到的最差条件下平均信干噪比 随信噪比或杂噪比变化曲线

为验证所提方法的收敛性，图4给出rSNR=10 dB，rCNR=20 dB条件下，所提方法在最差条件下输出信干噪比随迭代次数变化的曲线图。从图4可看出，随着迭代次数增加，所提方法得到的输出信干噪比波动逐渐变小，且在给定雷达配置条件下，皆仅需5步左右迭代即可趋于稳定，表明所提方法具有较好的收敛性。

图4 rSNR=10 dB,rCNR=20 dB,所提算法所得最差条件下输出SINR随迭代次数变化曲线

图5 rSNR=10 dB,rCNR=20 dB,所提算法所得最差条件下输出SINR随ε变化曲线

为验证误差上确界对系统输出信干噪比的影响，图5示出所提算法及文献[9]中的稳健算法所得最差条件下输出信干噪比随ε变化曲线。由图5可看出，上述两种算法所得最差条件下输出信干噪比随ε增大而减小，表明ε取值对信干噪比有较大的影响。

5 结束语

笔者研究了目标空时频导向矢量未确知情况下提高MIMO-STAP检测概率稳健性的发射波形及接收权联合优化问题。根据最大化最差情况下输出信干噪比准则，在波形恒模特性、空时频导向矢量不确定凸集、旁瓣及杂波抑制约束下构建发射波形及接收权联合稳健优化问题。为求解所得复杂非线性问题，笔者提出一种发射波形和接收权交替优化的迭代方法，所提方法中每一步均可转化为半定规划问题，因而可高效求解问题。仿真结果表明，与非稳健方法以及不相关波形法相比，笔者提出的方法可改善MIMO-STAP的检测概率稳健性。